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湖北省巴东一中高二数学教案 必修二:空间点、直线、平面之间的位置关系

第二章 点、直线、平面之间的位置关系 本章教材分析 本章将在前一章整体观察、认识空间几何体的基础上,以长方体为载体,使学生在直观 感知的基础上,认识空间中点、直线、平面之间的位置关系;通过大量图形的观察、实验和 说理,使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法,学会准确地使用数学语 言表述几何对象的位置关系,初步体验公理化思想,培养逻辑思维能力,并用来解决一些简 单的推理论证及应用问题. 本章主要内容:2.1 点、直线、平面之间的位置关系,2.2 直线、平面平行的判定及其性 质,2.3 直线、平面垂直的判定及其性质.2.1 节的核心是空间中直线和平面间的位置关系.从知 识结构上看,在平面基本性质的基础上,由易到难顺序研究直线和直线、直线和平面、平面 和平面的位置关系.本章在培养学生的辩证唯物主义观点、公理化的思想、空间想象力和思维 能力方面,都具有重要的作用.2.2 和 2.3 节内容的编写是以“平行”和“垂直”的判定及其性质为 主线展开,依次讨论直线和平面平行、平面和平面平行的判定和性质;直线和平面垂直、平 面和平面垂直的判定和性质. “平行”和“垂直”在定义和描述直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系中起着重 要作用.在本章它集中体现在:空间中平行关系之间的转化、空间中垂直关系之间的转化以及 空间中垂直与平行关系之间的转化. 本章教学时间约需 12 课时,具体分配如下(仅供参考) : 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2.1 2.2.3 2.2.2 2.2.4 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 平面 空间中直线与直线之间的位置关系 空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系 直线与平面平行的判定 直线与平面平行的性质 平面与平面平行的判定平面与平面平行的性质 直线与平面垂直的判定 平面与平面垂直的判定 直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质 本章复习 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时

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§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 §2.1.1 平面 一、教材分析 平面是最基本的几何概念,教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例,对它只是加以描述而 不定义.立体几何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是无限延 展性.为了更准确地理解平面,教材重点介绍了平面的基本性质,即教科书中的三个公理,这也是 本节的重点.另外,本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言与符号语 言的转换. 二、教学目标 1.知识与技能 (1)利用生活中的实物对平面进行描述; (2)掌握平面的表示法及水平放置的直观图 (3)掌握平面的基本性质及作用; (4)培养学生的空间想象能力. 2.过程与方法 (1)通过师生的共同讨论,使学生对平面有了感性认识; (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3.情感、态度与价值观 使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间,进而增强了学习的兴趣. 三、重点难点 三种数学语言的转换与翻译,利用三个公理证明共点、共线、共面问题. 四、课时安排 1 课时 五、教学过程 (一)导入新课 思路 1.(情境导入) 大家都看过电视剧《西游记》吧,如来佛对孙悟空说:“你一个跟头虽有十万八千里,但 不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心,孙悟空可以看作是一个点,他 的运动成为一条直线,大家说如来佛的手掌像什么?对,像一个平面,今天我们开始认识数 学中的平面. 思路 2.(事例导入) 观察长方体(图 1) ,你能发现长方体的顶点、棱所在的直线,以及侧面、底面之间的关 系吗?

图1 长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.有些面是平行的,有些面是相交的;有些 棱所在的直线与面平行,有些棱所在的直线与面相交;每条棱所在的直线都可以看成是某个 面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢?本节我们将讨论这个问题.

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(二)推进新课、新知探究、提出问题 ①怎样理解平面这一最基本的几何概念; ②平面的画法与表示方法; ③如何描述点与直线、平面的位置关系? ④直线与平面有一个公共点,直线是否在平面内?直线与平面至少有几个公共点才能判 断直线在平面内? ⑤根据自己的生活经验,几个点能确定一个平面? ⑥如果两个不重合的平面有一个公共点,它们的位置关系如何?请画图表示; ⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言? ⑧自己总结三个公理的有关内容. 活动:让学生先思考或讨论,然后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时 表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下: ①回忆我们学过的最基本的概念(原始概念) ,如点、直线、集合等. ②我们的桌面看起来像什么图形?表示平面和表示点、直线一样,通常用英文字母或希 腊字母表示. ③点在直线上和点在直线外;点在平面内和点在平面外. ④确定一条直线需要几个点? ⑤引导学生观察教室的门由几个点确定. ⑥两个平面不可能仅有一个公共点,因为平面有无限延展性. ⑦文字语言、图形语言、符号语言. ⑧平面的基本性质小结. 讨论结果:①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念(不加定 义的原始概念) ,只能通过对它描述加以理解,可以用它定义其他概念,不能用其他概念来定 义它,因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性,很像如来佛的手掌(吴承恩的立体 几何一定不错). ②我们的桌面看起来像平行四边形,因此平面通常画成平行四边形,有些时候我们也可 以用圆或三角形等图形来表示平面,如图 2.平行四边形的锐角通常画成 45°,且横边长等于 其邻边长的 2 倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,我们常把它遮挡 的部分用虚线画出来,如图 3.

图2 图3 平面的表示法有如下几种: (1)在一个希腊字母 α、β、γ 的前面加“平面”二字,如平面 α、 平面 β、平面 γ 等,且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图 4); (2)用平行四边形的四 个字母表示,如平面 ABCD(图 5) ; (3)用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示, 如平面 AC(图 5).

图4 图5 ③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表:

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点 A 在直线 a 上(或直线 a 经过点 A) 点 A 在直线 a 外(或直线 a 不经过点 A) 点 A 在平面 α 内(或平面 α 经过点 A)

A∈a A? a A∈α A? α 元素与 集合间 的关系

点 A 在平面 α 外(或平面 α 不经过点 A)

④直线上有一个点在平面内, 直线没有全部落在平面内(图 7), 直线上有两个点在平面内, 则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板,则直尺落在平面内. 公理 1:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面 内. 这是用文字语言描述,我们也可以用符号语言和图形语言(图 6)描述. 空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看,点动成线,线动成面,从而可 以把直线、平面看成是点的集合,因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外,还可借用 集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示,点用 一个大写的英文字母表示,而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理 1 也可以用符号语言表 示: 若 A∈a,B∈a,且 A∈α,B∈α,则 a ? α.

图6 图7 请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交. 若 A∈a,B∈a,且 A ? α,B∈α,则 a ? α.如图(图 7). ⑤在生活中,我们常常可以看到这样的现象:三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的 平板仪等等. 上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理. 公理 2:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面. 如图(图 8).

图8 公理 2 刻画了平面特有的性质,它是确定一个平面位置的依据之一. ⑥我们用平行四边形来表示平面,那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢? 不是,因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的,因为直线是无限延伸的,如果 平面是有限的,那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢?所以平面具有无限延 展的特征. 现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象(课件演示给学生看). 问:两个平面会不会只有一个公共点?不会,因为平面是无限延展的,应当有很多公共 点.正因为平面是无限延展的,所以有一个公共点,必有无数个公共点.那么这无数个公共点在

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什么位置呢?可见,这无数个公共点在一条直线上. 这说明,如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此 时,就说两平面相交,交线就是公共点的集合,这就是公理 3.如图(图 9) ,用符号语言表示 为:P∈α,且 P∈β ? α∩β=l,且 P∈l.

图9 公理 3 告诉我们,如果两个不重合的平面有一个公共点,那么这两个平面一定相交,且 其交线一定过这个公共点.也就是说,如果两个平面有一个公共点,那么它们必定还有另外一 个公共点,只要找出这两个平面的两个公共点,就找出了它们的交线. 由此看出公理 3 不仅给出了两个平面相交的依据,还告诉我们所有交点在同一条直线上, 并给出了找这条交线的方法. ⑦描述点、直线、平面的位置关系常用 3 种语言:文字语言、图形语言、符号语言. ⑧“平面的基本性质”小结: 名称 公理 1 公理 2 公理 3 (三)应用示例 思路 1 例 1 如图 10,用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系. 作用 判定直线在平面内的依据 确定一个平面的依据 两平面相交的依据

图 10 活动:学生自己思考或讨论,再写出(最好用实物投影仪展示写的正确的答案).教师在 学生中巡视,发现问题及时纠正,并及时评价. 解:在(1)中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B. 在(2)中,α∩β=l,a ? α,b ? β,a∩l=P,b∩l=P. 变式训练 1.画图表示下列由集合符号给出的关系: (1)A∈α,B ? α,A∈l,B∈l; (2)a ? α,b ? β,a∥c,b∩c=P,α∩β=c. 解:如图 11.

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图 11 2.根据下列条件,画出图形. (1)平面 α∩平面 β=l,直线 AB ? α,AB∥l,E∈AB,直线 EF∩β=F,F ? l; (2)平面 α∩平面 β=a,△ABC 的三个顶点满足条件:A∈a,B∈α,B ? a,C∈β,C ? a. 答案:如图 12.

图 12 点评:图形语言与符号语言的转换是本节的重点,主要有两种题型: (1)根据图形,先判断点、直线、平面的位置关系,然后用符号表示出来. (2)根据符号,想象出点、直线、平面的位置关系,然后用图形表示出来. 例 2 已知直线 a 和直线 b 相交于点 A.求证:过直线 a 和直线 b 有且只有一个平面.

图 13 证明:如图 13,点 A 是直线 a 和直线 b 的交点,在 a 上取一点 B,b 上取一点 C, 根据公理 2 经过不在同一直线上的三点 A、B、C 有一个平面 α, 因为 A、B 在平面 α 内,根据公理 1,直线 a 在平面 α 内, 同理直线 b 在平面 α 内,即平面 α 是经过直线 a 和直线 b 的平面. 又因为 A、B 在 a 上,A、C 在 b 上,所以经过直线 a 和直线 b 的平面一定经过点 A、B、 C. 于是根据公理 2,经过不共线的三点 A、B、C 的平面有且只有一个, 所以经过直线 a 和直线 b 的平面有且只有一个. 变式训练 求证:两两相交且不共点的四条直线在同一平面内. 证明:如图 14,直线 a、b、c、d 两两相交,交点分别为 A、B、C、D、E、F,

图 14 ∵直线 a∩直线 b=A,∴直线 a 和直线 b 确定平面设为 α,即 a,b ? α. ∵B、C∈a,E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.

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而 B、F∈c,C、E∈d,∴c、d ? α, 即 a、b、c、d 在同一平面内. 点评:在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题,除公理 2 外,确定平面的依据 还有: (1) 直线与直线外一点.(2)两条相交直线.(3)两条平行直线. (2) 思路 2 例 1 如图 15,已知 α∩β=EF,A∈α,C、B∈β,BC 与 EF 相交,在图中分别画出平面 ABC 与 α、 β 的交线.

图 15 活动:让学生先思考或讨论,然后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时 表扬,对作图不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 解:如图 16 所示,连接 CB, ∵C∈β,B∈β,∴直线 CB ? β.

图 16 ∵直线 CB ? 平面 ABC,∴β∩平面 ABC=直线 CB. 设直线 CB 与直线 EF 交于 D, ∵α∩β=EF,∴D∈α,D∈平面 ABC. ∵A∈α,A∈平面 ABC, ∴α∩平面 ABC=直线 AD. 变式训练 1.如图 17,AD∩平面 α=B,AE∩平面 α=C,请画出直线 DE 与平面 α 的交点 P,并指出点 P 与 直线 BC 的位置关系.

图 17 解:AD 和 AC 是相交直线,它们确定一个平面 ABC, 它与平面 α 的交线为直线 BC,DE ? 平面 ABC, ∴ DE 与 α 的交点 P 在直线 BC 上. 2.如图 18,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 8 cm,M、N、P 分别是 AB、A1D1、BB1 的中 点,

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图 18 (1)画出过 M、N、P 三点的平面与平面 A1B1C1D1 的交线,以及与平面 BB1C1C 的交线. (2)设过 M、N、P 三点的平面与 B1C1 交于点 Q,求 PQ 的长. 解:(1)设 M、N、P 三点确定的平面为 α,则 α 与平面 AA1B1B 的交线为直线 MP,设 MP∩A1B1=R,则 RN 是 α 与平面 A1B1C1D1 的交线,设 RN∩B1C1=Q,连接 PQ,则 PQ 是所要 画的平面 α 与平面 BB1C1C 的交线.如图 18. (2)正方体棱长为 8 cm,B1R=BM=4 cm,又 A1N=4 cm,B1Q= ∴ B1Q=

1 A1N, 3

1 4 4 × 4= (cm).在△ PB1Q 中,B1P=4 cm,B1Q= cm, 3 3 3 4 2 2 10 cm. ∴ PQ= B1 P ? B1Q ? 3
点评:公理 3 给出了两个平面相交的依据,我们经常利用公理 3 找两平面的交点和交线. 例 2 已知△ ABC 三边所在直线分别与平面 α 交于 P、Q、R 三点,求证:P、Q、R 三点共线. 解:如图 19,∵ A、B、C 是不在同一直线上的三点,

图 19 ∴ 过 A、B、C 有一个平面 β. 又∵ AB∩α=P,且 AB ? β, ∴ 点 P 既在 β 内又在 α 内.设 α∩β=l,则 P∈l, 同理可证:Q∈l,R∈l, ∴ P、Q、R 三点共线. 变式训练 三个平面两两相交于三条直线,若这三条直线不平行,求证:这三条直线交于一点. 已知平面 α、β、γ 两两相交于三条直线 l1、l2、l3,且 l1、l2、l3 不平行. 求证:l1、l2、l3 相交于一点. 证明:如图 20,α∩β=l1,β∩γ=l2,α∩γ=l3,

图 20

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∵ l1 ? β,l2 ? β,且 l1、l2 不平行, ∴ l1 与 l2 必相交.设 l1∩l2=P, 则 P∈l1 ? α,P∈l2 ? γ, ∴ P∈α∩γ=l3. ∴ l1、l2、l3 相交于一点 P. 点评:共点、共线问题是本节的重点,在高考中也经常考查,其理论依据是公理 3. (四)知能训练 画一个正方体 ABCD—A′B′C′D′,再画出平面 ACD′与平面 BDC′的交线,并且说明理由. 解:如图 21,

图 21 ∵ F∈CD′,∴ F∈平面 ACD′. ∵ E∈AC,∴ E∈平面 ACD′. ∵ E∈BD,∴ E∈平面 BDC′. ∵ F∈DC′,∴ F∈平面 DC′B. ∴ EF 为所求. (五)拓展提升 O1 是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的上底面的中心,过 D1、B1、A 作一个截面,求证:此截 面与对角线 A1C 的交点 P 一定在 AO1 上. 解:如图 22,连接 A1C1、AC,

图 22 因 AA1∥ CC1,则 AA1 与 CC1 可确定一个平面 AC1, 易知截面 AD1B1 与平面 AC1 有公共点 A、O1, 所以截面 AD1B1 与平面 AC1 的交线为 AO1. 又 P∈A1C,得 P∈平面 AC1,而 P∈截面 AB1D1, 故 P 在两平面的交线上,即 P∈AO1. 点评:证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上. (六)课堂小结 1.平面是一个不加定义的原始概念,其基本特征是无限延展性. 2.通过三个公理介绍了平面的基本性质,及作用.

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名称 公理 1 公理 2 公理 3 3.利用三个公理证明共面、共线、共点问题. (七)作业 课本习题 2.1 A 组 5、6.

作用 判定直线在平面内的依据 确定一个平面的依据 两平面相交的依据

§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 一、教材分析 空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系,直线的异面关系是本节 的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同,它是以否定形式给出的,因此它的证 明方法也就与众不同.公理 4 是空间等角定理的基础,而等角定理又是定义两异面直线所成角 的基础,请注意知识之间的相互关系,准确把握两异面直线所成角的概念. 二、教学目标 1.知识与技能 (1)了解空间中两条直线的位置关系; (2)理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能力; (3)理解并掌握公理 4; (4)理解并掌握等角公理; (5)异面直线所成角的定义、范围及应用。 2.过程与方法 让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识. 3.情感、态度与价值

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让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性,提高学生的学习兴趣. 三、重点难点 两直线异面的判定方法,以及两异面直线所成角的求法. 四、课时安排 1 课时 五、教学设计 (一)导入新课 思路 1.(情境导入) 在浩瀚的夜空,两颗流星飞逝而过(假设它们的轨迹为直线) ,请同学们讨论这两直线的 位置关系. 学生:有可能平行,有可能相交,还有一种位置关系不平行也不相交,就像教室内的日光灯 管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样. 教师:回答得很好,像这样的两直线的位置关系还可以举出很多,又如学校的旗杆所在的直 线与其旁边公路所在的直线,它们既不相交,也不平行,即不能处在同一平面内.今天我们讨 论空间中直线与直线的位置关系. 思路 2.(事例导入) 观察长方体 (图 1) , 你能发现长方体 ABCD—A′B′C′D′中, 线段 A′B 所在的直线与线段 C′C 所在直线的位置关系如何?

图1 (二)推进新课、新知探究、提出问题 ① 什么叫做异面直线? ② 总结空间中直线与直线的位置关系. ③ 两异面直线的画法. ④ 在同一平面内,如果两直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行 .在空间这 个结论成立吗? ⑤ 什么是空间等角定理? ⑥ 什么叫做两异面直线所成的角? ⑦ 什么叫做两条直线互相垂直? 活动:先让学生动手做题,再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬, 对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 讨论结果:① 异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否定的形式给出的, 以否定形式给出的问题一般用反证法证明. ② 空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型(图 1),引导学生得出空间的两 条直线的三种位置关系:

? , 有且只有一个公共点 ; ?相交直线: 同一平面内 ?共面直线? , 没有公共点 ; ? ?平行直线: 同一平面内 ? , 没有公共点 . ?异面直线: 不同在任何一个平面内
③ 教师再次强调异面直线不共面的特点,作图时通常用一个或两个平面衬托,如图 2.

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图2 ④ 组织学生思考: 长方体 ABCD—A′B′C′D′中,如图 1, BB′∥ AA′,DD′∥ AA′,BB′与 DD′平行吗? 通过观察得出结论:BB′与 DD′平行. 再联系其他相应实例归纳出公理 4. 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示为:a∥ b,b∥ c ? a∥ c. 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用. 公理 4 是:判断空间两条直线平行的依据,不必证明,可直接应用. ⑤ 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. ⑥ 怎么定义两条异面直线所成的角呢?能否转化为用共面直线所成的角来表示呢? 可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示.如图 3,异面直线 a、b,在空 间中任取一点 O,过点 O 分别引 a′∥ a,b′∥ b,则 a′,b′所成的锐角(或直角)叫做两条异面直 线所成的角.

图3 针对这个定义,我们来思考两个问题. 问题 1:这样定义两条异面直线所成的角,是否合理?对空间中的任一点 O 有无限制条 件? 答:在这个定义中,空间中的一点是任意取的.若在空间中,再取一点 O′(图 4) ,过点 O′ 作 a″∥ a,b″∥ b,根据等角定理,a″与 b″所成的锐角(或直角)和 a′与 b′所成的锐角(或直角) 相等,即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线,它们所成的锐角(或直角) 都是相等的,值是唯一的、确定的,而与所取的点位置无关,这表明这样定义两条异面直线 所成角的合理性.注意:有时,为了方便,可将点 O 取在 a 或 b 上(如图 3).

图4 问题 2:这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾? 答:没有矛盾.当 a、b 相交时,此定义仍适用,表明此定义与平面内两相交直线所成角的 概念没有矛盾,是相交直线所成角概念的推广. ⑦ 在定义中,两条异面直线所成角的范围是(0° ,90° ],若两条异面直线所成的角是直角,

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我们就说这两条异面直线互相垂直.例如,正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相 互垂直的,其中有的和这条棱相交,有的和这条棱异面(图 5).

图5 (三)应用示例 思路 1 例 1 如图 6,空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点.

图6 求证:四边形 EFGH 是平行四边形. 证明:连接 EH,因为 EH 是△ ABD 的中位线,所以 EH∥ BD,且 EH= 同理,FG∥ BD,且 FG=

1 BD . 2

1 BD . 2

所以 EH∥ FG,且 EH=FG.所以四边形 EFGH 为平行四边形. 变式训练 1.如图 6,空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点且 AC=BD. 求证:四边形 EFGH 是菱形. 证明:连接 EH,因为 EH 是△ ABD 的中位线,所以 EH∥ BD,且 EH= 同理,FG∥ BD,EF∥ AC,且 FG=

1 BD . 2

1 1 BD ,EF= AC . 2 2

所以 EH∥ FG,且 EH=FG.所以四边形 EFGH 为平行四边形. 因为 AC=BD,所以 EF=EH. 所以四边形 EFGH 为菱形. 2.如图 6,空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点且 AC=BD, AC⊥ BD. 求证:四边形 EFGH 是正方形. 证明:连接 EH,因为 EH 是△ ABD 的中位线, 所以 EH∥ BD,且 EH=

1 BD . 2 1 1 BD ,EF= AC . 2 2

同理,FG∥ BD,EF∥ AC,且 FG=

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所以 EH∥ FG,且 EH=FG.所以四边形 EFGH 为平行四边形. 因为 AC=BD,所以 EF=EH. 因为 FG∥ BD,EF∥ AC,所以∠ FEH 为两异面直线 AC 与 BD 所成的角.又因为 AC⊥ BD, 所以 EF⊥ EH. 所以四边形 EFGH 为正方形. 点评:“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行常用的方法. 例 2 如图 7,已知正方体 ABCD—A′B′C′D′.

图7 (1)哪些棱所在直线与直线 BA′是异面直线? (2)直线 BA′和 CC′的夹角是多少? (3)哪些棱所在直线与直线 AA′垂直? 解:(1)由异面直线的定义可知,棱 AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与 BA′ 是异面直线. (2)由 BB′∥ CC′可知,∠ B′BA′是异面直线 BA′和 CC′的夹角,∠ B′BA′=45°,所以直线 BA′ 和 CC′的夹角为 45° . (3)直线 AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线 AA′垂直. 变式训练 如图 8,已知正方体 ABCD—A′B′C′D′.

图8 (1)求异面直线 BC′与 A′B′所成的角的度数; (2)求异面直线 CD′和 BC′所成的角的度数. 解: (1)由 A′B′∥ C′D′可知,∠ BC′D′是异面直线 BC′与 A′B′所成的角, ∵ BC′⊥ C′D′,∴ 异面直线 BC′与 A′B′所成的角的度数为 90° . (2)连接 AD′,AC,由 AD′∥ BC′可知,∠ AD′C 是异面直线 CD′和 BC′所成的角, ∵ △ AD′C 是等边三角形. ∴ ∠ AD′C=60°,即异面直线 CD′和 BC′所成的角的度数为 60° . 点评:“平移法”是求两异面直线所成角的基本方法. 思路 2 例 1 在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 AA1 和棱 CC1 的中点. 求证:EB1∥ DF,ED∥ B1F.

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活动:学生先思考或讨论,然后再回答,教师点拨、提示并及时评价学生. 证明:如图 9,设 G 是 DD1 的中点,分别连接 EG,GC1.

图9 ∵ EG A1D1,B1C1 A1D1, ∴ EG B1C1.四边形 EB1C1G 是平行四边形, ∴ EB1 GC1. 同理可证 DF GC1,∴ EB1 DF. ∴ 四边形 EB1FD 是平行四边形. ∴ ED∥ B1F. 变式训练 如图 10,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AA1、AB 的中点,试判断下列各 对线段所在直线的位置关系:

图 10 (1)AB 与 CC1; (2)A1B1 与 DC; (3)A1C 与 D1B; (4)DC 与 BD1; (5)D1E 与 CF. 解: (1)∵ C∈平面 ABCD,AB ? 平面 ABCD,又 C ? AB,C1 ? 平面 ABCD,∴ AB 与 CC1 异面. (2)∵ A1B1∥ AB,AB∥ DC,∴ A1B1∥ DC. (3)∵ A1D1∥ B1C1,B1C1∥ BC,∴ A1D1∥ BC,则 A1、B、C、D1 在同一平面内. ∴ A1C 与 D1B 相交. (4)∵ B∈平面 ABCD,DC ? 平面 ABCD,又 B ? DC,D1 ? 平面 ABCD,∴ DC 与 BD1 异 面. (5)如图 10,CF 与 DA 的延长线交于 G,连接 D1G, ∵ AF∥ DC,F 为 AB 中点,∴ A 为 DG 的中点. 又 AE∥ DD1, ∴ GD1 过 AA1 的中点 E.∴ 直线 D1E 与 CF 相交. 点评:两条直线平行,在空间中不管它们的位置如何,看上去都平行(或重合).两条直 线相交,总可以找到它们的交点.作图时用实点标出.两条直线异面,有时看上去像平行(如图 中的 EB 与 A1C) ,有时看上去像相交(如图中的 DC 与 D1B).所以要仔细观察,培养空间想

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象能力,尤其要学会两条直线异面判定的方法. 例 2 如图 11,点 A 是 BCD 所在平面外一点,AD=BC,E、F 分别是 AB、CD 的中点,且 EF=

2 AD,求异面直线 AD 和 BC 所成的角. 2

图 11 解:设 G 是 AC 中点,连接 EG、FG. 因 E、F 分别是 AB、CD 中点,故 EG∥ BC 且 EG=

1 1 BC ,FG∥ AD,且 FG= AD .由异 2 2

面直线所成角定义可知 EG 与 FG 所成锐角或直角为异面直线 AD、BC 所成角,即∠ EGF 为所 求. 由 BC=AD 知 EG=GF=

1 2 AD ,又 EF= AD,由勾股定理可得∠ EGF=90° . 2 2

点评:本题的平移点是 AC 中点 G,按定义过 G 分别作出了两条异面直线的平行线,然 后在△ EFG 中求角.通常在出现线段中点时,常取另一线段中点,以构成中位线,既可用平行 关系,又可用线段的倍半关系. 变式训练 设空间四边形 ABCD,E、F、G、H 分别是 AC、BC、DB、DA 的中点,若 AB= 12 2 , CD= 4 2 ,且 HG· HE· sin∠ EHG= 12 3 ,求 AB 和 CD 所成的角. 解:如图 12,由三角形中位线的性质知,HG∥ AB,HE∥ CD,

图 12 ∴ ∠ EHG 就是异面直线 AB 和 CD 所成的角. 由题意可知 EFGH 是平行四边形,HG= ∴ HG· HE· sin∠ EHG= 12 6 sin∠ EHG. ∴12 6 sin∠ EHG= 12 3 .

1 1 AB ? 6 2 ,HE= CD ? 2 3 , 2 2

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∴ sin∠ EHG=

2 .故∠ EHG=45° . 2

∴ AB 和 CD 所成的角为 45° . (四)知能训练 如图 13,表示一个正方体表面的一种展开图,图中的四条线段 AB、CD、EF 和 GH 在原 正方体中相互异面的有对____________.

图 13 答案:三 (五)拓展提升 图 14 是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题:

图 14 ① AB 与 CD 所在直线垂直;② CD 与 EF 所在直线平行;③ AB 与 MN 所在直线成 60° 角;④ MN 与 EF 所在直线异面.其中正确命题的序号是( ) A.① ③ B.① ④ C.② ③ D.③ ④ 答案:D (六)课堂小结 本节学习了空间两直线的三种位置关系:平行、相交、异面,其中异面关系是重点和难 点. 为了准确理解两异面直线所成角的概念,我们学习了公理 4 和等角定理. (七)作业 课本习题 2.1 A 组 3、4.

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§2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 一、教材分析 空间中直线与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系,直线与平面的相交 和平行是本节的重点和难点.空间中直线与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的,要 求学生在公理 1 的基础上会判断直线与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中 直线与平面之间的位置关系. 二、教学目标 1.知识与技能 (1)了解空间中直线与平面的位置关系; (2)培养学生的空间想象能力. 2.过程与方法 (1)学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握; (2)让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识. 3.情感、态度与价值 让学生感受到掌握空间直线与平面关系的必要性,提高学生的学习兴趣. 三、教学重点与难点 正确判定直线与平面的位置关系. 四、课时安排 1 课时 五、教学设计 (一)导入新课 思路 1.(情境导入) 一支笔所在的直线与我们的课桌面所在的平面,可能有几个交点?可能有几种位置关系? 思路 2.(事例导入) 观察长方体(图 1) ,你能发现长方体 ABCD—A′B′C′D′中,线段 A′B 所在的直线与长方 体 ABCD—A′B′C′D′的六个面所在平面有几种位置关系?

图1 (二)推进新课、新知探究、提出问题 ① 什么叫做直线在平面内? ② 什么叫做直线与平面相交? ③ 什么叫做直线与平面平行? ④ 直线在平面外包括哪几种情况?

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⑤ 用三种语言描述直线与平面之间的位置关系. 活动:教师提示、点拨从直线与平面的交点个数考虑,对回答正确的学生及时表扬. 讨论结果:① 如果直线与平面有无数个公共点叫做直线在平面内. ② 如果直线与平面有且只有一个公共点叫做直线与平面相交. ③ 如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行. ④ 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外. ⑤ 直线在平面内 a?α

直线与平面相交

a∩α=A

直线与平面平行

a∥ α

(三)应用示例 思路 1 例 1 下列命题中正确的个数是( ) ① 若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内,则 l∥ α ② 若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的任意一条直线都平行 ③ 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行 ④ 若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的任意一条直线都没有公共点 A.0 B.1 C.2 D.3 分析:如图 2,

图2 我们借助长方体模型,棱 AA1 所在直线有无数点在平面 ABCD 外,但棱 AA1 所在直线与 平面 ABCD 相交,所以命题① 不正确; A1B1 所在直线平行于平面 ABCD,A1B1 显然不平行于 BD,所以命题② 不正确; A1B1∥ AB,A1B1 所在直线平行于平面 ABCD, 但直线 AB ? 平面 ABCD,所以命题③ 不正确; l 与平面 α 平行,则 l 与 α 无公共点,l 与平面 α 内所有直线都没有公共点,所以命题④ 正确. 答案:B 变式训练 请讨论下列问题: 若直线 l 上有两个点到平面 α 的距离相等,讨论直线 l 与平面 α 的位置关系.

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图3 解:直线 l 与平面 α 的位置关系有两种情况(如图 3) ,直线与平面平行或直线与平面相 交. 点评:判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型,结合图形来考虑,注意考虑问 题要全面. 例 2 已知一条直线与三条平行直线都相交,求证:这四条直线共面. 已知直线 a∥ b∥ c,直线 l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C. 求证:l 与 a、b、c 共面. 证明:如图 4,∵ a∥ b,

图4 ∴ a、b 确定一个平面,设为 α. ∵ l∩a=A,l∩b=B,∴ A∈α,B∈α. 又∵ A∈l,B∈l,∴ AB ? α,即 l ? α. 同理 b、c 确定一个平面 β,l ? β, ∴ 平面 α 与 β 都过两相交直线 b 与 l. ∵ 两条相交直线确定一个平面, ∴ α 与 β 重合.故 l 与 a、b、c 共面. 变式训练 已知 a ? α,b ? α,a∩b=A,P∈b,PQ∥ a, 求证:PQ ? α. 证明:∵ PQ∥ a,∴ PQ、a 确定一个平面,设为 β. ∴ P∈β,a ? β,P ? a.又 P∈α,a ? α,P ? a, 由推论 1:过 P、a 有且只有一个平面, ∴ α、β 重合.∴ PQ ? α. 点评:证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法. 思路 2 例 1 若两条相交直线中的一条在平面 α 内,讨论另一条直线与平面 α 的位置关系. 解:如图 5,另一条直线与平面 α 的位置关系是在平面内或与平面相交.

图5 用符号语言表示为:若 a∩b=A,b ? α,则 a ? α 或 a∩α=A.

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变式训练 若两条异面直线中的一条在平面 α 内,讨论另一条直线与平面 α 的位置关系. 分析:如图 6,另一条直线与平面 α 的位置关系是与平面平行或与平面相交.

图6 用符号语言表示为:若 a 与 b 异面,a ? α,则 b∥ α 或 b∩α=A. 点评:判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型,结合图形来考虑,注意考虑问 题要全面. 例 2 若直线 a 不平行于平面 α,且 a ? α,则下列结论成立的是( ) A.α 内的所有直线与 a 异面 B.α 内的直线与 a 都相交 C.α 内存在唯一的直线与 a 平行 D.α 内不存在与 a 平行的直线 分析:如图 7,若直线 a 不平行于平面 α,且 a ? α,则 a 与平面 α 相交.

图7 例如直线 A′B 与平面 ABCD 相交,直线 AB、CD 在平面 ABCD 内,直线 AB 与直线 A′B 相交,直线 CD 与直线 A′B 异面,所以 A、B 都不正确;平面 ABCD 内不存在与 a 平行的直 线,所以应选 D. 答案:D 变式训练 不在同一条直线上的三点 A、B、C 到平面 α 的距离相等,且 A ? α,给出以下三个命题: ① △ ABC 中至少有一条边平行于 α;② △ ABC 中至多有两边平行于 α;③ △ ABC 中只可能有 一条边与 α 相交. 其中真命题是_____________. 分析:如图 8,三点 A、B、C 可能在 α 的同侧,也可能在 α 两侧,

图8 其中真命题是① . 答案:① 变式训练 若直线 a ? α,则下列结论中成立的个数是( ) (1)α 内的所有直线与 a 异面 (2)α 内的直线与 a 都相交 (3)α 内存在唯一的直线与 a 平行 (4)α 内不存在与 a 平行的直线

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A.0 B.1 分析:∵ 直线 a ? α,∴ a∥ α 或 a∩α=A. 如图 9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选 A.

C.2

D.3

图9 答案:A 点评:判断一个命题是否正确要善于找出空间模型(长方体是常用空间模型) ,另外考虑 问题要全面即注意发散思维. (四)知能训练 已知 α∩β=l,a ? α 且 a ? β,b ? β 且 b ? α,又 a∩b=P. 求证:a 与 β 相交,b 与 α 相交. 证明:如图 10,∵ a∩b=P,

图 10 ∴ P∈a,P∈b. 又 b ? β,∴ P∈β. ∴ a 与 β 有公共点 P,即 a 与 β 相交. 同理可证,b 与 α 相交. (五)拓展提升 过空间一点,能否作一个平面与两条异面直线都平行? 解:(1)如图 11, C′D′与 BD 是异面直线,可以过 P 点作一个平面与两异面直线 C′D′、BD 都平行. 如图 12,

图 11 图 12 图 13 显然,平面 PQ 是符合要求的平面. (2)如图 13,当点 P 与直线 C′D′确定的平面和直线 BD 平行时, 不存在过 P 点的平面与两异 面直线 C′D′、BD 都平行. 点评:判断一个命题是否正确要善于找出空间模型(长方体是常用空间模型) ,另外考虑 问题要全面即注意发散思维. (六)课堂小结 本节主要学习直线与平面的位置关系,直线与平面的位置关系有三种:

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① 直线在平面内——有无数个公共点, ② 直线与平面相交——有且只有一个公共点, ③ 直线与平面平行——没有公共点. 另外,空间想象能力的培养是本节的重点和难点. (七)作业 课本习题 2.1 A 组 7、8.

§2.1.4 平面与平面之间的位置关系 一、教材分析 空间中平面与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系,平面与平面的相交 和平行是本节的重点和难点.空间中平面与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的,要 求学生在公理 3 的基础上会判断平面与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中 平面与平面之间的位置关系. 二、教学目标 1.知识与技能 (1) 了解空间中平面与平面的位置关系; (2)培养学生的空间想象能力. 2.过程与方法 (1)学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握; (2)让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识. 3.情感、态度与价值 让学生感受到掌握空间两个平面关系的必要性,提高学生的学习兴趣. 三、教学重点与难点 平面与平面的相交和平行. 四、课时安排 1 课时 五、教学设计 (一)复习 1.直线与直线的位置关系:相交、平行、异面. 2.直线与平面的位置关系: ① 直线在平面内——有无数个公共点, ② 直线与平面相交——有且只有一个公共点, ③ 直线与平面平行——没有公共点. (二)导入新课

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思路 1.(情境导入) 拿出两本书,看作两个平面,上下、左右移动和翻转,它们之间的位置关系有几种? 思路 2.(事例导入) 观察长方体 (图 1) , 围成长方体 ABCD—A′B′C′D′的六个面, 两两之间的位置关系有几种?

图1 (三)推进新课、新知探究、提出问题 ① 什么叫做两个平面平行? ② 两个平面平行的画法. ③ 回忆两个平面相交的依据. ④ 什么叫做两个平面相交? ⑤ 用三种语言描述平面与平面之间的位置关系. 活动:先让学生思考,后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对回 答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 问题① 引导学生回忆直线与平面平行的定义. 问题② 怎样体现两个平面平行的特点. 问题③ 两个平面有一个公共点,两平面是否相交. 问题④ 回忆公理三. 问题⑤ 鼓励学生自我训练. 讨论结果: ① 两个平面平行——没有公共点. ② 画两个互相平行的平面时,要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行,如图 2.

图2 图3 ③ 如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线 .此时,就 说两平面相交,交线就是公共点的集合,这就是公理 3.如图 3,用符号语言表示为:P∈α 且 P ∈β ? α∩β=l,且 P∈l. ④ 两个平面相交——有一条公共直线. ⑤ 如果两个平面没有公共点,则两平面平行 ? 若 α∩β= ? ,则 α∥ β. 如果两个平面有一条公共直线,则两平面相交 ? 若 α∩β=AB,则 α 与 β 相交. 两平面平行与相交的图形表示如图 4.

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图4 (四)应用示例 思路 1 例 1 已知平面 α,β,直线 a,b,且 α∥ β,a ? α,b ? β,则直线 a 与直线 b 具有怎样的位置关系? 活动:学生自己思考或讨论,再写出正确的答案.教师在学生中巡视,发现问题及时纠正, 并及时评价. 解:如图 5,直线 a 与直线 b 的位置关系为平行或异面.

图5 例 2 如果三个平面两两相交,那么它们的交线有多少条?画出图形表示你的结论. 解:三个平面两两相交,它们的交线有一条或三条,如图 6.

图6 变式训练 α、β 是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定 α∥ β 的是( A.α、β 都平行于直线 l、m B.α 内有三个不共线的点到 β 的距离相等 C.l、m 是 α 内的两条直线,且 l∥ β,m∥ β D.l、m 是两条异面直线,且 l∥ α、m∥ α、l∥ β,m∥ β 分析:如图 7,分别是 A、B、C 的反例. )

图7 答案:D 点评:判断正误要结合图形,并善于发现反例,即注意发散思维. 思路 2 例 1 α∩β=l,a ? α,b ? β,试判断直线 a、b 的位置关系,并画图表示. 活动:学生自己思考或讨论,再写出正确的答案.教师在学生中巡视,发现问题及时纠正, 并及时评价.

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解:如图 8,直线 a、b 的位置关系是平行、相交、异面.

图8 变式训练 α∩β=l,a ? α,b ? β,b∩β=P,试判断直线 a、b 的位置关系,并画图表示. 解:如图 9,直线 a、b 的位置关系是相交、异面.

图9 直线 a、b 不可能平行,这里仅要求学生结合图形或实物模型加以体会,学完下一节后可 以证明. 点评:结合图形或实物模型判断直线与平面的位置关系,目的在于培养学生的空间想象 能力. 例 2 如图 10,在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是 AA1、D1C1 的中点, 过 D、M、N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线 l,

图 10 (1)画出 l 的位置; (2)设 l∩A1B1=P,求 PB1 的长. 解: (1)平面 DMN 与平面 AD1 的交线为 DM, 则平面 DMN 与平面 A1C1 的交线为 QN. QN 即为所求作的直线 l.如图 10. (2)设 QN∩A1B1=P, ∵ △ MA1Q≌ △ MAD,∴ A1Q=AD=a=A1D1, ∴ A1 是 QD1 的中点.又 A1P∥ D1N,

1 1 1 D1N= C1D1= a. 2 4 4 1 3 ∴ PB1=A1B1-A1P= a ? a ? a . 4 4
∴ A1P= 变式训练 画出四面体 ABCD 中过 E、F、G 三点的截面与四面体各面的交线. 解:如图 11,分别连接并延长线段 EF、BD,

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图 11 ∵ 线段 EF、BD 共面且不平行,∴ 线段 EF、BD 相交于一点 P. ∴ 连接 GP 交线段 CD 于 H,分别连接 EG、GH、FH 即为所作交线. 点评:利用公理 3 作两平面的交线是高考经常考查的内容,是两平面关系的重点. (五)知能训练 三棱柱的各面把空间分成几部分? 解:分为 21 部分. (六)拓展提升 已知平面 α∩平面 β=a,b ? α,b∩a=A,c ? β 且 c∥ a, 求证:b、c 是异面直线. 证明:反证法:若 b 与 c 不是异面直线,则 b∥ c 或 b 与 c 相交. (1)若 b∥ c.∵ a∥ c,∴ a∥ b.这与 a∩b=A 矛盾. (2)若 b、c 相交于 B,则 B∈β.又 a∩b=A,∴ A∈β. ∴ AB ? β,即 b ? β.这与 b∩β=A 矛盾. ∴ b,c 是异面直线. (七)课堂小结 本节主要学习平面与平面的位置关系,平面与平面的位置关系有两种: ① 两个平面平行——没有公共点; ② 两个平面相交——有一条公共直线. 另外,空间想象能力的培养是本节的重点和难点. (八)作业 课本习题 2.1 B 组 1、2、3.

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