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高二数学两个基本计数原理及排列组合


一、 两个基本计数原理 (一)知识点 1.分类计数原理 完成一件事,有 n 类方式,在第 1 类方式中有 m1 种不同的方法,在第 2 类 方式中有 m2 种不同的方法,……,在第 n 类方式中有 mn 种不同的方法,那么完 成这件事共有 N=m1+m2+...+mn 种不同的方法. 2.分步计数原理 完成一件事,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法,做第 2 步 有 m2 种不同的方法,……做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=

m1*m2*...*mn 种不同的方法.
(二)运用与方法 检测: 1、要从甲、乙、丙 3 名工人中选出 2 名分别上日班和晚班,有多少中不同的选 法? 从 3 名工人中选 1 名上白班和 1 名上晚班,可以分成先选 1 名上白班,再选 1 名上晚班这两个步骤完成.先选 1 名上白班,共有 3 种选法;上白班的人选定后, 上晚班的工人有 2 种选法 . 根据分步计数原理,所求的不同的选法数是 3 × 2=6(种). 2、 有 5 封不同的信, 投入 3 个不同的信箱中, 那么不同的投信方法总数为多少? 3 的五次 3、(1)一件工作可以用两种方法完成,有 5 人会用第 1 种方法完成,有 4 人会 用第 2 种方法完成, 从中选出 1 人来完成这件工作,不同选法的总数是 分两 类.第一类有 5 种选法; 第二类有 4 种选法.共 9 种 (2)从 A 村去 B 村的道路有 3 条,从 B 村去 C 村的道路有 2 条,从 A 村经过 B 村去 C 村不同走法的总数是 3×2=6 所有六条路 *4、从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数 列,这样的等比数列共有多少个? 这样的等比数列有:1、2、4;4、2、1;2、4、8;8、4、2;1、3、9;9、3、1; 4、6、9;9、6、4,共计 8 个, 故答案为:8. 5、有不同的中文书 9 本,不同的英文书 7 本,不同的日文书 5 本,欲从中取出 不是同一国文字的两本书,共有多少种不同的取法? 取中文和英文:9*7=63 取中文和日文:9*5=45 取英文和日文:7*5=35 总共:63+45+35=143 二、排列与组合 (一)知识点 1.排列

(1)排列的定义:一般地,从 n 个不同的元素中取出 m (m≤n)个元素,按 照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. (2)排列数的定义:一般地,从 n 个不同的元素中取出 m(m≤n)个元素的所 有排列的个数, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数, 用符号 An 表示. (4)从 n 个不同元素中任取 m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排列起来,叫 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。当 m=n 时所有的排列情况叫全 排列。 2.组合 (1)组合的定义:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合;从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元 素的所有组合的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数. 3.组合数
m

课堂检测: 一、排列问题 1、判断下列问题是否是排列问题: (1) 从 1、2、3、5 中任取两个不同的数相减(除)可得到多少个不同的 结果?A5.2 (2) 从 1、2、3、5 中任取两个不同的数相加(乘)可得到多少个不同的 结果?C5.2 (3) 某班有 50 名同学约定每两人通一次信,共需写信多少封?A50.2 (4) 某班有 50 名同学约定每两人通一次电话,共需通电话多少次?A50.2 (5) 某班有 50 名同学约定每两人互赠照片各一张,共需照片多少张? C50.2 (6) 某班有 50 名同学约定互相握手一次,共需握手多少次?C50、2
3 2、计算 A 16 和 A6 6 m 3、(1)已知 A 10 =10×9×…×5,则 m=
7 (2)已知 9!=362880,则 A 9 =

6

381440

(3)已知 A 2 n =56,则 n =
2 (4)已知 A 2 n =7A n ? 4 ,则 n=

8 7

4、有 3 名男生,4 名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数: (1)选其中 5 人排成一排;a7.5 (2)排成前后两排,前排 3 人,后排 4 人;a77 (3)全体排成一排,甲不站在排头也不站在排尾;5*a66 二、组合问题
3 2 1、计算 C82 ?C 8 ?C9 ?( a )

A120

B240

C60

D480 )

2 2、已知 C n =10,则 n=( b

A10

B5

C3

D2

3 4 3、如果 Am ,则 m=( b ) ? 6Cm

A6

B7

C8

D9

课堂练习: 1、高三一班有学生 50 人,男生 30 人,女生 20 人;高三二班有学生 60 人,男生 30 人,女生 30 人;高三三班有学生 55 人,男生 35 人,女生 20 人. (1) 从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席,有多少种不同的选 法? (2)从高三一班、二班男生中,或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育 部长,有多少种不同的选法?

*2、从 1 到 20 这 20 个整数中,任取两个相加,使其和大于 20,共有几种取法?

6、用 4 种不同颜色给下图示的地图上色, 要求相邻两块涂不同的颜色, 共有 多少种不同的涂法? (1) 解: (3)
(2) (4)

4、①从 a、b、c、d 4 名学生中选出 2 名学生完成一项工作,有多少种不同的选 法? ②从 a、b、c、d 4 名学生中选出 2 名学生完成两项不同的工作,有多少种不同 的选法? ③a、b、c、d 4 个足球队之间进行单循环比赛,恭需多少场比赛? ④a、b、c、d 4 个足球队争夺冠亚军,有多少种不同的结果?

5、某课外活动小组共 13 人,其中男生 8 人,女生 5 人,并且男、女生各指定一 名队长.现从中选 5 人主持某项活动,依下列条件各有多少种选法? (1)只有一名女生当选; (2)两队长当选; (3)至少有一名队长当选; (4)至多有两名女生当选; (5)既要有队长,又要有女生当选.

课堂练习:

1、某市工商局对 35 种商品进行抽样检查,鉴定结果有 15 种假货,现从 35 种商 品中选取 3 种. (1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种? (2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种? (3)恰有 2 种假货在内,不同的取法有多少种? (4)至少有 2 种假货在内,不同的取法有多少种? (5)至多有 2 种假货在内,不同的取法有多少种?

二、综合问题 1、从 0、1、2、3、4、5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复 数字的四位数的个数为多少? 2、3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站在两端,3 位女生中 有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是多少? 3、(2010·湖北高考改编)现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会 志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至 少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四 项工作,则不同安排方案的种数是多少?


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