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空间向量的数乘运算


空间向量的数乘运算

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B

b
O

a 结论:空间任意两个向量都可平移到同 一个平面内,成为同一平面内的向量. 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题, 平面向量中有关结论仍适用于它们.

一、空间向量数乘运算
? ? 1.实数 ?与空间向量 a 的乘积 ? a 仍然
是一个向量.

(1)方向: ? ? 当 ? ? 0 时,? a与向量 a 方向相同; ? ? a 方向相同; 与向量 当 ? ? 0 时,? a ? 当? ? 0 时,? a 是零向量.

? ? (2)大小: ? a 的长度是 a 的长度的 | ? | 倍.

2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律

? ? ? ? 即:?( a ? b ) ? ? a ? ?b ? ? ? (? ? ?) a ? ?a ? ?a ? ? ?(? )a ? ( ?? )a

二、共线向量:如果表示空间向量的有向
线段所在直线互相平行或重合,则这些向量 叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.
? ? ? ? ? ? 问题1:若 a // b (a ? 0) 则 a, b 所在直线有那些位置关系? ? ? ? ? 的充要条件是:存在唯一 问题2:平面向量中, a // b (b ? 0)
的实数

?

? ? ,使 a ? ?b .

能否推广到空间向量中呢?

? 共线向量定理: 对空间任意两个向量 a ,b
? ? ? ? 使 a ? ?b (b ? 0).



? ? ? ? a // b (b ? 0) 的充要条件是存在唯一实数λ,
? ? ? ? a ? ?b (b ? 0)
性质 判定

? ? ? ? a ? ?b (b ? 0)

? ? ? ? a // b (b ? 0)

? ? ? ? a // b (b ? 0)

作用:由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题

如图,l 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线, 若点P是直线l上任意一点,则

a
A

a
B

P

? 由 l // a 知存在唯一的t, 满足 AP ? t a
对空间任意一点O,
l

AP ? OP ? OA,

若在l上取

? 所以 OP ? OA ? ta

O

? OP ? OA ? ta

AB ? a

则有

② ①和②都称为空间直线的向量表示式,空间任意直线由空间 一点及直线的方向向量唯一决定.

OP ? OA ? t AB

由此可判断空间任意三点共线。.

OP ? OA ? t AB
进一步,OP还可表示为:
1-t OA ? ____ t OB OP ? ____
因为 所以
A

a
B

P

AB ? OB ? OA,

OP ? OA ? t(OB ? OA)
? (1 ? t)OA ? tOB

O

1 则有 特别的,当t= 时, 2
1 OP ? (OA ? OB) 2

P点为A,B 的中点

A、B、P三点共线

AP ? t AB
OP ? OA ? t AB

OP ? xOA ? yOB( x ? y ? 1)

练习1.对于空间任意一点O,下列命题正 确的是: A
??? ? ??? ? ???? A.若 OP ? OA ? t AB ??? ? ??? ? ???? B.若 3OP ? OA ? AB ??? ? ??? ? ???? C.若 OP ? OA ? t AB
??? ? ??? ? ???? D.若 OP ? ?OA ? AB

,则P、A、B共线
,则P是AB的中点 O

B P A

,则P、A、B不共线
,则P、A、B共线

三、共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面向量.

b c a

d

注意:空间任意两个向量是共面的,但空间 任意三个向量 既可能共面,也可能不共面

那么什么情况下三个向量共面呢?

? ? a e2 ? e1

? ? e2 由平面向量基本定理知,如果 e1,

是平面内的两个不共线的向量,那么 ? 对于这一平面内的任意向量 a ,有且 ? ? ? ?1 , 只有一对实数 2 使 a ? ?1e1 ? ?2e2

如果空间向量 共 面,那么可将三个向量平移到同一平面 ,则 有 p ? x? ? yb

? p 与两不共线向量 a , b

? 反过来,对空间任意两个不共线的向量 a , b ,如 ? 果 p ? x? ? yb ,那么向量 p 与向量a , b 有什么位 置关系?
?C b? A aB
?? p

P

? xa, yb分别与a, b共线,

?xa, yb都在a, b确定的平面内

并且此平行四边形在 a, b确定的平面内,

?p ? xa ? yb在a, b确定的平面内 ,即p与a, b共面

? 2.共面向量定理:如果两个向量 a ,b 不共线, ? 则向量 p 与向量 a , b 共面的充要条件是 存在实数对x,y使 p ? x? ? yb
推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有 序实数对x,y使 AP ? x AB ? y AC
?C b ? A a B
?? p

P

对空间任一点O,有OP ? OA ? x AB ? y AC
?? p



?C b? A a B
O

P

填空:OP ? (_____) y OC 1-x-y OA ? (____) x OB ? (____)

③ 式称为空间平面ABC的向量表示式,空间中任意平面 由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定.

作用:由此可判断空间任意四点共面

P与A,B,C共面

AP ? x AB ? y AC
OP ? OA ?x AB ? y AC ? OP ? xOA ? yOB ? zOC ? 0( x ? y ? z ? 1)

练习2.若对任一点O和不共线的三点A、B、C, 且有 OP ? xOA ? yOB ? zOC( x, y, z ? R), 则x+y+z=1 是四点P、A、B、C共面的( C )
A.必要不充分条件 C.充要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

? [例1] 已知ABCD为正方形,P是ABCD所 在平面外一点,P在平面ABCD上的射影恰 好是正方形ABCD的中心O.Q是CD的中点, 求下列各式中x、y的值:

? [分析] 由题目可以获取以下主要信息: ? ① ABCD 是正方形, O 为中心, PO ⊥ 面 ABCD,Q为CD中点; ? ②用已知向量表示指定向量. ? 解答本题需准确画图,先利用三角形法则 或平行四边形法则表示出指定向量,再根 据对应向量的系数相等.求出x、y即可.

? [解析] 如图,

1→ → → → → → (1)∵OQ=PQ-PO=PQ-2(PA+PC) 1→ 1 → =PQ- PA- PC, 2 2 1 ∴x=y=-2. → +PC → =2PO → ,∴PA → =2PO → -PC →. (2)∵PA → +PD → =2PQ → ,∴PC → =2PQ → -PD →. 又∵PC → =2PO → -(2PQ → -PD → )=2PO → -2PQ → +PD →. 从而有PA ∴x=2,y=-2.

[点评]

应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量

是向量在几何中应用的前提,应熟练掌握.本题(1)中的突 1→ → 破点是 O 为 AC 的中点, 由平行四边形法则知PO=2(PA+ → ),该公式可看作向量形式的中点坐标公式,进行向量 PC 表示时要注意向选定向量的转化方法. (2)中是对中点坐标 公式的逆用,同时也运用了数乘运算.

[例 2]

如图所示,ABCD-ABEF 都是平行四边形,

→ 与MN → 且不共面,M、N 分别是 AC、BF 的中点,判断CE 是否共线?

[分析]

→ 与MN → 是否共线,由共线向量定理 要判断CE

→ =xMN → .若存在则CE → 与MN → 就是判定是否存在实数 x, 使CE → 与MN → 不共线. 共线,否则CE

[解析]

M、N 分别是 AC、BF 的中点,而 ABCD、

ABEF 都是平行四边形, 1→ → 1→ → → → → ∴MN=MA+AF+FN= CA+AF+ FB. 2 2 → =MC → +CE → +EB → +BN → 又∵MN 1→ → → 1→ =- CA+CE-AF- FB, 2 2 1→ → 1→ ∴2CA+AF+2FB 1→ → → 1→ =- CA+CE-AF- FB. 2 2

→ =CA → +2AF → +FB → =2(MA → +AF → +FN → ). ∴CE → =2MN →. ∴CE → ∥MN → ,即CE → 与MN → 共线. ∴CE

如右图,已知四边形 ABCD 是空间四边形,E、H 分 别是边 AB、AD 的中点,F、G 分别是边 CB、CD 上的点, 2→ → 2 → → 且CF=3CB,CG=3CD. 求证:四边形 EFGH 是梯形.

[证明]

∵E、H 分别是 AB、AD 的中点,

1→ → 1 → → ∴AE=2AB,AH=2AD. 2→ → 2 → → ∵CF= CB,CG= CD, 3 3 3→ → 3 → → ∴CB=2CF,CD=2CG, 1 → 1→ 1 → → → → → ∴EH=AH-AE=2AD-2AB=2(AD-AB) 1→ 1 → → 1 3 → 3→ =2BD=2(CD-CB)=2(2CG-2CF)

3 → → 3→ = (CG-CF)= FG. 4 4 3→ → → → → |. ∴EH∥FG且|EH|=4|FG|≠|FG 3 ∵E?FG,∴EH∥FG 且|EH|= |FG|, 4 ∴四边形 EFGH 是梯形.

? [例3] 正方形ABCD-A1B1C1D1中,M、N、 P、Q分别为A1D1、D1C1、AA1、CC1的中 点,求证:M、N、P、Q四点共面.

[分析]

→、 要证 M、N、P、Q 四点共面,只须证明MP

→ 、MQ → 共面,即寻求实数 λ、μ、k,使得 λMP → +μMN →+ MN → =0.为此, → → → →、 →、 kMQ 令D D D 将MP MN 1A1=a, 1C1=b, 1D=c, → 都用 a、b、c 线性表示,再寻求它们系数之间关系或 MQ → =λMP → +μMN → ,建立 λ、μ 的方程组解之. 者令MQ

[解析]

→ → → 令D 1A1=a,D1C1=b,D1D=c,

∵M、N、P、Q 均为棱的中点, 1 1 1 1 → → → → ∴MN=2b-2a,MP=MA1+A1P=2a+2c, 1 1 → → → → MQ=MD1+D1C1+C1Q=- a+b+ c 2 2 → =λMN → +μMP → ,则 令MQ 1 1 1 1 1 - a+b+ c= (μ-λ)a+ λb+ μc, 2 2 2 2 2

1 1 ? ? (μ-λ)=- 2 ?2 ?1 ∴?2λ=1 ? ?1 1 μ= ? ?2 2

? ?λ=2 ,∴? ? ?μ=1



→ =2MN → +MP → ,因此向量MQ → ,MN → ,MP → 共面, ∴MQ ∴四点 M、N、P、Q 共面.

已知 A、 B、C 三点不共线, 对平面 ABC 外的任一点, 1→ 1→ 1→ → →、 →、 → 若点 M 满足OM=3OA+3OB+3OC.(1)判断MA MB MC 三个向量是否共面.(2)判断点 M 是否在平面 ABC 内.

[ 解析 ] →, 3OM

→ + OB → + OC →= 如图所示, (1) 由已知得, OA

→ -OM → =(OM → -OB → )+(OM → -OC → ). ∴OA → =BM → +CM → =-MB → -MC →, ∴MA → 、MB → 、MC → 共面. ∴向量MA → 、MB → 、MC → 共面,三个向量的基线又 (2)由(1)向量MA 过同一点 M,∴四点 M、A、B、C 共面.∴点 M 在平面 ABC 内.

小结
共线向量 共面向量 定义 向量所在直线互相平 平行于同一平面的向量, 行或重合 叫做共面向量.
定理 ? ? ?

? a // b (a ? 0)

? ? ? a b ? a ? ?b 共面

p

p ? x? ? yb

推论

OP ? OA ? t AB

OP ? xOA ? yOB( x ? y ? 1)

? OP ? xOA ? yOB ? zOC ? 0 ( x ? y ? z ? 1)

OP ? OA ?x AB ? y AC

运用 判断三点共线,或两 判断四点共线,或直线 直线平行 平行于平面


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