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简证一道竞赛题


2002 年第 4 期

19

短      论 集 锦
与 Miquel 定理相关的两个命题
洪双义
( 北京师范大学天津附中 ,300200)

  米库尔 ( Miquel ) 定理  若四边形 ABCD 的两组对边的延长线交于 E 、 , 则 △BCE 、 F △DCF 、 AB F 和 △ADE 的外接圆共点 . △ 与米库尔定理相关的还有如下两个命 题. 命题 1   若四边形 ABCD 的两组对边的 延长线交于 E 、 , 则 △BCE 、 DCF 、 AB F F △ △ 和 △ADE 的垂心四点共线 . 证明 : 由米库尔定理 , 设 △BCE 、 DCF 、 △ △AB F 和 △ADE 的外接圆的公共点为 P , 则 点 P 关于这四个三角形的西姆松 ( Simson) 线 为同一条直线 l . 由斯坦纳 ( Steiner ) 定理 ( 设 △ABC的垂心为 H , 其外接圆上任一点为 P , 则 P 关于 △ABC 的西姆松线通过线段 PH 的 中点 ) , l 通 过 点 P 分 别 与 △BCE 、 DCF 、 △ △AB F和 △ADE 的垂心的连线段的中点 , 从 而 ,这四个三角形的垂心共线 . 命题 2   若四边形 ABCD 的两组对边的 延长线交于 E 、 , 则 △BCE 、 DCF 、 AB F F △ △ 和 △ADE 的外心四点共圆 . 证明 : 如图 1 , 由米库尔定理 , 设 △BCE 、 △DCF 、 AB F 和 △ADE 的外接圆的公共点 △ 为 P ,这四个三角形的外心分别为 O1 、 2 、 3 O O 和 O4 . ∵PF 为 ⊙O2 与 ⊙O3 的公共弦 , 得 ∴O2 O3 ⊥PF.

图1

设 O2 O3 交 PF 于 H ,则 ∠PO2 H = ∠PCF. 同理 , ∠PO1 O3 = ∠PEB . 又 ∵B 、 、 、 四点共圆 , C P E ∴∠PCF = ∠PEB . 故 ∠PO2 H = ∠PO1 O3 , 即  O1 、 2 、 3 和 P 四点共圆 . O O 同理可证 O1 、 2 、 4 、 四点共圆 . O O P 从而有 O1 、 2 、 3 、 4 四点共圆 . O O O

简证一道竞赛题
杨才荣
( 四川省邻水中学 ,638500)

   31 届西班牙数学奥林匹克第 2 题 : 第
2 2 证明 : 如果 ( x + x + 1 ) ( y + y + 1 ) = 1 ,那么 x + y = 0. 本刊 2001 年第 4 期 P16 给出了上题的一 种证法 ,现给出更简捷的证法 . 证明 : 由已知

(x +
x+ y+

x + 1) ( y + x +1 = y +1 =
2 2

2

y + 1) = 1 , y +1 - y , x + 1 - x.
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2 2

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20

中 等 数 学

两式相加得 x + y = - ( x + y ) . 故 x + y = 0. 编者注 : 陕西的安振平又将结论推广至 :
2 若 ( x + x + m) ( y + m > 0 ,则 x + y ≤ ; 0 2 若 ( x + x + m) ( y + m > 0 ,则 x + y ≥ 0.

y + m ) ≤m , 且 y + m ) ≥m , 且
2

2

≡- t ( mod Q ) 成立的最小正整数 , 及使 P ≡ - t - ( t - 1 ) ( mod Q ) 成立的最小正整数 , ( t - 1 ) ( t + 2) ( mod Q ) 成立 ……,及使 P ≡2 的最小正整数中 , 小的一个即为所求的周数 ( 1 ≤i ≤t - 1) .
参考文献 :
[1]   潘承洞 、 潘承彪 . 初等数论 [ M] . 北京 : 北京大学出版

社 ,1998. 175.

一个同余问题的推广
杨  萍
( 华南师大数学系 ,510631)

关联三个圆的又一结论
徐  丹
( 四川师范大学数学与软件科学学院 ,610066)

   参考文献 [ 1 ] 中有一问题如下 : 有一个人每工作八天后休息两天 . 有一 次他在星期六 、 星期天休息 , 问最少要几周后 他可以在星期天休息 ? 本文对此问题进行推广 ,得到如下结果 : 推广 1 : 某人每连续工作 k 天休息 t 天 , t 个休息日中第 i 个休息日和第 i + 1 个休息 + + 日相隔 j 天 , k 、 ∈Z , j ∈Z ∪ ,且 j 为常 t {0} 数 ( 1 ≤i ≤t - 1) . 则隔至少几周后 , 可于休息 日 A 1 , A 2 , …, A t 再次休息 ? 解 :令 P = 7 x - ( t - i ) ( j + 1 ) , Q = k + t + ( t - 1) j . 对休息日 Ai 而言 ,使 P ≡ (mod Q) 0 成立的最小正整数 , 及使 P ≡ - ( j + 1 ) ( mod Q ) 成立的最小正整数 , 及使 P ≡ - 2 ( j + 1 ) (mod Q ) 成立的最小正整数 , ……, 及使 P ≡ - ( t - 1) ( j + 1 ) ( mod Q ) 成立的最小正整数 中 ,小的一个即为所求的周数 ( 1 ≤i ≤t - 1) . 推广 2 : 某人每连续工作 k 天休息 t 天 , t 个休息日中第 i 个休息日和第 i + 1 个休息 + 日相隔 i 天 , k 、 ∈Z ( 1 ≤i ≤t - 1) . 则隔至 t 少几周后 ,可于休息日 A 1 , A 2 , …, A t 再次休 息? 解 :令 P = 7 x - [ t + ( t - 1 ) + … + ( i + t ( t - 1) 1) ] , Q = k + t + . 对休息日 A i 而言 , 2 使 P ≡ ( mod Q ) 成立的最小正整数 , 及使 P 0

杨  帆
( 四川省高县籁棚中学 ,645150)

   在文 [ 1 ] 中给出了涉及三个圆半径的一 个有趣的几何恒等式的命题 . 命题   圆内折四边形 A′′′′边 A′′ B CD , B 、 ( C′′ D 交于点 H′如图 1) , O′ R′ 、 分别是外接圆 的圆心和半径 , O′ O′ r′ r′ ADH 1 、 2 与 1 、 分别是 △ ′′′ 2 和 △B′′′ 内 切 圆 圆 心 和 半 径 . 记 O′ CH 的 到 O1 、 2 的距离分别为 d′ d′则有 O 1 、2 .   
R′ - d′ R′ - d′ 1 2 = . r′ r′ 1 2
2 2 2 2

经过笔者的初步探讨发现 ,如果连结图 1 中的线段 B′′则四边形 A′′′′ D , C B D 的外接圆 与 △A′′ ′ △C′′ ′ B D 、 B D 的内切圆这三个圆之 半径有一个与上述命题相似的结论 .

图1

图2

定理  如图 2 , 在圆内接 四 边 形 ABCD 中 , O 、 分别是其外接圆的圆心和半径 , O1 、 R
O2 和 r1 、2 分别是 △ACD 与 △BCD 的内切 r
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