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最新人教版高中数学选修2.2.2--反证法ppt课件_图文

2.2直接证明与间接证明 2.2.2 反证法 一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求推证过程 中,使每一步结论成立的充分条件,直至最后,把要证 明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、 定理、定义、公理等)为止,这种证明的方法叫做分析 法. 特点:执果索因. 用框图表示分析法 Q ? P1 P1 ? P2 P2 ? P3 … 得到一个明显成立 的结论 复习 经过证明的 结论 思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先由甲箱取出若 干放进乙、丙两箱内,所放个数分别为乙、丙箱内原有个 数,继而由乙箱取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙 箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同前.结果三箱内 的小球数恰好相等.求甲、乙、丙三箱原有小球数 甲:208个,乙:112个,丙:64个 思考? A、B、C三个人,A说B撒谎,B说C撒谎,C说A、 B都撒谎。则C必定是在撒谎,为什么? 分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - -- -那么A假且B假; 由A假, 知B真. 这与B假 矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎. 反证法: 假设命题结论的反面成立,经过正确的推理,引出矛盾, 因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明 方法叫反证法。 反证法的思维方法: 正难则反 反证法的基本步骤: (1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成-------立; (2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾; (3)从矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结 ------论正确 归缪矛盾: (1)与已知条件矛盾; (2)与已有公理、定理、定义矛盾; (3)自相矛盾。 应用反证法的情形: (1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论. (3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” ---类命 题; (4)结论为 “唯一”类命题; 例1:用反证法证明: 如果a>b>0,那么 a> b 证:假设 a > 若 a= 若 a< b不成立,则 a ≤ b b,则a = b, 与已知a > b矛盾, b,则a < b, 与已知a > b矛盾, 故假设不成立,结论 a > b成立。 例2 已知a≠0,证明x的方程ax=b有且只有一个根。 证:假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根, 不妨设其中的两根分别为x1,x2 且x1 ≠ x2 则ax1 = b,ax2 = b ∴ax1 = ax2 ∴ax1 - ax2 = 0 ∴a(x1 - x2) =0 ∵x1 ≠ x2,x1 - x2 ≠ 0 ∴ a = 0 与已知a ≠ 0矛盾, 故假设不成立,结论成立。 例3:证明:圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平 分. 已知:在⊙O中,弦AB、CD相交于P,且AB、CD不全是 直径 求证:AB、CD不能互相平分。 C A O P B D 例4 求证: 是无理数。 2 证:假设 2是有理数, ∴ m = 2n m 则存在互质的整数m,n使得 2 = , n ∴ m = 2n 2 2 2 2 ∴m 2 是偶数,从而m必是偶数,故设m = 2k(k∈N?) 从而有4k = 2n ,即n = 2k ∴ n2 也是偶数, 这与m,n互质矛盾! 所以假设不成立,2是有理数成立。 2 2 例题 例5、已知a + b + c > 0,ab + bc + ca > 0, abc > 0, 求证:a, b, c > 0 证:设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c > ?a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 若a = 0,则与abc > 0矛盾, ∴必有a > 0 同理可证:b > 0, c > 0 例6、设0 < a, b, c < 1,求证:(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a, 不可能同时大于1/4 证明:设(1 ? a)b>1/4, (1 ? b)c>1/4, (1 ? c)a>1/4, 则三式相乘: (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a > 又∵0 < a, b, c < 1 ∴ 同理: 1 64 2 ① 1 4 以上三式相乘: (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤ 与①矛盾∴结论成立 1 1 (1 ? b)b ? (1 ? c )c ? 4 4 ? (1 ? a ) ? a ? 0 ? (1 ? a )a ? ? ? 2 ? ? ? 1 64 放缩法 ? ? ? ? ? 在证明不等式过程中,有时为了证明的需要,可对有 关式子适当进行放大或缩小,实现证明。例如: 要证b<c,只须寻找b1使b<b1且b1≤c(放大) 要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小) 这种证明方法,我们称之为放缩法。 放缩法的依据就是传递性。 例1、若a, b, c, d?R+,求证: a b c d 1? ? ? ? ?2 a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c 证:记m = a b c d ? ? ? a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c ∵a, b, c, d?R+ ?m ? a b c d ? ? ? ?1 a?b?c?d a?b?c?a c?d ?a?b d ?a?b?c 同时 a b c d m? ? ? ? ?2 a?b a?b c?d d ?c ∴1 < m < 2 即原式成立 例2已知a,b是实数,求证: a+b 1? a ? b ? a 1? a ? b 1? b . 法1: 证明:在 a?b 1? a ? b ? a 1? a ? b 1? b 1 1 ?1 a?b a ?b ?0 时,显然成立 . 当 a ?b ? 时,左边 0 ? ? 1 1 a

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