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2015秋高中数学 2.3幂函数学案设计 新人教A版必修1


第二章

基本初等函数(Ⅰ) 2.3 幂函数

学习目标 ①掌握幂函数的形式特征及具体幂函数的图象和性质; ②能应用幂函数的图象和性质解决有关的简单问题. 合作学习 一、设计问题,创设情境 请看下列问题,并将每个问题中的 y 表示成 x 的函数. 1.如果张红购买了每千克 1 元的水果 x 千克,那么她需要支付 y= (x>0)元; 2.如果正方形的边长为 x,那么正方形的面积 y= (x>0); 3.如果立方体的边长为 x,那么立方体的体积 y= (x>0); 4.如果一个正方形场地的面积为 x,那么这个正方形场地的边长 y= (x>0); 3 3 5.如果某人以 x m /s 的速度向蓄水池注入了体积为 1m 的水,那么他注水的时间 y= (x>0). 二、自主探索,尝试解决 思考: 1.以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现几个解析式结构上的共同特征 吗? 2.根据我们学习的函数的概念,你能不能判断它们能否构成函数?是我们学习过的哪类 函数?如果不是,你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字? 幂函数的定义(形式定义): 请同学们举出一个具体的幂函数. 三、信息交流,揭示规律 y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1,y=x-2. 请同学们用描点法在平面直角坐标系中画出上述函数的图象.

总结函数性质,填写表格.

y=x
3

y=x
2

y= x

y=

y=x1

y=x2

定 义 域 值域 奇 偶

性 单 调 性 定点 性质总结如下: α >0 在 [0,+∞) 上 是增函数 图象过原点 α <0 在(0,+∞)有定义,图象过点(1,1) 在(0,+∞)上是减函数 在第一象限内,当 x 从右边趋向于 0 时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴;当 x 趋于+∞时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴

四、运用规律,解决问题 【例 1】比较下列两个代数式值的大小: 1.5 1.5 2 (1)2.,2.;(2)(,(;(3)(a+1) ,a ;(4)(2+a .

【例 2】讨论函数 y=的定义域、奇偶性,作出它的图象,并根据图象说明函数的单调性.

思考与讨论: α 幂函数 y=x (α ∈R),当 α =1,3,5,…(正奇数)时,函数有哪些性质?

【例 3】证明幂函数 f(x)=在[0,+∞)上是增函数.

五、变式演练,深化提高 1.下列函数中,是幂函数的是(
2

) D.y=2
x

A.y=B.y=3x C.y= 2.下列结论正确的是( ) A.幂函数的图象一定过(0,0)和(1,1) α B.当 α <0 时,幂函数 y=x 是减函数 α C.当 α >0 时,幂函数 y=x 是增函数 2 D.函数 y=x 既是二次函数,也是幂函数 3.函数 y=的图象大致是( )

4.幂函数 y=的单调递增区间是 . 5.a=1.,b=0.,c=1.的大小关系是 . 6.幂函数 f(x)=a(m∈Z)的图象与 x 轴和 y 轴均无交点,并且图象关于原点对称,求 a 和

m.
六、反思小结,观点提炼 1. 2. 3. 七、作业精选,巩固提高 1.课本 P79 习题 2.3. 2.下列函数中,是幂函数的是( ) 3 A.y=2x B.y=2x x C.y= D.y=x 3.下列函数中,在(-∞,0)上是增函数的是( ) 3 2 A.y=x B.y=x C.y= D.y= 4.已知某幂函数的图象经过点(2,),求函数的解析式.

参考答案 一、设计问题,创设情境 2 3 -1 1.x 2.x 3.x 4. 5.x 二、自主探索,尝试解决 幂函数的定义(形式定义): α 一般地,函数 y=x (α ∈R)叫做幂函数,其中 x 是自变量,α 是常数. y=x-1,y=,y=x4,y=x0,y=x-3 等. 三、信息交流,揭示规律

y=x3
定 义 域 值域 奇 偶 性 单调 R R 奇 函 数 递增

y=x2
R [0,+ ∞) 偶 函 数 在

y=x
R R 奇 函 数 递增

y=
[0,+∞ ) [0,+∞ ) 非奇非 偶 [0,

y=x-1 {x|x≠
0} {y|y≠ 0} 奇函数 在

y=x-2 {x|x≠
0} (0,+∞ ) 偶函数 在



( -∞ , 0)减 在(0, +∞) 增

+∞)增

(-∞, 0)减

(-∞, 0)增

在(0, +∞)减

在(0, +∞)减

定点

(1,1)

四、运用规律,解决问题 【例 1】解:考查幂函数 y=,因为 y=在(0,+∞)上单调递增,而且 2.3<2.4,所以 2.<2.; 1.5 1.5 2 以下各题同理可解:(2)(>(;(3)(a+1) >a ;(4)(2+a . 【例 2】解:要使 y=有意义,x 可以取任意实数, 故函数定义域为 R. ∵f(-x)=(-x=f(x), ∴函数 y=是偶函数;

x 0 1 2 y 0 1
1.5 9

3 2.0 8

4 2.5 2

… …

其图象如图所示.

幂函数 y=在[0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减. 思考与讨论:定义域为 R,值域为 R,是奇函数,在(-∞,+∞)上是增函数. 【例 3】证明:任取 x1,x2∈[0,+∞),且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=, 因为 x1-x2<0,x1+x2>0,所以<0. 所以 f(x1)<f(x2),即 f(x)=在[0,+∞)上是增函数. 五、变式演练,深化提高 1.C 2.D 3.D 4.[0,+∞) 5.a>b>c 6.a=1,m=1,3,5,7 六、反思小结,观点提炼 1.幂函数的概念以及它和指数函数表达式的区别; 2.常见幂函数的图象和性质; 3.幂函数性质的应用. 七、作业精选,巩固提高 2.C 3.A 4.y=


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