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最新人教版高中数学选修2.2.2-反证法ppt课件_图文

第二章 推理与证明 2.2.2 反证法 教材分析 ? 直接证明与间接证明是数学证明的两类基本方法,直接证明的两种 方法:综合法与分析法;间接证明的一种基本方法:反证法. ? 反证法,可以说是一个难点.因为以前我们的证明所采用的方法均为 直接证明法,由已知到结论,顺理成章.而对于间接证明的反证法, 许多同学难以走出直接证明的局限,从而不能深刻或正确地理解反 证法思想.其实,反证法作为证明方法的一种,有时起着直接证明不 可替代的作用. 教学目标 ? 使学生初步掌握反证法的概念及反证法证明的基本方法; ? 培养学生用反证法简单推理的技能,发展学生的思维能力. ? 引导学生掌握反证法证题的基本方法,训练学生的思维能 力. 重点难点 ? 重点:(1)理解反证法的概念; (2)体会反证法证明命题的思路方法及掌握反证法证明的步骤. ? 难点:理解“反证法”证明如何得出“矛盾的所在”. 温故知新 1.直接证明的两种基本证法: 综合法和分析法 2.这两种基本证法的推证过程和特点: 综合法: 分析法: 已知条件 结论 ?????结论 ????? 已知条件 由因导果 执果索因 3、在实际解题时,两种方法如何运用? 通常用分析法寻求思路, 再由综合法书写过程. 引入新课 反证法是间接证明的一种方法,我们对于这种方法并不陌生, 在日常生活或解决某些数学问题时,有时会不自觉地使用反 证法。 ? 事例一:诸葛亮的“空城计”与反证法:三国时期,蜀国 丞相诸葛亮屯兵阳平时,派大将魏延领兵去攻打魏国,只 留下少数老弱病残军士守城,不料魏国大都督司马懿率大 队人马杀来,靠几个老弱军士出城应战,无异于以卵击石, 怎么办?诸葛亮冷静思考之后,决定打开城门,让老弱军 士在城门口洒扫道路,自己则登上城楼,摆好香案,端坐 弹琴,态度从容,琴声幽雅,司马懿见此情景,心中疑虑: “诸葛亮一生精明过人,谨慎有余,从不冒险,今天如此 这般,城内必有伏兵,绝不能中计。”于是急令退兵。这 事例二 路 边 苦 李 王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果 子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.伙伴问他为 什么不去摘? 王戎是怎么 知道李子是苦的 呢?他运用了怎 样的推理方法? 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取 一个尝了一下,果然是苦李. 王戎的推理方法是: 假设李子不苦, 则因树在“道”边,李子早就被别 人采摘而没有了, 这与“多李”产生矛盾. 所以假设不成立,李为苦李. 引例 证明:在一个三角形中至少 有一个角不小于60°. 已知:∠A, ∠ B, ∠ C是△ABC的内角. 求证: ∠ A, ∠ B, ∠ C中至少有一个不小于60° 已知:∠A, ∠ B, ∠ C是△ABC的内角. 求证: ∠ A, ∠ B, ∠ C中至少有一个不小于60° 证明: 假设 的三个内角∠A, ∠ B, ∠ C都小于60°, ?ABC < °,∠B 所以∠ A 60 60°, 60° < < ∠C ∴ ∠A+∠B+∠C<180° 这与 三角形内角和等于180° 相矛盾. ∴ 假设 不能成立,所求证的结论成立. 先假设结论的反面是正确的,然后通过逻辑推理,推出与公理、已证 的定理、定义或已知条件相矛盾, 说明假设不成立,从而得到原结论正确。 这种证明方法就是-----反证法 一、探究定义 一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论 不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾。因此说明假设 错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的 证明方法称为间接证明. 注:反证法是最常见的间接证法。 二、探究反证法的证明过程 否定结论——推出矛盾——肯定结论 即分三个步骤:反设—归谬—存真 反设——假设命题的结论不成立; 归谬——从假设出发,经过一系列正确的推理,得出矛盾; 存真——由矛盾结果,断定反设不成立,从而肯定原结论成立。 归缪矛盾: (1)与已知条件矛盾; (2)与假设矛盾或自相矛盾; (3)与已有公理、定理、定义、事实矛盾. 反证法的思维方法:正难则反 数学中的一些基础命题都是我们经常运用的明显事实,他它们的 判断方法极少,宜用反证法证明.正难则反是应用反证法的原则,即一 个命题的结论如果难以直接证明时,可考虑用反证法. ? ? ? ? ? ? 宜用反证法证明的题型有: (1)一些基本命题、基本定理; (2)易导出与已知矛盾的命题;(3)“否定性”命题; (4)“唯一性”命题; (5)“必然性”命题; (6)“至多”“至少”类命题; (7)涉及“无限”结论的命题等. 三、典例剖析---类型一: α 例1: 已知直线a,b 和平面 ,如果 ? a / /? 证: a / / b . 证明:因为a∥b,所以经过直线 a,b确定 一个平面 . β ? a , b 因为 a ? ,而 ? a?? α 所以 与 因为 β 是两个不同的平面 . ,所以 b ? ? , 且b ?? a且 ? ? ,,b 求? ? ? a ? b P ?.假设直 下面用反证法证明直线 与平面a 没有公共点 线 与平面 有公共点P, 则 ? ,即点P是直线a a P ?? ? ? ? b 矛盾,所以 与b的公共点 ,这与 . a / /? a / /b .? ? ? ? b 三、典例剖析---类型二: 2, 3, 5 例2.证明: 不可能成等差数列 证明: 假设 2, 3, 能成等差数列,则 5 2 3? 2? 5 (2 3) ? ( 2 ? 5 ? 2 10 2 两边平方得: 5) 2 化简得: 两边平方得: 25 ? 40 上式显然不成立,所以假设错误 所以 2, 3, 5 不可能成等差数 注:否定型命题(命题的结论是“不可能……”,“不能表示为……”, “不是……”,“不存在……”

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