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2010年全国高中数学联赛试题及答案

2010 年全国高中数学联赛 一试 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分,) 1. 函数 f (x) ? x ? 5 ? 24 ? 3x 的值域是 . 2. 已知函数 y ? (a cos2 x ? 3) sin x 的最小值为 ? 3 ,则实数 a 的取值范围是 . 3. 双曲线 x2 ? y 2 ? 1 的右半支与直线 x ? 100围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标 均为整数的点)的个数是 . 4. 已 知 {an } 是 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 , {bn } 是 等 比 数 列 , 其 中 a1 ? 3, b1 ? 1, a2 ? b2 ,3a5 ? b3 ,且存在常数?, ? 使得对每一个正整数 n 都有 an ? log? bn ? ? , 则? ? ? ? . 5. 函数 f (x) ? a 2x ? 3a x ? 2(a ? 0, a ? 1) 在区间 x ?[?1,1]上的最大值为 8,则它在这个区 间上的最小值是 . 6. 两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜,否则轮 由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 7. 正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的 9 条棱长都相等,P 是 CC1的中点,二面角 B ? A1P ? B1 ? ? , 则 sin? ? . 8. 方程 x ? y ? z ? 2010满足 x ? y ? z 的正整数解(x,y,z)的个数是 . 二、解答题(本题满分 56 分) 9. (16 分)已知函数 f (x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ,当 0 ? x ? 1时, f ?(x) ? 1,试求 a 的最大值. 10. ( 20 分 ) 已 知 抛 物 线 y 2 ? 6x 上 的 两 个 动 点 A(x1, y1)和B(x2 , y2 ) , 其 中 x1 ? x2 且 x1 ? x2 ? 4 .线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ,求 ?ABC面积的最大值. 11.(20 分)证明:方程 2x3 ? 5x ? 2 ? 0 恰有一个实数根 r ,且存在唯一的严格递增正整数数 列{an } ,使得 2 ? r a1 ? r a2 ? r a3 ? ?. 5 解答 1. [?3, 3] 提示:易知 f (x) 的定义域是 ?5,8?,且 f (x) 在 ?5,8?上是增函数,从而可知 f (x) 的值域为[?3, 3] . 2. ? 3 ? a ? 12 提示:令 sin x ? t ,则原函数化为 g(t) ? (?at 2 ? a ? 3)t ,即 2 g(t) ? ?at 3 ? (a ? 3)t . 由 ? at 3 ? (a ? 3)t ? ?3 ,? at(t 2 ?1) ? 3(t ?1) ? 0 ,(t ?1)(?at(t ?1) ? 3) ? 0 及 t ?1 ? 0 知 ? at(t ?1) ? 3 ? 0 即 a(t 2 ? t) ? ?3. (1) 当 t ? 0,?1 时(1)总成立; 对 0 ? t ? 1,0 ? t 2 ? t ? 2 ;对 ?1 ? t ? 0,? 1 ? t 2 ? t ? 0 .从而可知 ? 3 ? a ? 12 . 4 2 3. 9800 提示:由对称性知,只要先考虑 x 轴上方的情况,设 y ? k(k ? 1,2,?,99) 与双曲线 右半支于 Ak ,交直线 x ? 100于 Bk ,则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 ? k ,从而在 x 轴上方区 域内部整点的个数为 99 ? (99 ? k) ? 99? 49 ? 4851 . k ?1 又 x 轴上有 98 个整点,所以所求整点的个数为 2? 4851? 98 ? 9800. 4. 3 3 ? 3 提示 :设{an } 的公差为 d,{bn} 的公比为 q ,则 3 ? d ? q, (1) 3(3 ? 4d ) ? q 2 , (2) (1)代入(2)得 9 ?12d ? d 2 ? 6d ? 9 ,求得 d ? 6, q ? 9 . 从而有 3 ? 6(n ? 1) ? log? 9n?1 ? ? 对一切正整数 n 都成立,即 6n ? 3 ? (n ?1) log? 9 ? ? 对 一切正整数 n 都成立. 从而 log? 9 ? 6,?3 ? ? log? 9 ? ? , 求得 ? ? 3 3, ? ? 3 ,? ? ? ? 3 3 ? 3. 5. ? 1 提示:令 a x ? y, 则原函数化为 g( y) ? y 2 ? 3y ? 2 , g( y) 在 (? 3 ,+?) 上是递增的. 4 2 当 0 ? a ? 1时, y ?[a, a ?1 ] , 所以 g( y)max ? a?2 ? 3a?1 ? 2 ? 8? a?1 ? 2 ? a ? 1 2 , g( y)min ? (1)2 2 ? 3? 1 2 ? 2 ? ? 1 4 ; 当 a ? 1 时, y ?[a ?1, a] , g( y)max ? a 2 ? 3a ? 2 ? 8 ? a ? 2 , 所以 g( y)min ? 2?2 ? 3? 2?1 ?2 ? ?1. 4 综上 f (x) 在 x ?[?1,1]上的最小值为 ? 1 . 4 6. 12 提示:同时投掷两颗骰子点数和大于 6 的概率为 21 ? 7 ,从而先投掷人的获胜概率 17 36 12 为 7 ? ( 5 )2 ? 7 ? ( 5 )4 ? 7 ? ? ? 7 ? 1 ? 12 . 12 12 12 12 12 12 1? 25 17 144 7. 10 提示:解法一:如图

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