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一道竞赛题的纯几何证法


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4 2  

中学数学  
+   +   一  

2 0 0 0 年第1 期  
≥o .  

求 证 ;  a   +  +  ≥ 号 .   ( 1 )  有 
命 题2 ( 第 二届 “ 友谊 杯 ” 国 际 数 学竞赛 题 ) 设  
a 、 b 、 c ∈R 叶 。 , 求证:  

由( * ) 式成立知  

b   +c。 +   c +   a +a 。    +   b 一   2

?  

≥o ,  
/ , ”  

+  +   c 2 ≥ 半 .( 2 )  从而当T / =k 一1 时, ( 3 ) 式亦成立.  
受其启发, 我们可得更为 一般的结论:  
设a , b 、 c ∈R + ,  ∈N , 则  
.   .  

( Ⅱ ) 当  =1 时, ( 3 ) 式为  

c , I  

+b +c  

b  + + f 。   g -   + 口 + 。 南b 口 +, ≥ / 丢 2 ‘  
由 不 等 式 ( 1 ) 立 知 上 式成 立, 故  =1 时, ( 3 ) 式  
成立.   .  

b — + — c 十  

十a — + — b 一— —  

一 

≤( ≤     + 6 + c ) [ .   a  ̄ - i +  
9 .  

一3  

+  

一  
、 ’ ‘  
.  

综合( I ) 、 ( I ) 知, 对 ∈N, 不等式( 3 ) 均成立,  
J . ‘    

(  )   命题 3 得证.  

证 明 ‘ . .( 口 +6   [   +  


+  

当a , b 、 c 为 三 角 形 三 边之 长 时, 命 题3 即为 第2 8   届国 际中 学生 奥林匹克 ( m 1 0 ) 数学 竞赛预 选题 ( 希  
腊提供) :  
若a , b 、 c 是三角 形边长, 且2 S=a +b +c , 则  

c , I 一  

+b +c ) . - 2  



+ — b 一— 巧 

J  

一 b  + + c    a c +   + 南 a +  “ b +    


b  + + c 。  a c +   + 。 南b 口 + ≥ / ,   (   3  
诺 骨 牌 实 验中 去 领 悟, 其 理 论不 再 赘 述.  
参考文献 

. ‘  

+  

一  

,  

关于反向 数学归纳法的原理, 我们不妨仍从多 米  

由 幂平均不等式知  

(  

)   ≥  

,  

1   刘磊. 两道著名不等式等价关系的一个简证. 中  
学数学, 1 9 9 9 , 4   ( 收稿 日 期: 1 9 9 9 一 1 0 — 3 1 )  

. . .   一   +  一   +c , I ~   ≥  
代入 上式得 

( 口 +6  

而 a n - 1 +   b n - ! +  

一  



+b +c ) . - 2 ]  
2?  一  

道竞赛题的   纯几何证法 

●  

≥  +  + 南+  
± 垒 ±   ) : 二  
2? 3   一 。  
  . .  

一  4 0 1 5 3 5  重 庆 合川 I 重 煤 五 处子 弟中 学   陈远新 
1 9 9 8 年加拿大 数学奥林匹克竞赛第4 题 
为:  

c , I  

+b +c  ~  

== =

— b + — c 十  

十a — + — b 一— —  

~?  

等号当且仅当a =6 =c 或T l =1 , 2 时成立. 结论  
得证.  

如图 1 , 在 AA B C 中,  B A C一 4 0 。 ,  
A B C一 6 0 。 , D 和 E分别是边 A C和 A B上 

使得  ∞ J [ ) =4 0 。 ,  B   :7 0 。 , F是  有趣的是, 根据( * ) 式, 运用反向数学归纳法,   的点 , 直线B D和 C E的交点. 证 明: 直线 A F和直线  可以 巧妙 地 证 明 不等 式( 1 ) 、 ( 2 ) 的 推 广 不 等 式.  

命 题3  设a , b 、 c ∈R + , T / ∈N , 则  

B C垂直.  

《 数学通讯 ̄ 1 9 9 9 年第 6 期P 4 7 给出了 证  

. _ .  

b   +c’ +   c +口。 +   口 +   b ≥   2  
? 

一  

.   ( 3 )  
‘  

明, 其证 明首先是 :  
s i n   8 0 。 一 2 s i n   4 0 。 C O S   4 0 。  

证明  ( I ) 设  =忌   ∈N ) 时, ( 3 ) 式成立, 即  

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2 0 0 0 年第1 期  


中学数学  

4 3  

2 s i n   4 0 。 C O S( 6 o 。 一2 0 。 、  

一2 s i n   4 0 。 ( c o s   6 0 。 C O S   2 0 。 +s i n   6 0 。 s i n   2 0 。 )  

s i n   4 0 。 ( c o s   2 0  ̄ +、 / 了s i n   2 0 。 ) ,   则  
然后得结论?  

构造正方形  

:√ 了
A  

( * )  

巧证不等式  
4 1 0 2 2 8   湖南省湘潭县第一中学   齐学军 
例 1   设a 、 b 、 f∈ ( O , 1 ) , 求证 :  
1  

a b c ( 1一 a ) ( 1— 6 ) ( 1一 f )≤ ( - - 2   - ) 。 .  
‘ 士  

证 明  由 对 称性 知 , 只 要证 
1  

a ( 1一 a )≤ ÷ .   构 造 边 长 为 1的 正 方形 , 如图 1 , 显 然 四 个 小  矩 形的 面 积不 大 于正 方形 的 面积 , 即 


图1  

图2  

下面给 出一种纯几何证法.  

+  -+  I+ SⅣ ≤ S ^  D .  

即  4 [ n ( 1一 a ) ]≤ 1 . 命 题 获 证.  

证 明  根 据 已知 得 
BC — BF.  

B F一 2 0 。 ,  

C B一 8 O 。 ,   BF C一 7 0 。 ,   BF E一 1 1 0 。 ,   壬 _ +  

. 1 I 0工 形结 数 厶 - 口 量    
作 F 关于 B 的对称点 H , 连结 HF 交  

B于 Q, 月C交 B D 于 Ⅳ, 延长 HE交A C于 

固 c _ 。   睁 ≥ :  
图1   图2  

M, 再连结  H、 B H、  l Ⅳ, 如图2 , 由对称性等  
可铸  HB C一 8 O o ,  
BH E 一  BF E— l 1 O 。 ,  

例2   若z 、  、 2∈ ( 0 , 1 ) , 则 
z( 1 ~  )+  ( 1— 2 )+ 2( 1一 z )< 1 .  

HA B 一  F AB,  

( 、 **  

( 第1 5届全 俄 数学 竞赛 题 )   略证  如 图 2 , 构 造 边 长 为 1的 正方 形 ,   显 然 根据 题 设 有  t +  -+  -<  o .  
即  z( 1一  ) +  ( 1— 2 )+ 2 ( 1一 z ) < 1 .  

月l Q— F Q, B H —B F— B C  
BHC 一  B CH 一 5 0 o ,  

例3  

为正数 a 、 6 、 c中最 大 的. 求证 :  

a(  ~ 6 )+ 6 (  — f )+ f (  — a )< d。 .  

M HC 一  B H E 一  B HC 一 6 0 o ,  
HCM 一  A CB 一  B C H 一 3 0 o ,  

t是

HM   LC M.  

( 1 9 9 0年 匈 牙 利数 学 竞赛 试题 )   略证  如图 3 , 构 造边 长 为  的正 方形 .   显 然  l+  I+ SI<  ^  D .  
即  a(  一 6 )+ b (  —f )+ f (  — a )< d 。 .  

由B H —B C及  HB N一  C B N 一4 0 o  

知 HN   LNF   A  HN — NC, 姥合 HM  LMC  
知 HN — MN, 再 姥 合  MHC 一 6 0 o 知t  

△MHN 是正三角形.  

柱R t / X HNF   结合 HQ—F Q知HQ一 

目   二 日 主  
图3   图4  

Ⅳ Q, 于是在正 △ H? 、 r 中可证 △ 
△? 、 r ^ 硷, 于是  又   删 一3 0 。 .   一   HM — 9 0 。  

H, Q, M, A共圆  
HA B一   HMQ 一 3 0 o ,   由( **) 知  F   B一 3 0 。 , 结合  AB C一 6 0 。  

例4   正数 a 、 b 、 c 、 A、 B、 C 满足 条件  a+ A — b+ B — f+ C 一 志 . 证明:   a B+ b C+ c A< 志 。 .( 第2 1届苏 联 竞赛 题 )   略 证  如图 4 , 构 造 边长 为 志的正 方形 ,   矩形 I、 Ⅱ、 Ⅲ 的 长宽 如 图所 示 , 显 然 

‘ . . 

+  I+ SI< 志 0 .  

a B + b C + c A < 志 。 .  

知 

I   B C .  

证毕.  
( 收稿 日期; 1 9 9 9 — 0 8 — 0 5 )  

令 我 们惊 喜 的是 , 原来例 2 、 例 3实 为例 4  
的特 殊 情形 .  

( 收稿 日期: 1 9 9 9 - 1 o - 2 9 )  


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