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高中数学第二章指数函数、对数函数和幂函数2.5.2形形色色的函数模型练习湘教版必修1

2.5.2 形形色色的函数模型 [学习目标] 1.会利用已知函数模型解决实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题. [预习导引] 1.解决函数应用问题的基本步骤 利用函数知识和函数观点解决实际问题时,一般按以下几个步骤进行: (一)审题;(二)建模;(三)求模;(四)还原. 这些步骤用框图表示如图: 2.数学模型 就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题,得出关 于实际问题的数学描述. 解决学生疑难点 _________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ 要点一 用已知函数模型解决问题 例 1 通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生接受能力依赖于老师引入概念和描述 问题所用的时间.讲座开始时,学生的兴趣激增,中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保 持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,分析结果和实验表明,用 f(x)表示学生掌握 和接受概念的能力(f(x)值越大, 表示接受的能力越强), x 表示提出和讲授概念的时间(单位: min),可有以下的公式: -0.1x +2.6x+43,0<x≤10, ? ? f(x)=?59,10<x≤16, ? ?-3x+107,16<x≤30. (1)开始后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多长时间? (2)开讲后 5 min 与开讲后 20 min 比较,学生的接受能力何时强一些? 1 2 (3)一个数学难题,需要 55 的接受能力以及 13 min 时间,老师能否及时在学生一直达到所需 接受能力的状态下讲授完这个难题? 解 (1)当 0<x≤10 时, f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9. 故 f(x)在(0,10]上单调递增,最大值为 f(10)=-0.1×(-3)2+59.9=59; 当 16<x≤30 时,f(x)单调递减, f(x)<-3×16+107=59. 因此,开讲后 10 min,学生达到最强的接受能力(值为 59),并维持 6 min. (2)f(5)=-0.1×(5-13) +59.9=59.9-6.4=53.5, 2 f(20)=-3×20+107=47<53.5=f(5). 因此,开讲后 5 min 学生的接受能力比开讲后 20 min 强一些. (3)当 0<x≤10 时,令 f(x)=55, 则-0.1×(x-13) =-4.9,(x-13) =49. 所以 x=20 或 x=6.但 0<x≤10, 故 x=6. 当 16<x≤30 时,令 f(x)=55,则-3x+107=55. 1 所以 x=17 . 3 因此,学生达到(或超过)55 的接受能力的时间为 1 1 17 -6=11 <13(min),所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这 3 3 道难题. 规律方法 解决已给出函数模型的实际应用题,关键是考虑该题考查的是哪种函数,并要注 意定义域,然后结合所给模型,列出函数关系式,最后结合其实际意义作出解答. 解决此类型函数应用题的基本步骤是: 第一步:阅读理解,审清题意. 读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景.在此基础上,分 析出已知是什么,所求是什么,并从中提炼出相应的数学问题. 第二步:根据所给模型,列出函数关系式. 根据问题的已知条件和数量关系,建立函数关系式,在此基础上将实际问题转化为一个函数 问题. 第三步:利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答,求得结果. 第四步:再将所得结论转译成具体问题的解答. 跟踪演练 1 统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升)关于行驶速度 2 2 2 x(千米/时)的函数解析式可以表示为:y= 1 3 x3- x+8(0<x≤120).已知甲、乙两地 12 800 80 相距 100 千米.当汽车以 40 千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? 解 当 x = 40 时 , 汽 车 从 甲 地 到 乙 地 行 驶 了 100 = 2.5( 小 时 ) , 要 耗 油 40 ? 1 ×403- 3 ×40+8?×2.5=28.75(升),即当汽车以 40 千米/时的速度匀速行驶时, ?12 800 ? 80 ? ? 从甲地到乙地耗油 28.75 升. 要点二 建立函数模型解决实际问题 例 2 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的 车流速度 v(单位:千米/时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度 为 60 千米/时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时, 车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数, 单位: 辆/时)f(x) =x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/时) 解 (1)由题意:得当 0≤x≤20 时,v(x)=60;当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b, 1 ? ?a=-3, 解得? 200 ? ?b= 3 . ? ?200a+b=0, 再由已知得? ?20a+b=60, ? 故函数 v(x)的表达式为 60,0≤x≤20, ? ? v(x)=?1 -x ,20≤x≤200. ? ?3 (2)依题意并由(1)可得 60x,0≤x≤20, ? ? f(x)=?1 x -

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