当前位置:首页 >> 数学 >>

优秀教案27-点到直线的距离

3.3.3 点到直线的距离 教材分析
“点到直线的距离”是新课标《数学必修 2》 第三章第 3 节“直线的交点与距离公式”中的重要知识点.教材 按照“提出问题(如何求点到直线的距离) 、解决问题(推导公式) 、应用公式”的线索展开研究,既是直线 方程应用的延续,又是坐标法这一核心知识的发展,同时还是充分展现用代数方法研究几何问题优越性的 载体.作为直线方程的一个应用,公式的推导过程蕴涵了丰富的数学思想方法,转化思想,数形结合,分类 讨论,属于具有较高思维价值和探究价值的教学内容. 通过公式推导的获得,可以培养学生分析问题、解 决问题的能力,以及自主探究和合作学习的能力.同时,该公式还将在学生今后的代数、立体几何及圆锥 曲线学习过程中,作为解析几何的一个重要工具广泛用之于问题的求解过程当中,因此,该内容又具有很 大的应用价值.不仅如此,该内容还是刚刚学过的两直线交点及两点间距离公式的用武之地.就内容本身来 说,作为公式的学习与应用又是引领学生运用平面几何知识、强化直线方程的建立过程的好素材.因此,这 是一节具有承上启下、继往开来作用的一个重要基础内容,是今后进一步学习研究解析几何的重要工具.

课时分配
本节内容用 1 课时的时间完成,主要讲解点到直线的距离公式的推导及运用公式解决简单的数学问题.

教学目标
重点: 点到直线的距离公式的建立,有关数学思想方法及应用. 难点:点到直线的距离公式的探究及选择恰当的解决问题的方法. 知识点:点到直线的距离公式. 能力点:如何探寻点到直线的距离公式的推导思路,体验用数形结合、转化、函数等数学思想来解决数 学问题的方法,形成用代数方法解决几何问题的能力. 教育点:让学生在问题的探究与解决中体验数学的魅力,感受解决问题的愉悦,有效培养勇于探索、善 于研究的精神,挖掘其非智力资源,培养其良好的数学学习品质,激发学生学习数学的热情. 自主探究点:如何运用运用直线方程的有关知识推导点到直线的距离公式. 考试点:用公式解决简单的数学问题. 易错易混点:正用或逆用公式时, 学生一般在计算上容易出错. 拓展点:如何利用点到直线的距离公式推导两平行线间的距离公式.

教具准备 课堂模式

实物投影仪和三角板 学案导学

一、引入新课
如图,在铁路的附近,有一大型仓库.现要修建一条公路与之连接起来.那么怎样设计能使公路最短?最 短路程又是多少?

仓库 铁路
【师生活动】教师引导学生将实际问题抽象出数学问题:

已知点 P 和一条直线 l, 怎样求点 P 到直线 l 的距离

y



o

x

【设计意图】从一个具体的实际问题入手,引导学生将其转化为解析几何问题,建立坐标系,由此引出本 节课题,同时激发学生学习兴趣,培养学生简单的数学建模能力. 教师引导:如何在知道点 P 坐标和直线方程的情况下求得 P 到该直线的距离? y l 情形(1)点到坐标轴的距离. 情形(2)点到与坐标轴平行的直线之间的距离. N ? O(P) x 情形(3)原点 O 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离 OQ ?(如右图) Q 师生共同分析(3)的求解思路: M 方案一: 设点 P 到直线 l 的垂线段为 PQ,垂足为 Q,由 PQ⊥ l 可知,直线 PQ 的斜率为

B (A≠0) ,根据点斜 A

式写出直线 PQ 的方程,并由 l 与 PQ 的方程求出点 Q 的坐标;由此根据两点距离公式求出|PQ|,得到 点 P 到直线 l 的距离为 d. 方案二: 在 Rt ?OMN 中,很容易求出 OM , ON ,则可以求出 MN ? 高,利用“等面积法”就可以求出 OQ ? 方案三: 在 RT ?OMN 中 , 很 容 易 求 出 OM , ON , 则 可 以 求 出 MN ? RT ?OMN ∽RT ?OQN ,利用三角形相似也可以求解 OQ ?

OM 2 ? ON 2 ,而 OQ 是其斜边上的

OM ? ON MN

.

OM 2 ? ON 2 , 发 现

OM ? ON MN

.

【设计意图】从简单问题入手,让学生能沿着教师设置的高而可攀的梯子拾级而上,在由特殊到一般、由 抽象到具体的思维活动过程中提出问题,并逐步解决问题.方案二和三是为了说明构造三角形的必要性. 【设计说明】在分析(1) (3)的求解思路以后,引出一般问题,步步为营! (2) 问题 上面问题的问题都很特殊,你能由此提出一个更据一般性和挑战性的问题吗?从而回到上面的一般 问题.

二、探究新知 (一)归纳公式
师生活动:画出图形,分析任务,理清思路,解决问题。 方案一: 设点 P 到直线 l 的垂线段为 PQ,垂足为 Q,由 PQ⊥ l 可知,直线 PQ 的斜率为

B (A≠0) ,根据点斜式 A

写出直线 PQ 的方程,并由 l 与 PQ 的方程求出点 Q 的坐标;由此根据两点距离公式求出|PQ|,得到点 P 到直线 l 的距离为 d. 教师总结常规思路:即:|PQ| ? Q 点坐标 ? 直线 PQ 与直线 L 的交点 ? 直线 PQ 的方程 ? 直线 PQ 的 斜率 ? 直线 l 的斜率,采用了化归的思想,此方法虽思路自然,但运算较繁.下面我们探讨别一种方法 【设计意图】方案一是推导公式的基本办法,但是合理不合情,计算太复杂,让学生实践体会,也为今后圆
新疆

王新敞
学案

锥曲线的学习做准备,即如何优化解题.同时较多的同学在有限的时间里并不能得到准确的答案,使学生经 历了挫折教育.学生会发现这种解法的缺陷,于是愿意探求其他更优的解法. 教师活动:继续引导学生探求其他解法,逐步提问,层层深入: (1)不求点 Q 的坐标行吗? (2)线段 PQ 的 长度如何求?(引导学生想到构造三角形) (3)如何构造?(学生讨论)从而得出: 方案二: 设 A≠0,B≠0,这时 l 与 x 轴、 y 轴都相交,过点 P 作 x 轴的平行线,交 l 于点 R( x1 , y 0 ) ;作 y 轴的 平行线,交 l 于点 S ( x0 , y 2 ) , 由? y l R Q O S P d x

? A1 x1 ? By 0 ? C ? 0 ? By0 ? C ? Ax0 ? C . 得 x1 ? , y2 ? A B ? Ax 0 ? By 2 ? C ? 0
Ax 0 ? By 0 ? C A

所以,|PR|=| x0 ? x1 |= |PS|=| y 0 ? y 2 |= |RS|= PR ? PS
2 2

Ax 0 ? By 0 ? C B

?

A2 ? B 2 × Ax0 ? By0 ? C |由三角形面积公式可知: d · | |RS|= AB

|PR|· |PS|. 所以 d ?

Ax0 ? By 0 ? C A2 ? B 2

【设计意图】采用开放式教学,充分发挥学生的主观能动性,拓宽思维.通过师生互动,从方案一的“自然 接受”→方案二的“巧妙构造”,使学生看到希望,让学生认识到学习数学是可以提高能力的.在实际教学中, 可能会遇到其他解法, 应鼓励学生积极发表自己的意见, 锻炼学生的胆量与表达能力, 亦可留做课后思考, 具体处理视课堂情况灵活处理.

三、理解新知
问题:公式有哪些结构特征?公式在 A ? 0 或者 B ? 0 时还成立吗? 公式的分子:保留直线方程一般式的风格,充分表明公式与直线方程有关. 公式的分母:有点距离公式的味道. 象其他我们学过的一些公式一样,公式简洁明了,给我们一种端庄秀丽的美感,并且公式在 A ? 0 或者 B ? 0 时仍然成立. 【设计意图】让学生快速记住公式,同时让学生感受数学美.

四、运用新知
例 1 求点 P(-1,2)到直线 3x ? 2 之间的距离. 解:原式可化为 3x-2=0,所以 d ? [提问其他方法]学生作答: 解:因为直线 3x=2 平行于 y 轴,所以 d=|

| 3 ? (?1) ? 2 | 3 ?0
2 2

5 ? . 3

2 5 -(-1)|= . 3 3

点评:例 1(1)直接应用了点到直线的距离公式,要求学生熟练掌握;(2)体现了求点到直线距离的灵活性, 并没有局限于公式. 【设计意图】强化学生对公式的记忆和应用.同时,“代入公式计算前,首先应将直线方程化为一般式, 以便确定系数 A、B 的值”是学生在应用公式中,容易忽略的环节.特殊情况并没有局限于公式. 变式一 点 A(a,6)到直线 3x-4y=2 的距离等于 4,求 a 的值. 解:由

| 3a ? 4 ? 6 ? 2 | 3 ?4
2 2

=4 得, |3a-6|=20,所以 a=20 或 a=

46 . 3

【设计意图】熟悉公式的逆用. 变式二 求点 P(1,1)到直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 之间的距离. 【设计意图】通过此题让学生既能体会到公式适用的更广范围,又让学生发现一种判定点是否在直线上的 新方法,同时也为判断三点共线问题拓展思路. 例 2 已知点 A (1,3),B(3,1),C(-1,0),求△ABC 的面积. 解:设 AB 边上的高为 h,则 S△ABC= |AB|= (3 ? 1) 2 ? (1 ? 3) 2 ? 2 2 , AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB 的距离.

1 |AB|· h. 2

y ? 3 x ?1 ,即 x+y-4=0. ? 1? 3 3 ?1 | ?1 ? 0 ? 4 | 5 ? 点 C 到 x+y-4=0 的距离为 h= , 2 2 2 1 ?1 5 1 =5. 因此,S△ABC= ×2 2 ? 2 2
AB 边所在的直线方程为 【设计意图】通过这两道简单的例题,使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用,能逐步体会用代数 运算解决几何问题的优越性. 思考 求三角形的面积还有其它方法吗?(割补法,学生课下完成). 变式三 求过点 A(-1,2),且与原点的距离等于 1 的直线方程. 【设计意图】通过对学生在设直线方程的过程中产生的漏解问题,鼓励学生寻找思维上的漏洞,使学生在 “错误体验”中 加深记忆,突出几何直观和数形结合的思想方法,培养学生自我发现自我补充的学习能力, 增强思维的批判性. 说明:若教学进程比较顺利,时间来得及,可以提出以下思考题,把两条平行线间的距离公式也处理掉. 例 3 求平行线 2x-7y+8=0 和 2x-7y-6=0 的距离. 解:在直线 2x-7y-6=0 上任取一点,例如取 P(3,0),则点 P(3,0)到直线 2x-7y+8=0 的距离就是两平行线间的距离. 因此, d=

| 2?3? 7?0 ? 8 | 2 2 ? ( ?7 ) 2

?

14 53

?

14 53 . 53

师生活动:你能尝试推出一般式下的两平行线间的距离公式吗?(小组讨论得出) 【设计意图】活用公式,学生体会转化思想,只要转化成点到直间的距离即可;这样下节课就可以进入本章 小结部分的教学.

五、课堂小结
教师提问:本节课我们学习了哪些知识,涉及到哪些数学思想方法?学生作答: 1.知识:点到直线间的距离公式. 2.思想:转化思想、数形结合的思想、特殊到一般的思想. 教师总结: 通过本节学习,要求大家: 1.掌握点到直线的距离公式,并会求两条平行线间的距离. 2.构思距离公式的推导方案,培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力,鼓励创新.培养学生勇于探索、 善于研究的精神,学会合作. 3.本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离,后者实际上可作为前者的变式应用. 【设计意图】通过小结,使学生本节所学的知识系统化、条理化,进一步巩固知识,明确方法. 加强对学 生学习方法的指导,做到“授人以渔”.

六、布置作业
1.阅读教材 P106—109; 2.书面作业

必做题: P110 习题 3.3 A 组 9; B 组 2, 4. 选做题:1.求过点(1,2) ,且与点 A(2,3)和 B(4,-5)距离相等的直线 l 的方程. 2.正方形中心在 C(-1,0),一条边所在直线方程是 3x-y=0,求其它三边所在的直线方程. 3.课外思考 如何利用推导两平行线间的距离? 【设计意图】设计作业 1,2,是引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置,是 为了让学生能够运用点到直线的距离公式,解决简单的数学问题;课外思考的安排,是让学生理解公式之间的 联系.

七、教后反思
1.本教案的亮点是在思维层次上注意了铺垫与暗示,给学生铺设思维的台阶;在数学思想方法上特别 注重特殊化到一般化,一般化到特殊化的转化思想的运用.本堂课充分体现了学生的主体作用,让学生积 极参与到课堂教学中来,使学生积极思维,勇于发现,使课堂的气氛活跃起来,这样,获得了较满意的教 学效果. 2.由于课堂时间有限,学生讨论给出的方法在课堂上不能一一实现,在寻找方法过程中,可以要求学生 只谈想法,不必算出结果,但要讲清方法的来龙去脉以及解题计划,是如何想到这个方法的?用这个方法 可以算到结果吗?在应用所给方法过程中可能会遇到什么问题.具体解题过程, 可以根据这些解题设想由学 生课后完成. 3. 新课程的目标很高,40 分钟的课堂教学时间,很难放开手脚让学生去进行探究,同时,由于把课堂的时 间大部分给了学生,教师如何利用好有限的时间进行教学就成为难题. 对学生的讨论与交流的过程怎样控 制成为教学关注的一个焦点.教学时,不但要控制讨论题目的数量和难度,还要实时控制讨论的深度和广度, 更要控制好讨论的时间.一旦控制不到位或疏于控制,教学内容将难以完成.

八、板书设计
3.3.3 点到直线的距离 1.提出问题 3.一般情况下公式推导 例1 例2

2. 特 殊 情 况 向一 般 情况 的过渡

例3


相关文章:
点到直线的距离教案 公开课.doc
点到直线的距离教案 公开课_数学_高中教育_教育专区。点到直线度的距离 公开课 教案 优秀 《点到直线的距离教案教学目标 (1)知识与技能:让学生至少掌握一种...
两条直线的位置关系点到直线的距离公式教案 人教课....doc
两条直线的位置关系点到直线的距离公式教案 人教课标版(优秀教案)_数学_小学教育_教育专区。《两条直线的位置关系点到直线的距离公式》教案三维目标: ...
《点到直线的距离》教案.doc
点到直线的距离教案 - 《点到直线的距离教案 教学内容:四年级上册第五单元 P59 例 2 教学目标: 1、学生经历垂直线段的性质的探索过程,知道从直线外一点...
点到直线的距离教案.doc
点到直线的距离教案 - 点到直线的距离 人教版高二第二册(上)第七章第三节第 4 课时 山西省阳泉市荫营中学 王萍 教学目标: (1)让学生理解点到直线距离公式...
人教版 四年级上册《点到直线的距离》教学设计.doc
人教版 四年级上册《点到直线的距离教学设计 - 课题 教学目标 点到直线的距离 课型 新授 1、学生经历垂直线段的性质的探索过程,知道从直线外一点到已知直线...
高中数学《点到直线的距离公式》教学设计.doc
高中数学《点到直线的距离公式》教学设计 - 教案点到直线的距离公式》 一、教学目标 1.知识教学点 点到直线距离公式的推导思想方法及公式的简单应用. 2.能力...
点到直线的距离公式教案.doc
点到直线的距离公式教案 - 找教案 www.zhaojiaoan.com 教案点到直线的距离公式》 一、教学目标 1.知识教学点 点到直线距离公式的推导思想方法及公式的简单应用...
...第27课时点到直线的距离1教学案 苏教版必修2.doc.doc
2019-2020学年高中数学 第27课时点到直线的距离1教学案 苏教版必修2.doc_数学_高中教育_教育专区。2019-2020 学年高中 数学 第 27 课时点到 直线的距 离 ...
点到直线的距离教学设计.doc
点到直线的距离教学设计 - 信息窗 3 总第( )课时 教学课题:点到直线的距离 教学内容:青岛版小学数学四年级上册第 55 页 信息窗 3(新授) 教学目标: 1....
新人教版四年级《点到直线的距离》教学设计与反思.doc
新人教版四年级《点到直线的距离教学设计与反思 - 教学内容:第 59 页 教学目标 1、让学生经历垂直线段的性质的探索过程,知道从直线外一点到已知直线 所画的...
高中数学教案点到直线的距离公式.doc
高中数学教案点到直线的距离公式 - 高中数学教案 【课题】 点到直线的距离公式 【课题类型】新知课 【教学目的】 1. 使学生了解点到直线的距离公式的推导过程 ...
高中数学§3.3.3 点到直线的距离优质课教案教学设计.doc
高中数学§3.3.3 点到直线的距离优质课教案教学设计_数学_高中教育_教育专区。3.3.3 两条直线的位置关系 —点到直线的距离公式三维目标: 知识与技能:1. ...
《点到直线的距离》说课稿.doc
点到直线的距离》说课稿 - 《点到直线的 距离》 距离》 (获全国一等奖) 张
§3.3.3点到直线的距离教学设计.doc
§3.3.3点到直线的距离教学设计 - 《点到直线的距离教学设计 镇海中学 金国林 一、教学内容分析 《点到直线的距离》是人教 A 版必修 2 第三章第三节中...
《点到直线的距离公式》(教学设计与反思)_图文.txt
点到直线的距离公式》(教学设计与反思) - 《点到直线的距离公式》(教学设计与反思) 环节内容 理论依据或意图 “点到直线的距离公式”是新课程华师大版必修 2...
点到直线的距离教案.doc
点到直线的距离教案 - 点到直线的距离教案 南海九江中学 一、教学目标 根据新课程标准突出学生综合素质培养的特点,确定了本节课三位一体的教学目标: 【知识与技能...
点到直线的距离教案.doc
点到直线的距离教案 - 《点到直线的距离教学设计 新人教版高二第二册(上)第七
乐山一中说课教案点到直线的距离.doc
乐山一中说课教案点到直线的距离 - 名师精编 优秀教案 说课教案:点到直线的距离 乐山一中 蔡贵书 1. 教材分析 1-1 教学内容及包含的知识点 (1) (2) 本课...
必修二《解析几何》:点到直线的距离 教学课件_图文.ppt
必修二《解析几何》:点到直线的距离 教学课件_数学_高中教育_教育专区。点到直线的距离 二、知识新授: 什么是点到直线的距离?点到直线的距离是指: 过该点(...
点到直线的距离教学设计.doc
点到直线的距离教学设计 - §3.3.3 点到直线的距离公式教学设计 金沙中学 沈苓 一.教材分析 《点到直线的距离公式》是新课程人教版必修 2 第三章§3.3 ...