当前位置:首页 >> 数学 >>

2010年全国高中数学联赛试题及答案

2010 年全国高中数学联赛 一 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分, ) 1. 函数 f ( x) ? 试 x ? 5 ? 24 ? 3x 的值域是 . . 2. 已知函数 y ? (a cos2 x ? 3) sin x 的最小值为 ? 3 ,则实数 a 的取值范围是 3. 双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的右半支与直线 x ? 100 围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标 均为整数的点)的个数是 . 4. 已 知 {an } 是 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 , {bn } 是 等 比 数 列 , 其 中 a1 ? 3, b1 ? 1, a2 ? b2 ,3a5 ? b3 ,且存在常数 ? , ? 使得对每一个正整数 n 都有 an ? log? bn ? ? , 则? ? ? ? . 5. 函数 f ( x) ? a 2 x ? 3a x ? 2(a ? 0, a ? 1) 在区间 x ? [?1,1] 上的最大值为 8, 则它在这个区 间上的最小值是 . 6. 两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜,否则轮 由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 7. 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的 9 条棱长都相等,P 是 CC1 的中点, 二面角 B ? A1 P ? B1 ? ? , 则 sin ? ? . . 8. 方程 x ? y ? z ? 2010满足 x ? y ? z 的正整数解(x,y,z)的个数是 二、解答题(本题满分 56 分) 9. (16 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ,当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 1,试求 a 的最大值. 10. ( 20 分 ) 已 知 抛 物 线 y ? 6 x 上 的 两 个 动 点 A( x1 , y1 )和B( x2 , y2 ) , 其 中 x1 ? x 2 且 2 x1 ? x2 ? 4 .线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ,求 ?ABC 面积的最大值. 11.(20 分)证明:方程 2 x ? 5x ? 2 ? 0 恰有一个实数根 r ,且存在唯一的严格递增正整数数 3 列 {an } ,使得 2 ? r a1 ? r a2 ? r a3 ? ? . 5 解 [?3, 3] 答 1. 提示:易知 f ( x) 的定义域是 ?5,8? ,且 f ( x) 在 ?5,8? 上是增函数,从而可知 f ( x) 的值域为 [?3, 3] . 2. ? 3 ? a ? 12 2 提示:令 sin x ? t ,则原函数化为 g (t ) ? (?at 2 ? a ? 3)t ,即 g (t ) ? ?at 3 ? (a ? 3)t . 由 ? at 3 ? (a ? 3)t ? ?3 , (t ? 1)(?at(t ? 1) ? 3) ? 0 及 t ? 1 ? 0 知 ? at(t 2 ? 1) ? 3(t ? 1) ? 0 , ? at(t ? 1) ? 3 ? 0 即 a(t 2 ? t ) ? ?3 . 当 t ? 0,?1 时(1)总成立; 2 对 0 ? t ? 1,0 ? t ? t ? 2 ;对 ? 1 ? t ? 0,? (1) 1 3 ? t 2 ? t ? 0 .从而可知 ? ? a ? 12 . 4 2 3. 9800 提示:由对称性知,只要先考虑 x 轴上方的情况,设 y ? k (k ? 1,2,?,99) 与双曲线 右半支于 Ak ,交直线 x ? 100 于 Bk ,则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 ? k ,从而在 x 轴上方区 域内部整点的个数为 ? (99 ? k ) ? 99 ? 49 ? 4851 . k ?1 99 又 x 轴上有 98 个整点,所以所求整点的个数为 2 ? 4851 ? 98 ? 9800 . 4. 3 3 ? 3 提示 :设 {an } 的公差为 d ,{bn } 的公比为 q ,则 3 ? d ? q, (1) (2) 3(3 ? 4d ) ? q 2 , 2 (1)代入(2)得 9 ? 12d ? d ? 6d ? 9 ,求得 d ? 6, q ? 9 . 从而有 3 ? 6(n ? 1) ? log? 9 一切正整数 n 都成立. 从而 n?1 即 6n ? 3 ? (n ? 1) log? 9 ? ? 对 ? ? 对一切正整数 n 都成立, log? 9 ? 6,?3 ? ? log? 9 ? ? , 求得 ? ? 3 3, ? ? 3 , ? ? ? ? 3 3 ? 3 . 1 4 提示: 令 a x ? y, 则原函数化为 g ( y) ? y 2 ? 3 y ? 2 , g ( y ) 在 (? ,+?) 上是递增的. 5. ? 3 2 当 0 ? a ? 1 时, y ? [a, a ?1 ] , g ( y ) max ? a ?2 ? 3a ?1 ? 2 ? 8 ? a ?1 ? 2 ? a ? 所以 1 , 2 1 1 1 g ( y ) min ? ( ) 2 ? 3 ? ? 2 ? ? ; 2 2 4 当 a ? 1 时, y ? [a ?1 , a] , g ( y) max ? a 2 ? 3a ? 2 ? 8 ? a ? 2 , 所以 1 g ( y ) min ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ?1 ? 2 ? ? . 4 1 综上 f ( x) 在 x ? [?1,1] 上的最小值为 ? . 4 12 21 7 ? 6. 提示:同时投掷两颗骰子点数和大于 6 的概率为 ,从而先投掷人的获胜概率 17 36 12 为 7 5 7 5 7 7 ? ( )2 ? ? ( )4 ? ? ? ? ? 12 12

相关文章:
2010年全国高中数学联赛试题参考答案.doc
2010年全国高中数学联赛试题参考答案 - 2010 年全国高中数学联合竞赛一试
2010全国高中数学联赛试题及答案.doc
2010全国高中数学联赛试题及答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2010 年全国...2010 年全国高中数学联合竞赛一试试卷(考试时间:10 月 17 日上午 8∶009...
2010年全国高中数学联赛二试试题及答案解析.pdf
2010年全国高中数学联赛二试试题及答案解析_学科竞赛_高中教育_教育专区。2010全国高中数学联赛试题及答案解析 2010 年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案及评分...
2010年全国高中数学联赛试题参考答案.doc
2010年全国高中数学联赛试题参考答案 - 2010 年全国高中数学联合竞赛一试
2010年全国高中数学联赛试题及解答.pdf
2010年全国高中数学联赛试题及解答 - 2010 年全国高中数学联合竞赛 第一
2010年全国高中数学联赛试题及答案[1].doc
2010年全国高中数学联赛试题及答案[1]_高三数学_数学_高中教育_教育专区。
2011年全国高中数学联赛试题及解答.pdf
2011年全国高中数学联赛试题及解答 - 2011 年全国高中数学联合竞赛 第一试 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上. 1.设...
2010年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案.pdf
2010年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案 - 声明:本资料未经过编辑加工,
2010年全国高中数学联赛江西预赛试题及答案.doc
2010年全国高中数学联赛江西预赛试题及答案 - 2010 年全国高中数学联赛 江西省预赛试题 (考试时间:9 月 24 日上午 8:30-11:00) 一.填空题(共 8 题,每题 ...
2010年全国高中数学联赛贵州省预赛试题及答案.doc
2010年全国高中数学联赛贵州省预赛试题及答案 - 《高中数学联赛备考手册(预赛
2010年全国高中数学联赛试题及详细解析.doc
2010年全国高中数学联赛试题及详细解析 - 2010 年全国高中数学联赛 一、
2010年全国高中数学联赛试题及参考答案_图文.pdf
2010年全国高中数学联赛试题及参考答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2010
2010年全国高中数学联赛广东赛区预赛试卷及详细答案.doc
2010年全国高中数学联赛广东赛区预赛试卷及详细答案 - 2010 年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题及详细答案 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64...
2011年全国高中数学联赛试题及答案_图文.doc
2011年全国高中数学联赛试题及答案 - 学奥数,这里总有一本适合你! 华东师范
2010年全国高中数学联赛加试B卷试题及解答(word)版.doc
2010 年全国高中数学联合竞赛加试 年全国高中数学联合竞赛加试 联合竞赛 试题参考答案及评分标准( 试题参考答案及评分标准(B 卷)说明: 说明: 1. 评阅试卷时,请...
2010年全国高中数学联赛一试试题及参考答案_A卷__图文.pdf
2010年全国高中数学联赛一试试题及参考答案_A卷__高三数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 | 举报文档 2010年全国高中数学联赛一试试题及...
2010年全国高中数学联赛试题参考答案.doc
2010年全国高中数学联赛试题参考答案_数学_高中教育_教育专区。2010 年全
2010年全国高中数学联赛试题及详细解析.doc
2010年全国高中数学联赛试题及详细解析 - 2010 年全国高中数学联赛 一、
2010年全国高中数学联赛试题及答案.doc
2010年全国高中数学联赛试题及答案 - 2010 年全国高中数学联赛 一试一、
2010年全国高中数学联赛试题及详细解析.doc
2010年全国高中数学联赛试题及详细解析 - 2010 年全国高中数学联赛 一、