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弦长公式和点差法


弦长公式和点差法
王辉 12月5号高二文(1)

复习:直线与圆的位置关系有哪几种?

怎么判断它们之间的位置关系? d=r 几何法: d>r 代数法:?<0 ?=0

d<r

?>0

引入:直线与椭圆的位置关系有哪几种

1.直线与椭圆的位置关系的判定

Ax+By+C=0 代数法 2 2 由方程组: x y ? 2 ?1 ----求解直线与二次曲线有 2 a b 2 mx +nx+p=0(m≠ 0) 关问题的通法。

= n2-4mp
>0 =0 <0
方程组有两解 方程组有一解 方程组无解 两个交点 一个交点 无交点 相交

相切
相离

练习:已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ,判断它们的位置关系。
2

解:联立方程组
1 y? x? 2

消去y

x2+4y2=2
因为

5 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 ----- (1)

4 ? x ? x2 ? 由韦达定理 ? 1 5 ? 1 ? x1 ? x2 ? ? 5 ?

?>0

所以,方程(1)有两个根, 则原方程组有两组解….

那么,相交所得的弦的弦长是多少?

2、弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,直线P1P2的斜率为k.

弦长公式:
弦长的计算方法: 弦长公式:
2 |AB|= 1 ? k 2 · (x1 ? x2) ? 4 x1 x2

=

1 1? 2 · (y1 ? y2) ? 4 y1 y2 k

(适用于任何曲线)

2、弦长公式
例:已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A,B两点,求弦AB之长. 的右焦点,

练习: 已知椭圆5x2+9y2=45,椭圆的右焦点为F, 求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长。

x2 y 2 解 : 椭圆 ? ?1 9 5

F (2, 0)

直线l:y ? x ? 2

?y ? x ? 2 2 得: 14 x ? 36 x ? 9 ? 0 由? 2 2 5 x ? 9 y ? 45 ? 18 9 ? x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? 7 14 6 11 2 2 ?弦长 ? 1 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 ? 7

知识点3:中点弦问题
点差法:已知弦的中点可利用端点在曲线上,坐 标满足方程,作差构造出中点坐标和斜率

设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), AB中点M ( x0 , y0 ), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )在椭圆上,

x12 y12 2 2 ? 2 ? 1 x2 ? y2 ? 1 2 a b a 2 b2 两式相减得: b2 ( x 2 ? x 2 ) ? a 2 ( y 2 ? y 2 ) ? 0

( y1 ? y1 ) ( y1 ? y1 ) b2 即 ? ?? 2 ( x1 ? x2 ) ( x1 ? x2 ) a y1 ? y2 y0 y1 ? y1 其中 ? , ? k AB x1 ? x2 x0 x1 ? x2

1

2

1

1

直线和椭圆相交 弦的中点问题, 常用“设而不求” 的思想方法。

3、弦中点问题
例 :已知椭圆 过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被 平分,求此弦所在直线的方程. 解 点

作差

点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,作差构造 出中点坐标和斜率.

练习: 已知椭圆5x2+9y2=45,椭圆的右焦点 为F,求以A为中点椭圆的弦所在的直线方程.
解 : 5 ?12 ? 9 ?12 ? 45 ? A(1,1)在椭圆内。

? x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? 2

设以A为中点的弦为MN且M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 )
5x12 ? 9 y12 ? 45 2 2 2 2 两式相减得: ( 5 x ? x ) ? ( 9 y ? y ?0 1 2 1 2) 2 2 5x2 ? 9 y2 ? 45 5 y1 ? y2 5 x1 ? x2 ?? ? kMN ? ?? ? 9 x1 ? x2 9 y1 ? y2 5 ?以A为中点的弦为MN 方程为:y ? 1 ? ? ( x ? 1) 9

?弦所在的直线方程5x ? 9 y ?14 ? 0

作业
已知椭圆5x2+9y2=45,椭圆的右焦点为F,
? (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的 弦长.

? (2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以 A为中点椭圆的弦所在的直线方程. ?

再见
?

谢谢各位老师莅临指导


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