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高二数学上学期期末考试试题 文3

包铁五中 2016—2017 学年第一学期 高二数学期末试卷(文)
一、选择题(本大题共 12 小题,共 60.0 分) 1.设复数 z 满足(i-1)z=2,则 z=( A.-1-i B.-1+i ) C.1-i ) D.64 ) D. D.1+i

2.已知等差数列{an}中,a6+a8=16,a4=1,则 a10 的值是( A.15 B.30 C.31

3.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2=5,a7a8=10,则 a4a5=( A.
2

B.6 )

C.7

4.不等式-x +3x-2≥0 的解集是( A.{x|x>2 或 x<1}

B.{x|x≥2 或 x≤1}

C.{x|1≤x≤2} )

D.{x|1<x<2}

5.等差数列{an}中,a2=12,an=-20,公差 d=-2,则项数 n=( A.20 B.19 C.18

D.17 )

6.从装有 3 个红球、 2 个白球的袋中任取 2 个球, 则所取的 2 个球中至少有 1 个白球的概率是 ( A. B. C. D. )

7.在区间[0,1]上随机取一个数 x,则满足不等式“3x-1>0”的概率为( A. B. C.1

D.2

8.正数 x、y 满足 x+2y=1,则 xy 的最大值为( A. B. C.1

) D. ) D.

9.运行如图所示的程序框图后,输出的结果是( A. B. C.

10.已知实数 x. y 满足约束条件 A.-1 B.6

, 则 z=2x-y 的最大值为 ( C.3 D.-8



11.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=7,b=5,c=8,则△ABC 的面积 S 等 于( A.10 ) B.10 C.20 D.20
1

12.R 是△AB C 三角形的外接圆半径,若 ab<4R2cosAcosB,则∠C 为( A.锐角 B.直角 C.钝角



D.无法判断

二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分) 13.复数 z=i(1-i)的虚部为 ______ . 14.不等式 kx2-kx+1>0 的解集为 R,则实数 k 的取值范围为 ______ . 15.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2an-2n+1(n∈N+) ,则数列{an}的通项公式为 ______ . 16.在不等式组 确定的平面区域中,若 z=x+2y 的最大值为 9,则 a 的值为 ______ .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.设复数 z1=2+ai(其中 a∈R) ,z2=3-4i. (1)若 a=1,求 z1z2 的值 (2)若 z1+z2 是实数,求 a 的值.

18.已知等差数列{an}中,a5=12,a20=-18. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 19.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=1,b=2,cosC= (Ⅰ)△ABC 的面积; (Ⅱ)sinA 的值. .求:

20.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此做了四次试验,得到的数据如 表: 零件的个数 x(个) 2 3 3 4 4 5 4.5

加工的时间 y(小时) 2.5

(1)求出 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ; (2)试预测加工 10 个零件需要多少小时?

2

(参考公式: =

=

; = -

; )

21 .某工厂随机抽取部分工人调查其上班路上所需时间(单 位:分钟) ,并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图) , 若上班路上所需时间的范围是[0, 100], 样本数据分组为[0, 20) ,[20,40) ,[40,60) ,[60,80) ,[80,100]. (1)求直方图中 a 的值; (2)如果上班路上所需时间不少于 1 小时的工人可申请在 工厂住宿,若招工 2400 人,请估计所招工人中有多少名工 人可以申请住宿; (3)该工厂工人上班路上所需的平均时间大约是多少分钟.

22.{an}为等差数列,公差 d>0,Sn 是数列{an}前 n 项和,已知 a1a4=27,S4=24. (1)求数列{an}的通项公式 a n; (2)令 bn=an?2 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
n

包铁五中 2016—2017 学年第一学期 答案和解析

【答案】 1.A 9.C 13.1 14.[0,4) 15.an=(n+1)?2n 16.3 2.A 10.C 3.D 11.B 4.C 12.C 5.C 6.C 7.A 8.A

3

17.解: (1)z1z2=(2+i) (3-4i)=6+4+(3-8)i=10-5i. (2)z1+z2=5+(a-4)i 是实数,∴a-4=0,解得 a=4. 18.解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,∵a5=12,a20=-18. ∴ ,解得 a1=20,d=-2.

∴an=20-2(n-1)=22-2n. (2)数列{an}的前 n 项和 Sn= 19.解: (1) 由表中数据得: = =54, =21n-n2. =3.5, = =3.5,

xiyi=52.5,



=

=0.7,



= -

=1.05, =0.7x+1.05;

∴线性回归方程是

(2)将 x=10 代入回归直线方程, 得 =0.7×10+1.05=8.05,

∴预测加工 10 个零件需要 8.05 小时. 20.(Ⅰ)解:∵2bsinB=(2a+c)sinA+(2c+a)sinC, 由正弦定理得,2b =(2a+c)a+(2c+a)c,?(1 分) 化简得,a +c -b +ac=0.?(2 分) ∴ ∵0<B<π , ∴B= .?(5 分) ,∴C= = ,?(9 分) , .?(6 分) = .?(8 分) .?(4 分)
2 2 2 2

(Ⅱ)解:∵A= ∴sinC=sin 由正弦定理得, ∵ ,B=

4

∴ ∴△ABC 的面积

.?(10 分) = .?(12 分)

21.解: (1)由频率分布直方图可得: 0.125×20+a×20+0.0065×20+0.0 03×2×20=1, 解得:a=0.025;--------(4 分) (2)工人上班所需时间不少于 1 小时的频率为: 0.003×2×20=0.12, 因为 2400×0.12=288, 所以所招 2400 名工人中有 288 名工人可以申请住宿;--------(8 分) (3)该工厂工人上班路上所需的平均时间为: 10×0.25+30×0.5+50×0.13+70×0.06+90×0.06=33.6(分钟) .--------(12 分) 22.解: (1)∵a1a4=27,S4=24. ∴ ∴an=3+2(n-1)=2n+1. (2)bn=an?2 =(2n+1)?2 . ∴数列{bn}的前 n 项和 Tn=3×2+5×2 +?+(2n+1)?2 , 2Tn=3×22+5×23+?+(2n-1)?2n+(2n+1)?2n+1, ∴-Tn=6+2×(22+23+?+2n)-(2n+1)?2n+1=2+2× ∴Tn=(2n-1)?2n+1+2. -(2n+1)?2n+1=-2+(1-2n)?2n+1,
2

,解得 a1=3,d=2.

n

n

n

【解析】 1. 解:由(i-1)z=2,得 故选:A. 把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础题. 2. 解:∵等差数列{an}, ∴a6+a8=a4+a10,即 16=1+a10, .

5

∴a10=15, 故选:A. 根据等差数列的性质 m+n=p+q 则 am+an=ap+aq 建立等式,解之即可求出所求. 本题主要考查了等差数列的通项公式,以及等差数列的性质,属于容易题,基础题. 3. 解:设等比数列的公比为 q,则 ∵a1a2=5,a7a8=10, ∴两式相除,可得 q12=2,∴q6= ∵a1a2=5, ∴a4a5=(a1a2)q =5 故选 D. 设等比数列的公比为 q,利用 a1a2=5,a7a8=10,可得 q6= ,从而可求 a4a5 的值.
6

本题考查等比数列的性质,考查学生的计算能力,属于基础题. 4. 解:不等式-x +3x-2≥0 化为 x -3x+2≤0,因式分解为(x-1) (x-2)≤0, 解得 1≤x≤2. ∴原不等式的解集为{x|1≤x≤2}, 故选:C. 不等式-x2+3x-2≥0 化为 x2-3x+2≤0,因式分解为(x-1) (x-2)≤0,即可解出. 本题考查了基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 5. 解:∵等差数列{an}中,a2=12,an=-20,公差 d=-2, ∴an=a2+(n-2)d, ∴-20=12-2(n-2) , 解得 n=18, 故选:C 利用等差数列的通项公式求解. 本题考查等差数列通项公式的应用,是基础题 6. 解:所有的取法共有 =10 种,而没有白球的取法 , = , =3,
2 2

故所取的 2 个球中没有白球的概率是

故所取的 2 个球中至少有 1 个白球的概是 1故选:C.

6

先求出所取的 2 个球中没有白球的概,再用 1 减去它,即得所取的 2 个球中至少有 1 个白球的概率.

7

本题主要考查等可能事件的概率,古典概型和对立事件,所求的事件的概率等于用 1 减去它的对立 事件概率. 7. 解:利用几何概型,其测度为线段的长度. ∵0≤x≤1 且 3x-1>0, ∴ <x≤1, = ,

∴在区间[0,1]上随机取一个数 x,则满足不等式“3x-1>0”的概率为 故选 A.

本题利用几何概型求概率.先不等式 0≤x≤1 且 3x-1>0,再利用解得的区间长度与区间[0,1]上 的长度求比值即得. 本题主要考查了几何概型,简单地说,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积 或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 8. 解:xy= 故选:A. 总经理于基本不等式求解表达式的最值即可. 本题考查基本不等式的应用,考查计算能力. 9. 解:执行程序框图,有

x?2y≤

=

,当且仅当 x=



时取等号.

i=1,m=0,n=0 满足条件 i<4,i=2,m=1,n=
满足条件 i<4,i=3,m=2,n= 满足条件 i<4,i=4,m=3,n= + = .

不满足条件 i<4,退出循环,输出 n 的值为 故选:C.

执行程序框图,依次写出每次循环得到的 i,n,m 的值,当 i=4 时不满足条件 i<4,退出循环,输 出 n 的值为 .

本题主要考察了程序框图和算法,属于基本知识的考 查. 10. 解:作出约束条件 ,所对应

8

的可行域(如图△ABC) 变形目标函数可得 y=2x-z,平移直线 y=2x 可知当直线经过点 C(0,-3)时, 直线的截距最小,z 取最大值,代值计算可得 z=2x-y 的最大值为 3, 故选:C. 作出可行域,变形目标函数,平移直线 y=2x 可得结论. 本题考查简单线性规划,准确作图是解决问题 的关键,属中档题. 11. 解:在△ABC 中,若三边长分别为 a=7,b=5,c=8, 由余弦定理可得 64=49+25-2×7×5cosC, ∴cosC= ∴sinC= ∴S△ABC= 故选 B. 利用余弦定理求得 cosC,再利用同角三角函数的基本关系求得 sinC,代入△ABC 的面积公式进行运 算即可. 本题考查余弦定理的应用,同角三角函数的基本关系,求出 sinC 是解题的关键. 12. 解:∵由正弦定理可得:a=2RsinA,b=2RsinB, ∴由 ab<4R cosAcosB,可得:sinAsinB<cosAcosB, ∴cosAcosB-sinAsinB>0,即有:cos(A+B)=-cosC>0,从而解得:cosC<0,又 0<C<π ,从而 可得 C 为钝角. 故选:C. 由正弦定理可得:a=2RsinA,b=2RsinB,代入已知不等式,由两角和的余弦函数公式化简可得 cosC <0,结合范围 0<C<π ,可得 C 为钝角. 本题主要考查了正弦定理,两角差的余弦函数公式,三角形内角和定理等知识的应用,属于基本知 识的考查. 13. 解:∵z=i(1-i)=i-i =1+i, ∴复数 z=i(1-i)的虚部为:1. 故答案为:1. 由复数代数形式的乘法运算化简复数 z 得答案. 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.
9
2 2

, , = =10 .

14. 解:①当 k=0 时,不等式为为 1>0 恒成立,满足题意; ②当 k≠0 时,只要
2

,解得 0<k<4;

所以不等式 kx -kx+1>0 的解集为 R,则实数 k 的取值范围为[0,4) . 故答案为:[0,4) . 由于二次项系数为 k,要讨论 k 与 0 的关系,当 k≠0 时,结合与二次函数的关系解答. 本题考查了已知不等式的解集求参数的范围;关键是讨论 k 与 0 的关系, 结合 3 个二次之间的关系 解答. 15. 解:∵Sn=2an-2 (n∈N+) , ∴n=1 时,a1=2a1-4,解得 a1=4;
n+1

n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2an-2n+1∴ ∴数列 ∴ =1,

,化为:an-2an=2n,

是等差数列,公差为 1,首项为 2.

=2+(n-1)=n+1,
n

∴an=(n+1)?2 . 故答案为:an=(n+1)?2n. 由 Sn=2an-2n+1(n∈N+) ,利用递推关系可得:an-2an=2n,变形为 公式即可得出. 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 16. 解:由不等式组 出平面区域图(如图所示) : 当目标函数 z=x+2y 在区域图平移, 过 x-y=0 与 y=a 的交点时,目标函数 画 =1,再利用等差数列的通项

z=x+2y 取得最大值为 9,求出 x-y=0
与 y=a 的交点为(a,2a) 则有: z=a+2a=9 解得: a=3 故答案为: 3.

10

根据不等式组

画出平面区域图,当目标函数 z=x+2y 在区域图平移,过 x-y=0 与 y=a 的

交点时, 目标函数 z=x+2y 取得最大值为 9, 求出 x-y=0 与 y=a 的交点为 (a, 2a) 带入目标函数 z=x+2y 即可求解 a 的值. 本题考查了不等式组平面区域图的画法, 目标函数 z=x+2y 在区域图平移求最值的方法. 属于基础题. 17. (1)利用复数乘法运算法则即可得出; (2)利用复数为实数的充要条件即可得出. 本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 18. (1)利用等差数列的通项公式可得 an. (2)利用等差数列的求和公式即可得出. 本题考查了等差数列的通项公 式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 19. (1)由表中数据,计算平均数和回归系数,写出回归直线方程即可; (2)将 x=10 代入回归直线方程,计算对应 的值即可.

本题考查了线性 回归方程的计算与应用问题,是基础题目. 20. (Ⅰ)由正弦定理,化简整理 a +c -b +ac=0,再由余弦定理,求得角 B 的大小, (Ⅱ)由三角行的内角和定理,求得 C 及 sinC,再由正弦定理,求得 c 的值,可求得三角形的面积. 本题在△ABC 中给出边与角的正弦的等式,要我们求角的大小并且由此求三角形的面积,着重考查 了正余弦定理和三角形面积公式等知识,属于基础题. 21. (1)根据频率和为 1,列出方程求出 a 的值; (2)计算工人上班所需时间不少于 1 小时的频率,求出对应的频数即可; (3)利用各小组底边中点坐标×对应频率,再求和,即可得出平均时间. 本题考查了频率分布直方图的应用问题,是基础题目. 22. (1)由 a1a4=27,S4=24.利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出. (2)bn=an?2n=(2n+1)?2n.利用“错位相减法”与等比数列的前 n 项和公式即可得出.
11
2 2 2

本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题.

12


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