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高二数学直线与圆锥曲线的位置关系


复习专题二

直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考的重点内容, 除在客观题中考查外, 解答题对解 析几何的考查也以直线与圆锥曲线的位置关系为主。本专题的复习内容与要求是: 1.掌握研究直线与二次曲线的位置关系问题(如弦长、中点弦、对称等)的基本方法。 2.能够综合运用代数、三角、几何方面的知识解决直线与圆锥曲线的位置关系问题。 圆锥曲线的几种常见题型 (1)直线与圆锥曲线位置关系的判定; ( 2 ) 求 直 线 与 圆 锥 曲 线 相 交 的 弦 长 的 方 法 : 设 弦 端 点 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) AB ? ______________________. (3)圆锥曲线的弦中点问题的解法: (4)解析几何中的最值和定值的方法: 【热身练习】 1、方向向量为 a ? (?1,?2) 且与抛物线 y ? x 2 相切的直线的方程是______________。 2、“a=b”是“直线 y ? x ? 2与圆( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? 2相切 ”的______________条件。 3、过椭圆

x2 y2 ? ? 1 内一点 M (1,1) 的直线交椭圆于 A, B 两点,且满足 AM ? MB ,则该直 16 4

线的方程_________。 4、直线 y ? x ? 3 与抛物线 y ? 4 x 交于 A, B 两点,过 A, B 两点向抛物线的准线作垂线,
2

垂足分别为 P, Q ,则梯形 APQB 的面积为______________. 5、 等轴双曲线 C:x ? y ? 1的左焦点为 F, 若点 P 为左下半支上任意一点 (不同于左顶点) ,
2 2

则直线 PF 的斜率的取值范围是________________。 6、已知实数 x,y 满足 3x2+2y2=6x,则 x2+y2 的最大值是_____________。 7、已知圆 M: ( x ? cos? ) ? ( y ? sin ? ) ? 1 ,直线 l : y ? kx ,下列四个命题:
2 2

A、对任意实数 k 与 ? ,直线 l 和圆 M 相切 B、对任意实数 k 与 ? ,直线 l 和圆 M 有公共点 C、对任意实数 ? ,必存在对实数 k ,使得直线 l 和圆 M 相切 D、对任意实数 k ,必存在实数 ? ,使得直线 l 和圆 M 相切 其中真命题的代号是 (写出所有真命题)

【例题分析】 例 1、已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,A 是抛物线上横坐标为 4、且位于 x 轴上方的点,A 到抛物线准线的距离等于 5,过 A 作 AB 垂直于 y 轴,垂足为 B,OB 的中点为 M. (1)求抛物线方程; (2)过 M 作 MN⊥FA, 垂足为 N,求点 N 的坐标; (3)以 M 为圆心,MB 为半径作圆 M.当 K(m,0)是 x 轴上一动点时,讨论直线 AK 与圆 M 的位置 关系. [解]

例 2、在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1, 0)、B(1, 0), 动点 C 满足条件:△ABC 的 周长为 2+2 2.记动点 C 的轨迹为 曲线 W. (1)求 W 的方程; (2)经过点(0, 范围;
??? ? ???? (3)已知点 M( 2,0) ,N(0, 1) ,在(Ⅱ)的条件下,是否存在常数 k,使得向量 OP ? OQ
???? ? 与 MN 共线?如果存在,求出 k 的值;如果不存在,请说明理由.

2)且斜率为 k 的直线 l 与曲线 W 有两个不同的交点 P 和 Q,求 k 的取值

解:

例 3、已知点 E 、 F 的坐标分别是 ? ?2,0 ? 、 ? 2, 0 ? ,直线 EP 、 FP 相交于点 P ,且它们

1 。 4 (1)求证:点 P 的轨迹在一个椭圆 C 上,并写出椭圆 C 的方程;
的斜率之积为 ? (2)设过原点 O 的直线 AB 交(1)中的椭圆 C 于点 A 、 B ,定点 M 的坐标为 ?1, ? ,试 求 ?MAB 面积的最大值,并求此时直线 AB 的斜率 k AB 。 解:

? 1? ? 2?

例 4、设 F1 , F2 分别是椭圆 C: (1)设椭圆 C 上的点 ( 3,

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0) 的左右焦点 a2 b2

3 ) 到 F1 , F2 两点距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标 2 (2)设 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程 (3)设点 P 是椭圆 C 上的任意一点,过原点的直线 L 与椭圆相交于 M,N 两点,当直线 PM ,
PN 的斜率都存在,并记为 k PM , K PN 并证明你的结论。 解: 试探究 k PM

? K PN 的值是否与点 P 及直线 L 有关,

x2 y2 例 5、已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,短轴两个端点为 A, B , a b
且四边形 F1 AF2 B 是边长为 2 的正方形。 (1)求椭圆方程; (2)若 C , D 分别是椭圆长轴的左右端点,动点 M 满足 MD ? CD ,连接 CM ,交椭圆 于点 P 。证明: OM ? OP 为定值; (3)在(2)的条件下,试问 x 轴上是否存在异于点 C 的定点 Q ,使得以 MP 为直径的圆 恒过直线 DP, MQ 的交点,若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由。
? ?

解:

例6、 设复数 ? ? x ? yi ( x , y ? R) 与复平面上点 P ( x, y) 对应. (1)若 ? 是关于 t 的一元二次方程 t ? 2t ? m ? 0 ( m ? R )的一个虚根,且 | ? |? 2 , 求实数 m 的值;
2

(2)设 复 数 ? 满 足 条 件 | ? ? 3 | ?(?1) n | ? ? 3 |? 3a ? (?1) n a( 其 中 n ? N 、常 数

?

3 y) 的轨迹为 C1 . 当 n 为偶数时,动点 P( x 、 y) 的轨 ,当 n 为奇数时,动点 P( x 、 a ? ( , 3) ) 2 迹为 C2 . 且两条曲线都经过点 D(2, 2) ,求轨迹 C1 与 C2 的方程;
2 3 ,求实数 x0 的取值范围. 3

(3)在(2)的条件下,轨迹 C2 上存在点 A ,使点 A 与点 B ? x0 ,0? ( x0 ? 0) 的最小

距离不小于

【课后练习】 1.若点 O 和点 F (?2,0) 分别是双曲线

x2 ? y 2 ? 1(a>0) 的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支 2 a

上的任意一点,则 OP ? FP 的取值范围为__________________。 2.若直线 y=x+b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 2 有公共点,则 b 的取值范围是________________。

??? ? ??? ?

? x2 y2 3.设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0 ? ,且 a ? 2b .过椭圆的左焦点 F 且倾斜角为 3 a b
的直线与椭圆交于两点 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,且 x1 ? x 2 ? ?

12 ,求椭圆的方程. 7

4、已知 F1 , F2 为椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 , ? a ? b ? 0? 的左右焦点, O 是坐标原点,过 F2 作垂 a 2 b2

直于 x 轴的直线 MF2 交椭圆于 M ,设 MF2 ? d . (1)证明: d , b, a 成等比数列; (2)若 M 的坐标为

?

2,1 ,求椭圆 C 的方程;

?

(3)[文科] 在(2)的椭圆中,过 F1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点,若 OA ? OB ? 0 , 求直线 l 的方程. [理科] 在(2)的椭圆中,过 F1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点,若椭圆 C 上存在

??? ? ??? ?

点 P ,使得 OP ? OA ? OB ,求直线 l 的方程.

??? ?

??? ? ??? ?

5.设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 两点在抛物线 y ? 2 x 2 上, l 是 AB 的垂直平分线, (1)当且仅当 x1 ? x2 取何值时,直线 l 经过抛物线的焦点 F?证明你的结论; (2)当直线 l 的斜率为 2 时,求 l 在 y 轴上截距的取值范围。 解:

6.已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在 y 轴上,抛物线上一点 M (a, ?4)(a ? 0) 到焦点 F 的距离为 5 。 (1)求抛物线的方程与实数 a 的值; (2)直线 l 过焦点 F,且点 M 到直线 l 的距离为 4 ,求直线 l 的方程; (3)O 是抛物线的顶点,在抛物线弧 OM 上求一点 P,使△FPM 的面积最大。 解:

7.已知椭圆 E 的中心在原点,实轴长为 6,一个焦点坐标为 0, 2 2 . (I).求椭圆 E 的标准方程 (II)一条直线 l 与椭圆 E 交于两个不同的点 M,N,如果线段 MN 恰好被直线 x= — 直线 l 的倾斜角α 的取值范围。 解: 1 平分,求 2

?

?

8 .在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 C ( p,0) 作直线与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 相交于

A, B 两点,设动点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 。
(1)求证: y1 y 2 为定值; (2)若点 D 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求 ?ADB 面积的最小值; (3)是否存在平行于 y 轴的定直线 l ,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存 在,求出 l 的方程;若不存在,请说明理由。

9. 圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴,

x2 ? y 2 ? 1。 我们将该弦称之为曲线的垂轴弦。已知椭圆 C: 4
(1) 过椭圆 C 的右焦点作一条垂直于 x 轴的垂轴弦 MN , 求 MN 的长度; (2)若点 P 是椭圆 C 上不与顶点重合的任意一点,MN 是椭圆 C 的短轴,直线 MP、NP 分别交 x 轴于点 E ( xE , 0) 和点 F ( xF , 0) (如右图) ,求 xE ? xF 的值; O N M P F E x

x2 y 2 (3)在(2)的基础上,把上述椭圆 C 一般化为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , MN 是任意一 a b
条垂直于

x 轴的垂轴弦,其它条件不变,试探究 xE ? xF 是否为定值?(不需要证明) ;请
x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 中相类似的结论,并证明你的结论。 a 2 b2

你给出双曲线

复习专题二

直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考的重点内容, 除在客观题中考查外, 解答题对解 析几何的考查也以直线与圆锥曲线的位置关系为主。本专题的复习内容与要求是: 1.掌握研究直线与二次曲线的位置关系问题(如弦长、中点弦、对称等)的基本方法。 2.能够综合运用代数、三角、几何方面的知识解决直线与圆锥曲线的位置关系问题。 圆锥曲线的几种常见题型 (1)直线与圆锥曲线位置关系的判定; ( 2 ) 求 直 线 与 圆 锥 曲 线 相 交 的 弦 长 的 方 法 : 设 弦 端 点 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) AB ? ______________________. (3)圆锥曲线的弦中点问题的解法 (4)解析几何中的最值和定值的方法: 【热身练习】 1 、 方 向 向 量 为 a ? (?1,?2) 且 与 抛 物 线 y ? x 相 切 的 直 线 的 方 程 是 ______________ 。
2

2x ? y ? 1 ? 0
2 、 “a=b” 是“直线 y ? x ? 2与圆( x ? a) ? ( y ? b) ? 2相切 ”的 ______________ 条件。 充分不必要条件 2 2 x y ? ? 1 内一点 M (1,1) 的直线交椭圆于 A, B 两点,且满足 AM ? MB ,则该直 3、过椭圆 16 4
2 2

线的方程_________。 x ? 4 y ? 5 ? 0

4、直线 y ? x ? 3 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A, B 两点,过 A, B 两点向抛物线的准线作垂线, 垂足分别为 P, Q ,则梯形 APQB 的面积为______________.48 5、 等轴双曲线 C:x 2 ? y 2 ? 1的左焦点为 F, 若点 P 为左下半支上任意一点 (不同于左顶点) , 则直线 PF 的斜率的取值范围是________________。 ? ??,0? ? ?1, ??? 6、已知实数 x,y 满足 3x2+2y2=6x,则 x2+y2 的最大值是_____________。4 7、已知圆 M: ( x ? cos? ) 2 ? ( y ? sin ? ) 2 ? 1 ,直线 l : y ? kx ,下列四个命题: A、对任意实数 k 与 ? ,直线 l 和圆 M 相切 B、对任意实数 k 与 ? ,直线 l 和圆 M 有公共点 C、对任意实数 ? ,必存在对实数 k ,使得直线 l 和圆 M 相切 D、对任意实数 k ,必存在实数 ? ,使得直线 l 和圆 M 相切 其中真命题的代号是 (写出所有真命题)

顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y ? 2 x ? 1 截得的弦长为 15 ,求抛物线方程。

y 2 ? 12x, y 2 ? ?4x
【例题分析】 例 1、已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,A 是抛物线上横坐标为 4、且位于 x 轴上方的点,A 到抛物线准线的距离等于 5,过 A 作 AB 垂直于 y 轴,垂足为 B,OB 的中点为 M. (1)求抛物线方程; (2)过 M 作 MN⊥FA, 垂足为 N,求点 N 的坐标; (3)以 M 为圆心,MB 为半径作圆 M.当 K(m,0)是 x 轴上一动点时,讨论直线 AK 与圆 M 的位置 关系. [解](1) 抛物线 y2=2px 的准线为 x=-

p p ,于是 4+ =5, ∴p=2. 2 2

∴抛物线方程为 y2=4x. (2)∵点 A 是坐标是(4,4), 由题意得 B(0,4),M(0,2), 又∵F(1,0), ∴kFA= 则 FA 的方程为 y= ∴N 的坐标(

4 3 ;MN⊥FA, ∴kMN=- , 3 4

4 3 8 4 (x-1),MN 的方程为 y-2=- x,解方程组得 x= ,y= , 3 4 5 5

8 4 , ). 5 5

(1) 由题意得, ,圆 M.的圆心是点(0,2), 半径为 2, 当 m=4 时, 直线 AK 的方程为 x=4,此时,直线 AK 与圆 M 相离. 当 m≠4 时, 直线 AK 的方程为 y=

4 (x-m),即为 4x-(4-m)y-4m=0, 4?m

圆心 M(0,2)到直线 AK 的距离 d= ∴当 m>1 时, AK 与圆 M 相离; 当 m=1 时, AK 与圆 M 相切; 当 m<1 时, AK 与圆 M 相交.

2m ? 8 16 ? (m ? 4) 2

,令 d>2,解得 m>1

例 2、在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1, 0)、B(1, 0), 动点 C 满足条件:△ABC 的 周长为 2+2 2.记动点 C 的轨迹为 曲线 W. (1)求 W 的方程; (2)经过点(0, 范围;
??? ? ???? (3)已知点 M( 2,0) ,N(0, 1) ,在(Ⅱ)的条件下,是否存在常数 k,使得向量 OP ? OQ
???? ? 与 MN 共线?如果存在,求出 k 的值;如果不存在,请说明理由.

2)且斜率为 k 的直线 l 与曲线 W 有两个不同的交点 P 和 Q,求 k 的取值

解:(Ⅰ) 设 C(x, y), ∵ AC ? BC + AB ? 2 ? 2 2 , AB ? 2 , ∴ AC ? BC ? 2 2 ? 2 , ∴ 由定义知, 动点 C 的轨迹是以 A、 B 为焦点, 长轴长为 2 2的椭圆除去与 x 轴的两个交点. ∴ a ? 2, c=1.
2 ∴ W: x ? y 2 ? 1 2

∴ b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 .

[来源:学科网]

( y ? 0) . …
2

(2) 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,代入椭圆方程,得 x ? (kx ? 2) 2 ? 1 . 2 整理,得 ( 1 ? k 2 ) x 2 ? 2 2kx ? 1 ? 0 . 2 ①

因为直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于
1 2或 2. ? ? 8k 2 ? 4( ? k 2 ) ? 4k 2 ? 2 ? 0 ,解得 k ? ? k? 2 2 2

(? ?, ? ∴ 满足条件的 k 的取值范围为 k ?

2 2 )?( , ??) 2 2

??? ? ???? (3)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 OP ? OQ =(x1+x2,y1+y2),

由①得 x1 ? x2 ? ? 4 2k2 . 1 ? 2k 又 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 2

② ③

???? ? 因为 M ( 2, 0) , N (0, 1) , 所以 MN ? (? 2, 1) .………

? ??? ? ???? ???? 所以 OP ? OQ 与 MN 共线等价于 x1 ? x2 =- 2( y1 ? y2 ) .

将②③代入上式,解得 k ? 2 . 2 ? ??? ? ???? ???? 所以不存在常数 k,使得向量 OP ? OQ 与 MN 共线. 例 3、已知点 E 、 F 的坐标分别是 ? ?2,0 ? 、 ? 2, 0 ? ,直线 EP 、 FP 相交于点 P ,且它们

1 。 4 (1)求证:点 P 的轨迹在一个椭圆 C 上,并写出椭圆 C 的方程;
的斜率之积为 ? (2)设过原点 O 的直线 AB 交(1)中的椭圆 C 于点 A 、 B ,定点 M 的坐标为 ?1, ? ,试 求 ?MAB 面积的最大值,并求此时直线 AB 的斜率 k AB 。 解: (1)设 P ? x, y ? 为轨迹上的动点,由题意

? 1? ? 2?

y y 1 ? ? ? ? x2 ? 4 y 2 ? 4 x?2 x?2 4

x2 x2 2 ? y ? 1,? 点 P 的轨迹在椭圆 C : ? y 2 ? 1 上;------------4’ 即 4 4
(2)解法一: (Ⅰ)当直线 AB 垂直于 x 轴时, AB ? 2 ,此时 S?MAB ? 1 ----------6’ (Ⅱ)当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设该直线方程为 y ? kx ,代入椭圆中 得: A 、 B 两点的坐标为: ? ?

? ?

2 4k 2 ? 1

,?

? ?, 4k 2 ? 1 ? 2k

则 AB ? 4

1? k 2 1 ? 4k 2

---------------------------------------------------8’

k?
又点 M 到直线 AB 的距离 d ?

1 2

1? k 2

,------------------------9’

? S?MAB ?

2k ? 1 1 -----------------------------------10’ AB ? d ? 2 1 ? 4k 2 4k 2 ? 4k ? 1 4k ? 1? 2 2 4k ? 1 4k ? 1

? S?MAB ?


1 4k ? ?1 ,得 S?MAB ? 2 ,等号成立时 k ? ? 2 2 4k ? 1

综上, S ?MAB 的最大值是 2 ,此时 k AB ? ?

1 ----------------12’ 2

解法二:? S?MAB ? S?OMA ? S?OMB ,由椭圆的对称性可知 A 、 B 两点到直线 OM 的距离 相等,设距离为 d , 于是 S?OMA ? S?OMB ,即 S?MAB ? 2S?OMA ? OM ? d ?

5 ?d , 2

? 当 d 取道最大值时, S?MAB 最大,--------------------------------------------7’
设直线 OM : y ?

1 x ? x ? 2 y ? 0 ,椭圆上的点 A? x, y ? , 2

?d ?

x ? 2y 5

? d2 ?

x2 ? 4 xy ? 4 y 2 4 ? 4 xy 4 ? ? ?1 ? xy ? ----------9’ 5 5 5

?1 ?

x2 x2 ? y 2 ? xy ? xy ? 1,1 ? ? y 2 ? ? xy ? xy ? ?1 4 4

2 ??1 ? xy ? 1 ,当且仅当 xy ? ?1 时, d max ?

8 2 10 ? d max ? 5 5

?? S?MAB ? ? OM ? dmax ?
而 xy ? ?1 当且仅当

5 2 10 ? ? 2, 2 5

x 1 ? ? y 时取得,? 此时 k AB ? ? -----------------2 2
x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0) 的左右焦点 a2 b2

例 4、设 F1 , F2 分别是椭圆 C: (1)设椭圆 C 上的点 ( 3,

3 ) 到 F1 , F2 两点距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标 2 (2)设 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程 (3)设点 P 是椭圆 C 上的任意一点,过原点的直线 L 与椭圆相交于 M,N 两点,当直线 PM ,
PN 的斜率都存在,并记为 k PM , K PN 并证明你的结论。 试探究 k PM

? K PN 的值是否与点 P 及直线 L 有关,

3 ( )2 3 ( 3)2 ) 在椭圆上, 2 ? 22 ? 1 [解]: (1)由于点 ( 3, 2 a b 2 a =4, ------2 分
椭圆 C 的方程为

------1 分

x2 y 2 ? ?1 4 3

--------3 分

焦点坐标分别为(-1,0) , (1,0)-----------4 分 (2)设 KF1 的中点为 B(x, y)则点 K (2 x ? 1, 2 y ) --------6 分 把 K 的坐标代入椭圆

x2 y 2 ? ?1 4 3

中得

(2 x ? 1) 2 (2 y ) 2 ? ?1 4 3

-----8 分

1 y2 线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程为 ( x ? )2 ? ?1 3 2 4
设 M ( x0 , y0 ) N ( ? x0 , ? y0 ), p( x, y)

----------10 分

(3)过原点的直线 L 与椭圆相交的两点 M,N 关于坐标原点对称 ----11 分

M , N , P在椭圆上,应满足椭圆方程 ,得

x0 2 y0 2 x2 y 2 ? ? 1 , ? ? 1 ------12 分 a2 b2 a 2 b2

k PM ?

y ? y0 x ? x0

K PN ?

y ? y0 -------------------13 分 x ? x0

k PM

y ? y0 y ? y0 y 2 ? y0 2 b2 ? ? 2 ? K PN = 2 = ? 2 -----------15 分 x ? x0 x ? x0 x ? x0 a
故: k PM

? K PN 的值与点 P 的位置无关,同时与直线 L 无关,-----16 分

x2 y2 例 5、已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,短轴两个端点为 a b
A, B ,且四边形 F1 AF2 B 是边长为 2 的正方形。

(1)求椭圆方程; (2)若 C , D 分别是椭圆长轴的左右端点,动点 M 满足 MD ? CD ,连接 CM , 交椭圆于点 P 。证明: OM ? OP 为定值; (3)在(2)的条件下,试问 x 轴上是否存在异于点 C 的定点 Q ,使得以 MP 为 直径的圆恒过直线 DP, MQ 的交点,若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说 明理由。
2 2 2 2 解: (1) a ? 2, b ? c, a ? b ? c ,? b ? 2 ,? 椭圆方程为
? ?

x2 y2 ? ? 1。 4 2
?

??????????????????????4 分 (2) C (?2,0), D(2,0) ,设 M (2, y0 ), P( x1 , y1 ) ,则 OP ? ( x1 , y1 ), OM ? (2, y 0 ) 。 直线 CM :
?

y 1 x ? 2 y ? y0 ,即 y ? 0 x ? y 0 ,???????????6 分 ? 4 2 4 y0
2

代入椭圆 x ? 2 y ? 4 得
2

(1 ?

2 y0 1 2 1 2 ) x 2 ? y0 x ? y0 ? 4 ? 0 。?????????????????8 分 8 2 2

? x1 (?2) ?
?

2 2 8y 4( y0 ? 8) 2( y0 ? 8) ,? y1 ? 2 0 。 , ? x ? ? 1 2 2 y0 ? 8 y0 ? 8 y0 ? 8

2 2( y0 ? 8) 8 y0 ? OP ? (? 2 , 2 ) ,??????????????????10 分 y0 ? 8 y0 ?8 2 2 2 4( y0 ? 8) 8 y0 4 y0 ? 32 。 ? OP? OM ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 (定值) y0 ? 8 y0 ? 8 y0 ? 8 ? ?

(3)设存在 Q(m,0) 满足条件,则 MQ ? DP 。

MQ ? (m ? 2,? y0 ) , DP ? (?
? ?

?

?

2 4 y0 8y , 2 0 ) ,??????????14 分 2 y0 ? 8 y0 ? 8

则由 MQ? DP ? 0 得

2 2 4 y0 8 y0 ? 2 (m ? 2) ? 2 ? 0 ,从而得 m ? 0 。 y0 ? 8 y0 ? 8

? 存在 Q(0,0) 满足条件。??????????????????????16 分
例 6、设复数 ? ? x ? yi ( x , y ? R) 与复平面上点 P ( x, y) 对应. (1)若 ? 是关于 t 的一元二次方程 t ? 2t ? m ? 0 ( m ? R )的一个虚根,且 | ? |? 2 , 求实数 m 的值;
2

(2)设 复 数 ? 满 足 条 件 | ? ? 3 | ?(?1) n | ? ? 3 |? 3a ? (?1) n a( 其 中 n ? N 、常 数

?

3 y) 的轨迹为 C1 . 当 n 为偶数时,动点 P( x 、 y) 的轨 ,当 n 为奇数时,动点 P( x 、 a ? ( , 3) ) 2 迹为 C2 . 且两条曲线都经过点 D(2, 2) ,求轨迹 C1 与 C2 的方程;
2 3 ,求实数 x0 的取值范围. 3

(3)在(2)的条件下,轨迹 C2 上存在点 A ,使点 A 与点 B ? x0 ,0? ( x0 ? 0) 的最小距

离不小于

解 :( 1 ) ? 是 方 程 的 一 个 虚 根 , 则 根,????????????????????2 分 则

? 是 方 程 的 另 一 个 虚
, 所 以

? ? ? ? m ?| ? |2 ? 4

m ? 4 ???????????????????????????2 分

(2)方法 1:①当 n 为奇数时, ? ? 3 ? ? ? 3 ? 2a ,常数 a ? ( , 3) ) , 轨
2 2

3 2



C1







线











x y ? ? 1 ;???????????????????????2 分 2 a 9 ? a2
②当 n 为偶数时, ? ? 3 ? ? ? 3 ? 4a ,常数 a ? ( , 3) ) , 轨 迹

3 2

C2

















x2 y2 ? ? 1 ;???????????????????????2 分 4a 2 4a 2 ? 9

2 ? 4 ? 2 ?1 2 ? ?4a 4 ? 45a 2 ? 99 ? 0 ? 4a 4a ? 9 2 依题意得方程组 ? 解得 a ? 3 , ?? 4 2 ?a ? 15a ? 36 ? 0 ? 4 ? 2 ?1 2 2 ? a 9?a ? 3 因为 ? a ? 3 ,所以 a ? 3 , 2 x2 y 2 ? ?1 , 此 时 轨 迹 为 C1 与 C2 的 方 程 分 别 是 : 3 6 x2 y 2 ? ? 1 .???????????????2 分 12 3
方 法 2 : 依 题 意 ?| ? ? 3 | ? | ? ? 3 |? 4a ?| ? ? 3 |? 3a ????????????????????2 分 ?? ? ?| ? ? 3 | ? | ? ? 3 |? 2a ? | ? ? 3 |? a 轨迹为 C1 与 C2 都经过点 D(2, 2) ,且点 D(2, 2) 对应的复数 ? ? 2 ? 2i , 代 入 上 式 得



a ? 3 ,??????????????????????????????????????2 分
即 | ? ? 3 | ? | ? ? 3 |? 2 3 对应的轨迹 C1 是双曲线,方程为

x2 y 2 ? ?1; 3 6
椭 圆 , 方 程 为

| ? ? 3 | ? | ? ? 3 |? 4 3
2 2











C2



x y ? ? 1 .???????????????2 分 12 3 x2 y 2 ? ? 1 ,设点 A 的坐标为 ? x, y ? , (3)由(2)知,轨迹 C2 : 12 3
1 2 x 4 3 3 4 1 2 2 ? x2 ? 2x0 x ? x0 ? 3 ? ( x ? x0 )2 ? 3 ? x0 4 4 3 3 x ?[?2 3,2 3] ???????????????2 分
则 | AB |2 ? ( x ? x0 )2 ? y 2 ? ( x ? x0 )2 ? 3 ?



3 3 4 1 2 4 时, | AB |2 min ? 3 ? x0 x0 ? 2 3 即 0 ? x0 ? ? ? 0 ? x0 ? 5 2 3 3 3 3 3 4 x0 ? 当 即 时 x0 ? 2 3 2 3 2 3 8 3 | AB |m ?| x0 ? 2 i3 |? ?n x0 ? ,????????????2 分 3 3 综 上 0 ? x0 ? 5
当0?





x0 ?

8 3 .????????????????????????????????2 分 3

【课后练习】 1.若点 O 和点 F (?2,0) 分别是双曲线

x2 ? y 2 ? 1(a>0) 的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支 a2

上的任意一点,则 OP ? FP 的取值范围为__________________。 [3 ? 2 3, ??) 2.若直线 y=x+b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 2 有公共点,则 b 的取值范围是________________。

??? ? ??? ?

?1 ? 2 2,3? ? ?
3.设椭圆方程为

? x2 y2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? ,且 a ? 2b .过椭圆的左焦点 F 且倾斜角为 2 3 a b
12 ,求椭圆的方 7

的 直 线 与 椭 圆 交 于 两 点 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? , 且 x1 ? x 2 ? ? 程.

x2 ? y2 ? 1 2 x2 y 2 ? ? 1 , ? a ? b ? 0? 的左右焦点, O 是坐标原点,过 F2 作垂 a 2 b2

4.已知 F1 , F2 为椭圆 C :

直于 x 轴的直线 MF2 交椭圆于 M ,设 MF2 ? d . (1)证明: d , b, a 成等比数列; (2)若 M 的坐标为

?

2,1 ,求椭圆 C 的方程;

?

(3)[文科] 在(2)的椭圆中,过 F1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点,若 OA ? OB ? 0 , 求直线 l 的方程. [理科] 在(2)的椭圆中,过 F1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点,若椭圆 C 上存在 点 P ,使得 OP ? OA ? OB ,求直线 l 的方程. (1)证明:由条件知 M 点的坐标为 ? c, y0 ? ,其中 y0 ? d ,

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

?
?

c2 d 2 c 2 b2 ? ? 1, d ? b ? 1 ? ? , a 2 b2 a2 a
d b ? ,即 d , b, a 成等比数列. b a

?? 3 分 ?? 4 分

(2)由条件知 c ? 2, d ? 1 ,? ?

? b 2 ? a ?1
2 2 ?a ? b ? 2

?? 6 分

? x2 y 2 ? a?2 ?1 ?? ? 椭圆方程为 ? 4 2 ? ?b ? 2
(3)[文科]设点 A ( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y 2 ) ,

?? 8 分

当 l ? x 轴时,A (? 2 ,?1) 、B (? 2 ,1) ,所以 OA ? OB ? 0 . 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2 ) ,

??? ? ??? ?

?? 9 分

代入椭圆方程得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4 2k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 .????? 11 分

? 4 2k 2 x1 ? x 2 ? ? , ? ? 1 ? 2k 2 ????????????????? 13 分 所以 ? 2 ? x ? x ? 4k ? 4 1 2 ? ? 1 ? 2k 2 ??? ? ??? ? 由 OA ? OB ? 0 得 x1 ? x 2 ? y1 ? y2 ? 0

x1 ? x2 ? k2 (x1 ? 2)(x2 ? 2) ? (1? k2 )x1 ? x 2 ? 2k 2 (x1 ? x 2 ) ? 2k 2 ? 0
代入得

(1 ? k 2 )(4k 2 ? 4) 4 2k 2 ? 2k 2 ? ? 2k 2 ? 0 ,解得 k ? ? 2 . 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
?? 16 分

所以直线 l 的方程为 y ? ? 2( x ? 2) .

[理科]设点 P(x,y) ,A ( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y 2 ) ,由 OP ? OA ? OB ,得 ? 当 l ? x 轴时,A (? 2 ,?1) 、B (? 2 ,1) , 此时 P (?2 2 ,0) 不在椭圆上. 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2 ) ,代入椭圆方程得

??? ?

??? ? ??? ?

? x ? x1 ? x 2 ? y ? y1 ? y 2

?? 9 分

(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4 2k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 .

?? 11 分

? 4 2k 2 x ? x ? x ? ? , ? 1 2 1 ? 2k 2 所以 ? ? 13 分 ? 2 ? y ? y ? y ? k ( x ? x ? 2 2 ) ? k ( ? 4 2k ? 2 2 ) ? 2 2k 1 2 1 2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ?

1 32k 4 8k 2 把点 P(x,y)代入椭圆方程得 ? ? 1 ,解得 k 2 ? , 2 2 2 2 2 4(1 ? 2k ) 2(1 ? 2k )
所以直线 l 的方程为 y ? ?

2 ( x ? 2) . 2
2

?? 16 分

5.设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 两点在抛物线 y ? 2 x 上, l 是 AB 的垂直平分线,

(1)当且仅当 x1 ? x2 取何值时,直线 l 经过抛物线的焦点 F?证明你的结论; (2)当直线 l 的斜率为 2 时,求 l 在 y 轴上截距的取值范围。 解: (Ⅰ) F ? l ?| FA |?| FB |? A, B 两点到抛物线的准线的距离相等. ∵抛物线的准线是 x 轴的平行线, y1 ? 0, y2 ? 0, 依题意y1 , y2 不同时为 0,
2 ∴上述条件等价于 y1 ? y2 ? x12 ? x2 【 ? ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 0; ‘

∵ x1 ? x 2 ,

∴上述条件等价于

x1 ? x2 ? 0.

即当且仅当 x1 ? x2 ? 0 时,l 经过抛物线的焦点 F. (II)设 l 在 y 轴上的截距为 b,依题意得 l 的方程为 y ? 2 x ? b ;过点 A、B 的直线方程可 写为 y ? ?

1 1 1 x ? m ,所以 x1 , x 2 满足方程 2 x 2 ? x ? m ? 0, 得 x1 ? x 2 ? ? ; 2 2 4 1 A,B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式 ? ? ? 8m ? 0, 4 1 . 即m ? ? 32
设 AB 的中点 N 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则
x0 ? 1 1 1 1 ( x1 ? x 2 ? ? , y 0 ? ? x0 ? m ? ? m. 2 8 2 16

由 N ? l, 得

1 1 5 5 1 9 ? m ? ? ? b, 于是 b ? ?m? ? ? . 16 4 16 16 32 32
32

即得 l 在 y 轴上截距的取值范围为( 9 ,?? ). 6.已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在 y 轴上,抛物线上一点 M (a, ?4)(a ? 0) 到焦点 F 的距离为 5 。 (1)求抛物线的方程与实数 a 的值; (2)直线 l 过焦点 F,且点 M 到直线 l 的距离为 4 ,求直线 l 的方程; (3)O 是抛物线的顶点,在抛物线弧 OM 上求一点 P,使△FPM 的面积最大。 解: (1)由抛物线的性质知,M 到抛物线准线的距离为 5 ,抛物线开口向下,所以其准线方 程为 y ? 1 所求抛物线方程为 x ? ?4 y
2

a2 ? 16 ,又 a ? 0 ,所以 a ? 4
(2) F (0, ?1), M (4, ?4) ,若直线 l 斜率存在,设 l : y ? kx ? 1 点 M (4, ?4) 到直线 l 距离为 4,所以

4分 5分

| 4k ? 3 | k 2 ?1

?4

7分

解得

k?

7 7 x ?1 ,则 l : y ? 24 24

8分 9分 10 分

当直线 l 斜率不存在时, x ? 0 也满足题意 所以所求直线 l 方程为: y ?

7 x ?1或 x ? 0 。 24

(3)设 P( x, y)(0 ? x ? 4) ,由 F (0, ?1), M (4, ?4) ,则

S ?FPM

x y 1 1 ? 0 ?1 1 2 4 ?4 1


12 分

1 1 | 3x ? 4 y ? 4 |? | ? x 2 ? 3x ? 4 | 2 2 1 3 2 25 | = | ?( x ? ) ? 14 分 2 2 4 3 25 3 9 因为 0 ? x ? 4 ,所以当 x ? 时,△ FPM 面积最大值为 。此时 P( , ? ) 。16 分 2 2 16 8
7.已知椭圆 E 的中心在原点,实轴长为 6,一个焦点坐标为 0, 2 2 . (I).求椭圆 E 的标准方程 (II)一条直线 l 与椭圆 E 交于两个不同的点 M,N,如果线段 MN 恰好被直线 x= — 直线 l 的倾斜角α 的取值范围。 1 平分,求 2

?

?

x2 y 2 解 (1) 根据题意可设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , c 为半焦距, c ? a2 ? b2 a b

?e ?

y2 c 2 2 a2 9 2 2 ?1 ? , ? ,?a ? 3, c ? 2 2, b ? 1 ? x ? 9 a 3 c 4

(2)由题意知,直线的倾斜角不可能为 0 和

? ,? 设直线方程为 y ? kx ? m(k ? 0) 2

? y ? kx ? m ? (k 2 ? 9) x2 ? 2kmx ? m2 ? 9 ? 0 , ? ? 4k 2m2 ? 4(k 2 ? m)(m2 ? 9) ? 0 ? 2 y2 ?1 ?x ? 9 ?
即 k ? m ? 9 ? 0 (1) ,
2 2

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , x1 ? x2 ?

?2km 1 ,? 线段 MN 被直线 x ? ? 平分 2 k ?9 2

1 ?2km 1 k2 ? 9 ? ? 2 ? ? ,即 m ? (2) 2 k ?9 2 2k
(2)代入(1)解得 k ? 3 ,即 k ? 3 或 k ? ? 3 ,
2

? 倾斜角的取值范围是 {? |

?
3

?? ?

?
2



?
2

?? ?

2? } 3

8 .在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 C ( p,0) 作直线与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 相交于

A, B 两点,设动点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 。
(1)求证: y1 y 2 为定值; (2)若点 D 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求 ?ADB 面积的最小值; (3)是否存在平行于 y 轴的定直线 l ,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存 在,求出 l 的方程;若不存在,请说明理由。 解: (1)当直线 AB 垂直于 x 轴时, y1 ?

2 p, y2 ? ? 2 p ,因此 y1 y2 ? ?2 p 2 (定

值) ;…………………………………………………………………………………….2 分 当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设直线 AB 的方程为: y ? k ( x ? p) , 由?

? y ? k ( x ? p) 2 2 2 得 ky ? 2 py ? 2 p k ? 0,? y1 y2 ? ?2 p . 2 ? y ? 2 px
2

因此有 y1 y2 ? ?2 p 为定值。…………………………………………………….5 分 (2) D(? p,0),? DC ? 2 p. S ?ADB ? 当直线 AB 垂直于 x 轴时, S ?ADB ?

1 DC ? | y1 ? y 2 | 。…………………….6 分 2

1 ? 2 p ? 2 2 p ? 2 2 p 2 ;……………….7 分 2 2p , 因此 当直线 AB 不垂直于 x 轴时,由(1)知 y1 ? y 2 ? k

| y1 ? y 2 |? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ?

4 p2 ? 8p2 ? 2 2 p , k2

? S ?ADB ? 2 2 p 2 。……………………………………………………………10 分
综上, ?ADB 面积的最小值为 2 2 p 2 。………………………………………11 分

(3)设存在直线 l : x ? a 满足条件。 AC 中点 E (
2

x1 ? p y1 , ) ,……………12 分 2 2

AC ? ( x1 ? p) 2 ? y1 ,因此以 AC 为直径的圆的半径

r?

1 1 1 2 2 AC ? ( x1 ? p) 2 ? y1 ? x1 ? p 2 ,………………………………….13 分 2 2 2
AC 中点 E 到直线 x ? a 的距离 d ?|

x1 ? p ? a | ,…………………………...14 分 2

? 所截弦长为:
2 r2 ? d 2 ? 2 x ?p 1 2 2 ( x1 ? p 2 ) ? ( 1 ? a) 2 ? x1 ? p 2 ? ( x1 ? p ? 2a) 2 4 2

? ? 2 x1 ( p ? 2a ) ? 4 pa ? 4a 2 ,…………………………………………..…16 分

x?

p 。…………………………………………………………………………….….18 分 2

9.圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴,我们将 该弦称之为曲线的垂轴弦。 已知椭圆 C:

x2 ? y 2 ? 1。 4
M P O N F E x

(1)过椭圆 C 的右焦点作一条垂直于 x 轴的垂轴弦 MN ,求 MN 的长度; (2)若点 P 是椭圆 C 上不与顶点重合的任意一点, MN 是椭圆 C 的短轴,直线 MP、NP 分别交 x 轴于 点 E ( xE ,0) 和点 F ( xF ,0) (如右图) ,求 xE ? xF 的值; ( 3 )在( 2 )的基础上,把上述椭圆 C 一般化为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , MN 是任意一条垂直于 a 2 b2

x 轴的垂轴弦,其它条件不变,试探究
x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 中相类似 a 2 b2

;请你给出双曲线 xE ? xF 是否为定值?(不需要证明) 的结论,并证明你的结论。 (1)由条件可知右焦点的坐标为 ( 3,0)

……………. 1 分

x ? 3 代入椭圆 C 的方程
所以 MN ? 1

1 x2 ? y 2 ? 1 ,得 y ? ? 2 4
……………. 4 分

……. 3 分

(2)设 P( x0 , y0 ), M (0,1), N (0, ?1), 则 lMP : y ? 1 ?

y0 ? 1 ? x ……………. 6 分 x0 ? x0 ……………. 7 分 y0 ? 1 x0 ?x 2 ,? xE ? xF ? 2 0 …………….8 分 y0 ? 1 y0 ? 1
x2 x2 ? y 2 ? 1上,? y0 2 ? 1 ? 0 , 4 4

令 y ? 0, 则 xE ?

同理可得: xF ?

? M , P 在椭圆 C:

则 xE ? xF ?

? x0 2 ? x0 2 ? ? 4 ……………. 10 分 1 x0 2 2 (? x0 ) (1 ? ) ?1 4 4

x2 y 2 (3)点 P 是椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上不与顶点重合的任意一点,MN 是垂直于 a b
、 NP 分 别 交 x 轴 于 点 E ( xE , 0 ) 和 点 F ( xF , 0 ) ,则 x 轴的垂轴弦,直线 MP

xE ? xF ? a2 。……… 12 分
点 P 是双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上不与顶点重合的任意一点,MN 是垂直于 a 2 b2

、 NP 分 别 交 x 轴 于 点 E ( xE , 0 ) 和 点 F ( xF , 0 ) ,则 x 轴的垂轴弦,直线 MP

xE ? xF ? a2 。……………. 14 分
证明如下:设 M (m, n), N (m, ?n), P( x0 , y0 ) 则 lMP : y ? n ?

y0 ? n ( x ? m) x0 ? m my0 ? nx0 y0 ? n my0 ? nx0 m2 y0 2 ? n2 x0 2 ,? xE ? xF ? y0 ? n y0 2 ? n2

令 y ? 0, 则 xE ?

同理可得: xF ?

? M , P 在双曲线 C:

2 2 x2 y 2 2 2 m 2 2 x0 ? n ? b ( ? 1), y ? b ( ? 1) , ? ? 1 上, 0 a2 a2 a 2 b2

则 xE ? xF ?

m 2b 2 (

2 x0 2 2 m ? 1) ? b ( ? 1) x0 2 b 2 ( x0 2 ? m 2 ) a2 a2 ? 2 ? a 2 …. 18 分 2 2 x b m ( x0 2 ? m 2 ) b 2 ( 02 ? 1) ? b 2 ( 2 ? 1) 2 a a a


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