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等差数列练习题(文科)(教师版)

数列(2)——等差数列 一、 基础知识 (一)等差数列的定义 1、等差数列的判定通常有两种方法: 第一种是利用定义, an ? an?1 ? d (常数n ? 2) 第二种是利用等差中项,即 2an ? an?1 ? an?1 ( an ? 2 ) 。 2、解选择题、填空题时,亦可用通项或前 n 项和直接判断。 (1)通项法:若数列 {an } {的通项公式为 n 的一次函数,即 an ? An ? B 则是等差数列; (2)前 n 项和法:若数列 {an } 的前 n 项和 Sn 是 Sn ? An2 ? Bn 的形式(A,B 是常数) ,则 {an } 是等 差数列。 (二)等差数列的通项公式与求和公式 1、通项公式: 2、:求和公式: (三)等差数列的性质 1、等差数列的单调性: 等差数列公差为 d,若 d>0,则数列递增;若 d<0,则数列递减;若 d=0,则数列为常数列。 2、等差数列的简单性质: 已知数列 {an } 是等差数列, Sn 是其前 n 项和。 (1)若 m+n=p+q,则 am ? an ? a p ? aq ,特别:若 m+n=2p,则。 am ? an ? 2a p (2) am , am? k , am? 2 k , am?3k ....仍是等差数列,公差为 kd; (3)数列 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m ...也是等差数列; (4) Sn?1 ? (2n ? 1)an ; (5)若 n 为偶数,则 S 偶 - S 奇 ? ; ; ; ; n d ;若 n 为奇数,则 S偶 - S奇 ? S中 (中间项) ; 2 (6)数列 {can }, {an ? c}, { pan ? qbn }也是等差数列,其中 c, p, q 均为常数,是 {bn } 等差数列。 1 二、题型分类 (一)等差数列的判定与证明 1、等差数列的判定通常有两种方法: 第一种是利用定义, an ? an?1 ? d (常数)(n ? 2) ,第二种是利用等差中项,即 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2) 。 2、解选择题、填空题时,亦可用通项或前 n 项和直接判断。 (1)通项法:若数列{ an }的通项公式为 n 的一次函数,即 an =An+B,则{ an }是等差数列; (2) 前 n 项和法:若数列{ an }的前 n 项和 Sn 是 Sn ? An2 ? Bn 的形式 (A,B 是常数) ,则{ an }是等差数列。 注:若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。 例题 1、若 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和, Sn ? n2 ,则 ?an ? 是 A.等比数列,但不是等差数列 C.等差数列,而且也是等比数列 B.等差数列,但不是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 ( A ) ( C ). 例题 2.已知数列{an}的通项公式是 an=2n+5,则此数列是 A.以 7 为首项,公差为 2 的等差数列 C. 以 5 为首项,公差为 2 的等差数列 B. 以 7 为首项,公差为 5 的等差数列 D.不是等差数列 例题 3、已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,且满足 S n ? S n ?1 ? 2S n ?S n ?1 ? 0(n ? 2), a1 ? (1)求证:{ 1 2 1 }是等差数列; Sn (2)求 an 的表达式。 解(1)等式两边同除以 Sn ?Sn?1 得 以 2 为公差的等差数列。 (2)由(1)知 1 1 1 1 1 1 1 +2=0,即 =2(n≥2).∴{ }是以 = =2 为首项, Sn ?1 S n S n Sn ?1 Sn S1 a1 1 1 1 1 = +(n-1)d=2+(n-1)×2=2n,∴ Sn = ,当 n≥2 时, an = Sn - S n ?1 =。 2n 2n(n ? 1) S n S1 1 ? (n ? 2) 1 2n(n ? 1) 又∵ a1 ? ,不适合上式,故 an ? { 。 2 1 (n ? 1) 2 针对性练习一 1、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, 1 a n?1 ? 1 1 ? n ? N ? ,则 a50 = an 3 ? ? 3 52 2 2、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2a, a n ? 2a ? (1) 求证:数列 ?bn ? 是等差数列 解析: (1) bn ? a2 ?n ? 2? ,其中 a 是不为零的常数,令 bn ? 1 an ? a an?1 (2)求数列 ?an ? 的通项公式 1 ? an ? a an ?1 an?1 1 1 1 ? ,则 bn ? bn ?1 ? ? ? 2 a a (an ?1a ) a(an?1 ? a) an?1 ? a a 2a ? ?a an ?1 所以,数列 ?bn ? 是等差数列 (2) 由(1)知: b1 ? 所以, bn ? 1 1 1 n ,则 bn ? ? (n ? 1) ? a a a a a n 1 , an ? ? a ? n a an ? a 3、 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ? n2 ? C ( C 为常数),求数列 ?an ? 的通项公式,并判断{an}是不是等差数 列。 解答.当 n=1 时,a1=S1=1+c 当 n ? 2 时,an=Sn-Sn-1=(n +c)-[(n +c)]-[(n-1) +C]=2n-1。 2 2 2 ∴an= ? ?c ? 1 ?2 n ? 1 n ?1 n?2 ,当 C =0 时,是等差数列,否则不是 (二)等差数列的基本运算 1、等差数列的通项公式 an = a1 +(n-1)d 及前 n 项和公式 S n ? n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d ,共涉及五 2 2 个量 a1 , an ,d,

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