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高一数学人教A版必修三同步课件:第二章 统计2.2.2_图文

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征

学案· 新知自解

1.能从样本数据中提取基本的数字特征 (如平均数、众数、中位数 ),并进 行合理的解释. 2.正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差. 3.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.

众数、中位数、平均数的概念

重复出现次数最多 的数据是众数. 1.众数:一组数据中, ____________________ 大小顺序 排成一列,把处在 ________ 最中间 的数据 2.中位数:把一组数据按照 ___________ 两个数据的平均数 (或 _____________________) 叫做这组数据的中位数.
1 (x +x2+?+xn) . ____________________ n 1

3.平均数:如果有 n 个数 x1, x2, x3,?, xn,那么这 n 个数的平均数为

标准差、方差 1.标准差的计算公式 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用 s 表示,

1 2 2 2 [ ( x - x ) +( x - x ) +?+( x - x ) ] . 1 2 n s=________________________________________________ n
2.方差的计算公式
2

1 2 2 2 [( x - x ) + ( x - x ) +?+ ( x - x ) ],其 2 n 标准差的平方 s 叫做方差.s =__________________________________ n 1
2

样本数据 ,n 是___________ 样本容量 , x 是________ 平均数 . 中,xi(i=1,2,?,n)是___________

[化解疑难 ] (1)对众数、中位数、平均数的理解 ①众数、 中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量, 平均数是最重要 的量. ②众数考查各个数据出现的频率, 大小只与这组数据中的部分数据有关, 当 一组数据中部分数据多次重复出现时,其众数往往更能反映问题. ③中位数仅与数据的排列位置有关, 某些数据的变动对中位数没有影响, 中 位数可能在所给的数据中,也可能不在所给的数据中. ④实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位.

(2)对方差与标准差概念的理解 ①标准差、 方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小. 标准差、 方差越大, 数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小 . ②标准差、方差的取值范围:[0,+∞ ). 标准差、方差为 0 时,样本各数据全相等,表明数据没有波动幅度,数据没 有离散性. ③因为方差与原始数据的单位不同, 且平方后可能夸大了偏差的程度, 所以 虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的,但在解决实际问题 时,一般多采用标准差 .

1.10 名工人生产同一零件的件数是 5,8,4,10,7,6,8,8,5,9,设 其平均数为 a,中位数为 b,众数为 c,则有( A.c>b>a C.a>b>c B.b>c>a D.c>a>b )

解析:

平均数为7,中位数为7.5,众数为8,故c>b>a.

答案:

A

2.在某次测量中得到的 A 样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88, 88,88,88.若 B 样本数据恰好是 A 样本数据每个都加 2 后所得数据.则 A,B 两样本的下列数字特征对应相同的是 ( A.众数 C.中位数
解析:

) B.平均数 D.标准差

只有标准差不变,其中众数、平均数和中位数都加 2.

答案:

D

3.一组数据的平均数是 2.8,方差是 3.6,若将这组数据中的每一个数据都 加上 60,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是 ________.

解析:

当一组数据中的每个数同时加上一个数后,平均数相应的增加,

但方差不变,可知新数据的平均数为 62.8,方差为 3.6.

答案:

62.8,3.6

教案· 课堂探究

众数、中位数、平均数的应用 自主练透型 某公司的 33 名员工的月工资(以元为单位)如下: 职务 人数 月工资 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 1 5 500 1 5 000 2 3 500 1 3 000 5 2 500 3 2 000 20 1 500

(1)求该公司员工月工资的平均数、中位数、众数; (精确到 1 元) (2)假设副董事长的月工资从 5 000 元提升到 20 000 元, 董事长的月工资从 5 500 提升到 30 000 元,那么新的平均数、中位数、众数又分别是多少? (精确到 1 元) (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平?结合此问题谈一 谈你的看法.

解析: x=

(1)平均数是

5 500+5 000+3 500×2+3 000+2 500×5+2 000×3+1 500×20 33 ≈2 091(元), 中位数是 1 500 元,众数是 1 500 元.

(2)新的平均数是 x ′= 30 000+ 20 000+3 500× 2+3 000+2 500×5+ 2 000×3+ 1 500× 20 33 ≈ 3 288(元 ) 中位数是 1 500 元,众数是 1 500 元. (3)在这个问题中,中位数和众数都能反映出这个公司员工的工资水平.因 为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大, 这样导致平均数偏差较 大,所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平.

[归纳升华 ] (1)平均数计算方法 a1+a2+?+ an ①定义法: n 个数据 a1, a2,?, an 的平均数 a= . n ②利用加权平均数公式: 在 n 个数据中,如果 x1 出现 f1 次,x2 出现 f2 次,?,xk 出现 fk 次(f1+f2+? x1f1+ x2f2+?+ xkfk + fk= n),则这 n 个数的平均数为: x= . n ③当数据较大时,用公式 x=x′+ a 简化计算.

(2)中位数的求法 ①当数据个数为奇数时,中位数是按从小到大(或从大到小)的顺序依次排列 的中间那个数. ②当数据个数为偶数时,中位数为按从小到大(或从大到小)的顺序依次排列 的最中间的两个数的平均数 .

1.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛,他们 取得的成绩(满分 100 分 )的茎叶图如图,其中甲班学生的平均分是 85,乙班学生 成绩的中位数是 83,则 x+y 的值为________.

解 析 :

因 为 甲 班 学 生 的 平 均 分 是

85 , 所 以

78+79+85+80+x+80+96+92 =85,解得 x=5,又因为乙班学生成绩的中位 7 数是 83,所以 y=3,所以 x+y=8.

答案:

8

平均数、方差的应用 多维探究型 甲、乙两机床同时加工直径为 100 cm 的零件,为了检验质量,各从 中抽取 6 件进行测量,分别记录数据为: 甲: 99 100 98 100 100 103 乙: 99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差; (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.

解析:

1 (1) x 甲= (99+ 100+ 98+100+ 100+103)=100, 6

1 x 乙= (99+100+102+99+100+ 100)= 100, 6 1 s2 = [(99 - 100)2+ (100 - 100)2 + (98 - 100)2 + (100- 100)2+ (100 - 100)2+ 甲 6 7 2 (103- 100) ]= , 3 1 2 s 乙 = [(99 - 100)2+ (100 - 100)2 + (102 - 100)2 + (99- 100)2+ (100 - 100)2+ 6 (100- 100)2]= 1. 2 (2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同,又 s2 甲> s乙 ,所以乙机床加工 零件的质量更稳定.

[归纳升华 ] 1.计算标准差的方法 (1)算出样本数据的平均数. (2)算出每个样本数据与样本平均数的差 xi- x (i=1,2,?, n). (3)算出(xi- x )2(i= 1, 2,?, n). (4)算出(xi- x )2(i= 1, 2,?, n)这 n 个数的平均数,即为样本方差 s2. (5)算出方差的算术平方根,即为样本标准差 s.

2.方差的计算公式 1 (1)s = [(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2]. n
2

1 2 2 2 (2)s2= (x2 1+ x2+? + xn- n x ). n 1 2 2 2 (3)s = (x1+x2+?+x2 n)- x . n
2

2.甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛,他们分别射击了 5 次,成绩如下表(单位:环),如果甲、乙两人中只有 1 人入选,则入选的最佳人 选应是________. 甲 10 8 9 9 9

乙 10 10 7 9 9

解析: 判断谁入选, 首先应考虑选手的成绩是否稳定, 因此分别求其方差, 再比较大小,较小的稳定.可以计算得 1 x 1= (10+8+9+ 9+9)=9, 5 1 x 2= (10+10+7+9+9)=9, 5 1 2 2 1 s甲=(10-9) × +(8- 9) × = , 5 5 5
2 2

1 6 2 2 1 s2 = 2(10 - 9) × + (7 - 9) × = . 乙 5 5 5
2 s2 乙> s甲 ,说明乙的波动性大,故入选的最佳人选应是甲.

频率分布直方图与数字特征的综合应用 多维探究型 (1)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次,两人成绩的条形统计图 如图所示,则( )

A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

(2)从高三抽出 50 名学生参加数学竞赛, 由成绩得到如下的频率分布直方图.

由于一些数据丢失,试利用频率分布直方图求: ①这 50 名学生成绩的众数与中位数. ②这 50 名学生的平均成绩.

解析:

1 (1) x 甲= (4+ 5+ 6+ 7+ 8)= 6, 5

1 x 乙= (5× 3+ 6+ 9)= 6, 5 甲的中位数是 6, 乙的中位数是 5. 1 2 甲的成绩的方差为 (2 × 2+ 12× 2)= 2, 5 1 2 乙的成绩的方差为 (1 × 3+ 32× 1)= 2.4, 5 甲的极差是 4,乙的极差是 4. 所以 A,B, D 错误, C 正确.

(2)①由众数的概念可知,众数是出现次数最多的数.在直方图中高度最高 的小长方形的底边中点的横坐标即为所求,所以众数应为 75. 由于中位数是所有数据中的中间值, 故在频率分布直方图中体现的是中位数 的左右两边频数应相等,即频率也相等,从而就是小矩形的面积和相等.因此在 频率分布直方图中将所有小矩形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交 点的横坐标所对应的成绩即为所求.

∵ 0.004× 10+ 0.006× 10+ 0.02× 10 = 0.04+ 0.06+0.2= 0.3, ∴前三个小矩形面积的和为 0.3.而第四个小矩形面积为 0. 03× 10= 0.3,0.3+0.3>0.5, ∴中位数应约位于第四个小矩形内. 设其底边为 x,高为 0.03, ∴令 0.03x= 0.2,得 x≈6.7, 故中位数应约为 70+ 6.7= 76.7.

②样本平均值应是频率分布直方图的“重心”, 即所有数据的平均值, 取每 个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可. ∴ 平 均 成 绩 为 45×(0.004×10) + 55×(0.006×10) + 65×(0.02×10) + 75×(0.03×10)+85×(0.021×10)+95×(0.016×10)=73.65.

答案:

(1)C

[归纳升华 ] 众数、中位数、平均数与频率分布表、频率分布直方图的关系 (1)众数:众数一般用频率分布表中频率最高的一小组的组中值来表示.即 在样本数据的频率分布直方图中,最高矩形的中点的横坐标. (2)中位数:在频率分布表中,中位数是累计频率(样本数据小于某一数值的 频率叫作该数值点的累计频率)为 0.5 时所对应的样本数据的值,而在样本中有 50%的个体小于或等于中位数,也有 50%的个体大于或等于中位数.因此,在 频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.

(3)平均数:平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和.又平 均数是频率分布直方图的“重心”.我们知道,n 个样本数据 x1,x2,?,xn 的 1 平均数 x = (x1+ x2+?+ xn), 则有 n x = x1+ x2+ ?+ xn, 也就是把每个 xi(i= 1, n 2,?, n)都用 x 取代后,数据总和保持不变,所以平均数 x 对数据有“取齐 ” 的作用,代表了一组数据的数值平均水平.在频率分布直方图中,平均数是直方 图的平衡点 .

3.已知一组数据: 125 121 123 125 127 129 125 128 130 129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 128 (1)填写下面的频率分布表: 分组 频数 频率 [120.5,122.5) [122.5,124.5) [124.5,126.5) [126.5,128.5) [128.5,130.5] (2)作出频率分布直方图; (3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数.

解析:

(1) 分组 [120.5,122.5) [122.5,124.5) [124.5,126.5) [126.5,128.5) [128.5,130.5] 合计 频数 频率 2 3 8 4 3 20 0.1 0.15 0.4 0.2 0.15 1

(2)频率分布直方图为:

(3)在[124.5,126.5)中的数据最多,取这个区间的中点值作为众数的近似值, 得众数为 125.5,事实上,众数的精确值为 125. 5 图中虚线对应的数据是 124.5+ 2× = 125.75,事实上中位数为 125.5.使用 8 “组中值”求平均数 x = 121.5×0.1 + 123.5× 0.15 + 125.5× 0.4 + 127.5×0.2 + 129.5×0.15= 125.8, 平均数的精确值为 x = 125.75.

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