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清北学长精心打造——华约自主招生数学模拟试题及参考答案(一)

清北学长精心打造—— 华约自主招生数学模拟试题及参考答案(一)
1、设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c,其体对角线长为 l,试证:(l -a )(l -b )(l 4 4 4 4 -c )≥512a b c 。
4 4 4 4 4

2、设 S={1,2,…,n},A 为至少含有两项的、公并非为正的等差数列,其项部都在 S 中, 且添加 S 的其他元素等于 A 后均不能构成与 A 有相同公差的等差数列, 求这种 A 的个数 (这 里只有两项的数列也看做等差数列).

3、 (本题 20 分) 已知 F 为抛物线 y ? 4 x 的焦点, M 点的坐标为(4,0), 过点 F 作斜率为 k 1
2

的直线与抛物线交于 A、B 两点,延长 AM、BM 交抛物线于 C、D 两点,设直线 CD 的斜率 为 k2 . (I)求

k1 的值; (II)求直线 AB 与直线 CD 夹角 θ 的取值范围. k2

2 4、 (本题 20 分)已知函数 f ( x) ? 2 ln x ? x 。 (I)若方程 f ( x) ? m ? 0 在 [ , e] 内有两个

1 e

不等的实根,求实数 m 的取值范围. (II)如果函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 的图象与 x 轴交于两 点 A( x1 , 0) , B ( x2 , 0) ,且 0 ? x1 ? x2 。求证: g '( px1 ? qx2 ) ? 0 (其中正常数 p 、 q 满足

p ? q ? 1, q ? p ) 。

5、如图,四边形 ABCD 为平行四边形,∠BAF=∠BCE.求证:∠EBA=∠ADE.

P

E A B 图2 G F D C

6、已知 f ( x) ? lg( x ? 1) ?

(2)求集合 M ? n f (n ? 214n ? 1998) ? 0 ,n ? Z ? 的子集个数.
2

?

1 log 3 x .(1)解方程 f ( x) ? 0 ; 2

7、设 n 是正整数, a =[ n ] (其中 [ x] 表示不超过 x 的最大整数),求同时满足下列条件的

n 的最大值:(1) n 不是完全平方数;(2) a 3 n 2 .

参考答案: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1、证:左边=(l +a )(l -a )(l +b )(l -b )(l +c )(l -c ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =(a +b +c +a )(b +c )(a +b +c +b )(a +c )(a +b +c +c )(a +b ) ≥ 44 a 4b2c2 2 b2c2 44 a 2b4c2 2 a 2c2 44 a 2b2c4 2 a 2b2 =512a b c , 其中等号在 a=b=c 时取到。 2、构造具有如下要求的集合 A:把 A 中的元素按从小到大的次序排好后,在其最大元素后 面添上 S 的任何元素均不能构成具有原公差的等差数列。 这时, A 的首项与公差一旦确定, 当 其整个集合 A 也即确定,不妨设 A 的首项为 a,公差为 d,则 a=1, d=1, 2, …, n-1 时的集 A 有 n-1 个; a=2, d=1, 2, …, n-2 时的集 A 有 n-2 个; …… a= n-1,d=1 时的集 A 有 1 个. 因此,所求 A 的总个数为 1+2+…+(n-1)=
4 4 4

n(n ? 1) . 2

3、解: (I)由条件知 F (1, 0) ,设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) 、 C ( x3 , y3 ) 、 D( x4 , y 4 ) ,不妨
2 设 y1 ? 0 .直线 AB 的方程为 y ? k1 ( x ? 1) ,与 y ? 4 x 联立得 y 2 ?

4 y?4 ? 0 k1

所以 y1 y2 ? ?4 , x1 x2 ? 1 . ① 当 x1 ? 4 时,则 A(4, 4) ,故 y 2 ?

?4 1 1 ? ?1 , x2 ? ,即 B( ,?1) . y1 4 4

直线 AM 的方程为 x ? 4 ,从而 C (4, ? 4) ;直线 BM 的方程为: y ?

4 ( x ? 4) , 15

2 2 与 y ? 4 x 联立得 y ? 15 y ? 16 ? 0 ,得 y 4 ? 16 , x 4 ? 64 ,即 D(64, 16) .

于是 k1 ?

k 4 16 ? (?4) 1 ? .所以. 1 ? 4 . , k2 ? k2 3 64 ? 4 3
y1 2 ( x ? 4) 与抛物线方程 y ? 4 x x1 ? 4

② 当 x1 ? 4 时,直线 AM 方程为 y ?

联立得 y12 ( x ? 4) 2 ? 4 x( x1 ? 4) 2 ,又由 y12 ? 4x1 ,化简上述方程得 x1 x 2 ? ( x12 ? 16) x ? 16 x1 ? 0 此方程有一根为 x1, 所以另一根 x3 ?

16 16 16 16 16 ? 16 ). ,y3 ? . C ( ,? ) , 即 同理,D( ,? x2 y 2 x1 y1 x1 y1

16 16 ? k k y 2 y1 x x y ? y1 1 ?? 1 2 ? 2 ? k1 ,即 1 ? 4 .由①、②可知 1 ? 4 . 所以, k 2 ? 16 16 k2 k2 y1 y 2 x 2 ? x1 4 ? x 2 x1 ?
21?x)( ?x) ( 1 , x

x? 2 4、解:(Ⅰ)由 f ( x ) =2 ln x 求导得到: f ? ( x ) =

1 1 1 ? x ? [ , e] ,故 f ? ( x ) =0 在 x ?1有唯一的极值点, f ( ) =-2- 2 e e e
f (e) =―2― e 2 , f (x) 极大值= f (1) =-1,
且知 f (e) < f ( ) ,故 f (x ) =- m ,在 [ , e ] 内有两个不等的实根满足:

1 e

1 e

-2-

1 e
2

≤- m <-1

故m 的取值范围为 ? 1, 2 ?

? ?

1? e2 ? ?

(Ⅱ) g ? ( x ) =

2 -2 x a - ,又 f ( x ) - ax 有两个不等的实根 x 1 、 x 2 , =0 x

? ln 1 ?x2 ?ax?0 2 x 1 2 x ?ln 2) (ln1 x 1 ?(x ?x ) 则? 两式相减得到: a? 1 2 2 x ?x 2 x ?x ?ax ?0 ln 2 2 1 2 2 ? ,

) 于是 g ' (px qx = 1? 2

2(ln 1 ?lnx2) x 2 ? (x ?x )] ) ? 2 (px qx -[ 1? 2 1 2 x ?x2 px ? qx2 1 1



2(lnx1 ?lnx2 ) 2 ) 2 1 ? + (2p?1 (x ?x ) x1 ? x2 px1 ? qx2

0 ) 2 1 ∵ 2 p≤1, x ?x ? , ∴ (2p?1 (x ?x )≤0 2 1 ) 要证: g ' (px qx <0,只需证: 1? 2
x 2 ? x1 x ? ln 1 ? 0 px1 ? qx2 x2

2(lnx1 ?lnx2 ) 2 + <0, x2 ? x1 px 1 ? qx 2


只需证:



x1 1? t ? t ,0 ?t ?1,只需证: u(t) ? 1 + ln t ? 0 在 0?t ? 上恒成立, x2 pt ? q

't 又∵ u( ) ? ?

1 1 = t (pt q 2 ?)

p 2 (t ? 1)( t ?

q2 ) p2

t ( pt ? q ) 2

1 q2 q2 q t ? 1可知 t ? ?0,t ? 2 ? 0 1 ∵ p?q ?1,q ? , 则 ? 1, ∴ 2 ? 1, 于是由 2 p p p
' ,) 故知 u (t) ?0∴ u (t ) 在 t ?(01 上为增函数,
则 u (t ) < u (1) =0,从而知

x 2 ? x1 x ? ln 1 ? 0 px1 ? qx2 x2

即①成立,从而原不等式成立。 5、 证明:如图,分别过点 A、B 作 ED、EC 的平行线,得交点 P,连 PE. ∥ 由 AB CD,易知△PBA≌△ECD.有 = PA=ED,PB=EC. 显然,四边形 PBCE、PADE 均为平行四边形.有 ∠BCE=∠BPE,∠APE=∠ADE. 由∠BAF=∠BCE,可知 ∠BAF=∠BPE. 有 P、B、A、E 四点共圆. 于是,∠EBA=∠APE. 所以,∠EBA=∠ADE. 这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过 P、B、A、E 四点共圆,紧密联系起 来.∠APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介,证法很巧妙. 6、(1)解:任取 0 ? x1 ? x 2 ,则

x ?1 1 x 1 f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? lg( x1 ? 1) ? lg( x2 ? 1) - (log 3 x1 ? log 3 x 2 ) = lg 1 - log 3 1 x2 ? 1 2 x2 2
= lg

x1 ? 1 x - log 9 1 . x2 ? 1 x2



x1 ? 1 x1 x ?1 x ? ? lg 1 . ,∴ lg 1 x2 ? 1 x2 x2 ? 1 x2
lg

x1 x ?1 x x x2 ∴ f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? lg 1 - log 9 1 = lg 1 ? x2 ? 1 x2 x2 lg 9
∵ 0 ? lg 9 ? 1 ,∴ f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? lg

x1 x - lg 1 =0 x2 x2

∴ f (x) 为 (0,??) 上的减函数, 注意到 f (9) ? 0 ,∴当 x ? 9 时, f ( x) ? f (9) ? 0 ,当 0 ? x ? 9 时, f ( x) ? f (9) ? 0 , ∴ f ( x) ? 0 有且仅有一个根 x ? 9 . (2)由 f (n ? 214 n ? 1998 ) ? 0 ? f (n ? 214 n ? 1998 ) ? f (9)
2 2

∴?

?n 2 ? 214 n ? 1998 ? 9 ?n 2 ? 214 n ? 2007 ? 0 ? ? ?? 2 2 ?n ? 214 n ? 1998 ? 0 ?n ? 214 n ? 1998 ? 0 ? ?

?(n ? 223 )( n ? 9) ? 0 ?? 2 2 2 ?(n ? 107 ) ? 1998 ? 107 ? 13447 ? 115

?? 9 ? n ? 223 ?? ? ?n ? 222 或n ? ?8

?? 9 ? n ? 223 ? ?n ? 223或n ? ?9

∴ n ? 223 或 n ? ?9 ,∴ M ? {?9,223}, M 的子集的个数是 4.

7、解: 由(1)得

a < n < a +1 所以 a 2 <n< a 2 +2 a +1 即

a 2 +1≤n≤ a 2 +2 a
令 n= a +t 由(2)有 再由 记
2

t∈{1,2,…,2 a }

a 3 a 4 ? 2a 2t ? t 2 ? a 2 t 2

?at

a 3 a 4 ? 2a 2t ? t 2 ? a 3 t 2

t 2 ? ka3



t ? a ka

由于 t , a, n ∈N ? ,所以

ka ∈N ?


由于 t∈{1,2,…,2 a }, 所以 t ? a ka ≤2 a 所以

ka ≤2

ka =1 或 2, ka ? 4
2

a?4

由于 n= a +t,且 a ? 4 , t ≤2 a , 所以 令 a ? 4 t =2 a =8, 则 n= a +t=16+8=24 为最大.
2

经验证 n=24 满足(1),(2)两个条件,所以 n 的最大值 24.


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