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【人教A版】2017年高中数学必修一:第3章《函数的应用》章末小结课件_图文

根据函数零点的定义,函数 y=f(x)的零点就是 方程 f(x)=0 的根,判断一个方程是否有零点,有几 个零点,就是判断方程 f(x)=0 是否有根,有几个 根.从图形上说,函数的零点就是函数 y=f(x)的图 象与 x 轴的交点的横坐标,函数零点、方程的根、函 数图象与 x 轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质 联系,利用它们之间的关系,可以解决很多函数、方 程与不等式的问题. 在高考中有许多问题涉及三者的 相互转化,应引起我们的重视. [典例 1] 试讨论函数 f(x)=x2-2|x| -a-1(a∈R)的零点个数. 解:设 g(x)=x2-2|x|,h(x)=a+1,则 2 ? x ? -2x,x≥0, g(x)=? 2 ? ?x +2x,x<0. g(x)、h(x)的图象如图所示, g(-2)=g(0)=g(2)=0,g(-1)=g(1)=-1, 当 a+1<-1,即 a<-2 时,g(x)与 h(x)无交点; 当 a+1=-1 或 a+1>0,即 a=-2 或 a>-1 时,g(x)与 h(x)有两个交点; 当-1<a+1<0, 即-2<a<-1 时, g(x)与 h(x)有四个交点; 当 a+1=0,即 a=-1 时,g(x)与 h(x)有三个交点. 所以,当 a<-2 时,函数 f(x)=x2-2|x|-a-1 无零点; 当 a=-2 或 a>-1 时,函数 f(x)有两个零点; 当-2<a<-1 时,函数 f(x)有四个零点; 当 a=-1 时,函数 f(x)有三个零点. [对点训练] 1 1.已知 a 是函数 f(x)=2 -log2x 的零点,若 0< x x0<a,则 f(x0)的值满足( ) A.f(x0)=0 C.f(x0)<0 B.f(x0)>0 D.f(x0)的符号不确定 解析:选 C 1 y=2 与 y=log2x 的图象如 x 图所示,显然两个图象的交点的横坐标为 a, 1 于是在(0,a)区间上,y=2 的图象在 y=log2x x 1 的图象的下方, 从而 2x0<log2x0, 即 f(x0)=2x0 1 -log2x0<0. 2.设函数 y=x 与 3 ?1? - y=?2?x 2 ? ? 的图象的交点为 ) (x0,y0),则 x0 所在的区间是( A.(0,1) C.(2,3) B.(1,2) D.(3,4) 解析:选 B 设 g(x)=x3-22-x,则 g(0)= 1 - 4 , g(1) =- 1 , g(2) = 7 , g(3) = 26 2 , g(4) 3 =63 4,显然 g(1)· g(2)<0,于是函数 g(x)的零 点在(1,2)内,即 y=x 与 点在(1,2)内. 3 ?1? - y=?2?x 2 的图象的交 ? ? 针对一个实际问题, 我们应该选择恰当的函数模型来刻 画. 这当然需要我们深刻理解基本函数的图象和性质, 熟练 掌握基本函数和常用函数的特点, 并对一些重要的函数模型 要有清晰的认识. 对于一个具体的应用题, 原题中的数量间 的关系, 一般是以文字和符号的形式给出, 也有的是以图象 的形式给出, 此时我们要分析数量变化的特点和规律, 选择 较为接近的函数模型进行模拟, 从而解决一些实际问题或预 测一些结果. [典例 2] 我国加入 WTO 时,根据达成的协议,某 产品的市场供应量 P 与市场价格 x 的关系近似满足 P(x) =2(1-kt)(x-b) 其中 t 为关税的税率,且 2 ? t∈?0, ? 1? ? 2?,x 1 为市场价格,b,k 为正常数,当 t=8时的市场供应量曲 线如图所示. (1)根据图象求 b,k 的值; (2)记市场需求量为 Q,它近似满足 x Q(x)=211-2, 当 P=Q 时的市场价格称 为市场平衡价格,为使市场平衡价格不 低于 9 元,求税率的最小值. k? ? ? 2 ? ? 1 - 2 ? 5 - b ? =1, ? ? 8? 解:(1)由图象知? ? ? ?2?1-k ??7-b?2=2, ? ? 8? k? ?? 2 ? ? 1 - ? 5 - b ? =0, ?? 8? 即?? ? ??1-k ??7-b?2=1, ?? 8? ? ?b=5, 解得? ? ?k=6. x (2)当 P=Q 时,2(1-6t)(x-5) =211-2, 2 1 即(1-6t)(x-5) =11-2x, 2 22-x 17 1 2(1-6t)= . 2= 2- ?x-5? ?x-5? x-5 1 令 m= , x-5 ∵x≥9, ? 1? ∴m∈?0,4?. ? ? 而 2(1-6t)=17m 2 ? 1 ?2 1 -m=17?m-34? -68. ? ? 1 13 当 m=4时,2(1-6t)取最大值,为16, 19 19 故 t≥192,即税率的最小值为192. [对点训练] 3.甲、乙两人连续 6 年对某县农村甲鱼养 殖业的规模(产量)进行调查, 提供了两个方面的 信息如图所示. 甲调查表明:每个甲鱼池平均出产 量从第一年 1 万只甲鱼上升到第六年 2 万只. 乙调查表明:甲鱼池个数由第一年 30 个减少到第六年 10 个, 请你根据提供 的信息说明: (1)第二年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数; (2) 到第六年这个县的甲鱼养殖业的规模比第 一年是扩大了还是缩小了?说明理由; (3)哪一年的规模最大?说明理由. 解:(1)由题图可知,直线 y 甲=kx+b,经过(1,1)和 (6,2). 可求得 k=0.2,b=0.8. ∴y 甲=0.2(x+4). 当 x=2 时,y 甲=1.2. 故第二年甲鱼池的产量为 1.2 万只. 同理可得 y ? 17? ?. 乙=4?-x+ 2? ? 当 x=2 时,y 乙=26. 故第二年甲鱼池的个数为 26 个, 全县出产甲鱼的总

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