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等差数列练习题(文科)(教师版)


数列(2)——等差数列 一、 基础知识 (一)等差数列的定义 1、等差数列的判定通常有两种方法: 第一种是利用定义, an ? an?1 ? d (常数n ? 2) 第二种是利用等差中项,即 2an ? an?1 ? an?1 ( an ? 2 ) 。 2、解选择题、填空题时,亦可用通项或前 n 项和直接判断。 (1)通项法:若数列 {an } {的通项公式为 n 的一次函数,即 an ? An ? B 则是等差数列; (2)前 n 项和法:若数列 {an } 的前 n 项和 Sn 是 Sn ? An2 ? Bn 的形式(A,B 是常数) ,则 {an } 是等 差数列。 (二)等差数列的通项公式与求和公式 1、通项公式: 2、:求和公式: (三)等差数列的性质 1、等差数列的单调性: 等差数列公差为 d,若 d>0,则数列递增;若 d<0,则数列递减;若 d=0,则数列为常数列。 2、等差数列的简单性质: 已知数列 {an } 是等差数列, Sn 是其前 n 项和。 (1)若 m+n=p+q,则 am ? an ? a p ? aq ,特别:若 m+n=2p,则。 am ? an ? 2a p (2) am , am? k , am? 2 k , am?3k ....仍是等差数列,公差为 kd; (3)数列 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m ...也是等差数列; (4) Sn?1 ? (2n ? 1)an ; (5)若 n 为偶数,则 S 偶 - S 奇 ? ; ; ; ; n d ;若 n 为奇数,则 S偶 - S奇 ? S中 (中间项) ; 2 (6)数列 {can }, {an ? c}, { pan ? qbn }也是等差数列,其中 c, p, q 均为常数,是 {bn } 等差数列。 1 二、题型分类 (一)等差数列的判定与证明 1、等差数列的判定通常有两种方法: 第一种是利用定义, an ? an?1 ? d (常数)(n ? 2) ,第二种是利用等差中项,即 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2) 。 2、解选择题、填空题时,亦可用通项或前 n 项和直接判断。 (1)通项法:若数列{ an }的通项公式为 n 的一次函数,即 an =An+B,则{ an }是等差数列; (2) 前 n 项和法:若数列{ an }的前 n 项和 Sn 是 Sn ? An2 ? Bn 的形式 (A,B 是常数) ,则{ an }是等差数列。 注:若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。 例题 1、若 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和, Sn ? n2 ,则 ?an ? 是 A.等比数列,但不是等差数列 C.等差数列,而且也是等比数列 B.等差数列,但不是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 ( A ) ( C ). 例题 2.已知数列{an}的通项公式是 an=2n+5,则此数列是 A.以 7 为首项,公差为 2 的等差数列 C. 以 5 为首项,公差为 2 的等差数列 B. 以 7 为首项,公差为 5 的等差数列 D.不是等差数列 例题 3、已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,且满足 S n ? S n ?1 ? 2S n ?S n ?1 ? 0(n ? 2), a1 ? (1)求证:{ 1 2 1 }是等差数列; Sn (2)求 an 的表达式。 解(1)等式两边同除以 Sn ?Sn?1 得 以 2 为公差的等差数列。 (2)由(1)知 1

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