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2.3.4 平面与平面垂直的性质(课时测试)-2016-2017学年高二数学上册(必修2)(解析版)

必修二第二章 时间:30 分钟,总分:70 分 2.3.4 平面与平面垂直的性质 姓名: 班级: 一、选择题(共 6 小题,每题 5 分,共 30 分) 1. 在空间中,下列命题正确的是( ) A.若三条直线两两相交,则这三条直线确定一个平面 B.若直线 m 与平面 α 内的一条直线平行,则 m∥α C.若平面 α⊥β,且 α∩β=l,则过 α 内一点 P 与 l 垂直的直线垂直于平面 β D.若直线 a∥b,且直线 l⊥a,则 l⊥b 【答案】D 【解析】选项 A 中,若有 3 个交点,则确定一个平面,若三条直线交于一点,则不一定能确定一个平面, 如正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1,AB,AD 两两相交,但由 AA1,AB,AD 不能确定一个平面,所以 A 不正确;选项 B 中,缺少条件 m 是平面 α 外的一条直线,所以 B 不正确;选项 C 中,不满足面面垂直的性 质定理的条件,必须是 α 内垂直于 l 的直线,所以 C 不正确;由于两条平行直线中的一条与第三条直线垂 直,那么另一条也与第三条直线垂直,所以 D 正确. 2. 如图所示,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90° ,BC1⊥AC,则 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必 在( ) A.直线 AB 上 【答案】A B.直线 BC 上 C.直线 AC 上 D.△ABC 内部 【解析】∵AC⊥AB,AC⊥BC1,∴AC⊥平面 ABC1, 又∵AC?平面 ABC,∴平面 ABC1⊥平面 ABC, ∴C1 在平面 ABC 上的射影 H 必在平面 ABC1 与平面 ABC 的交线 AB 上,故选 A. 3.设 a,b 是两条直线,α,β 是两个平面,则能够得出 a⊥b 的是( A.a⊥α,b∥β,α⊥β C.a?α,b⊥β,α∥β 【答案】C 【解析】b⊥β,α∥β,∴b⊥α,又 a?α,∴b⊥a. 4. 在正四面体 P-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的中点,则下面四个结论中不成立的是( A.BC∥平面 PDF 【答案】C B.DF⊥平面 PAE C.平面 PDF⊥平面 ABC ) B.a⊥α,b⊥β,α∥β D.a?α,b∥β,α⊥β ) D.平面 PAE⊥平面 ABC 【解析】可画出对应图形,如图所示, 则 BC∥DF,又 DF?平面 PDF,BC?平面 PDF,∴BC∥平面 PDF,故 A 成立; 由 AE⊥BC,PE⊥BC,BC∥DF,知 DF⊥AE,DF⊥PE,∴DF⊥平面 PAE,故 B 成立; 又 DF?平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 PAE,故 D 成立. 5.已知 α,β 是平面,m、n 是直线,给出下列表述: ①若 m⊥α,m?β,则 α⊥β; ②若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β; ③如果 m?α,n?α,m,n 是异面直线,那么 n 与 α 相交; ④若 α∩β=m,n∥m,且 n?α,n?β,则 n∥α 且 n∥β. 其中表述正确的个数是( A.1 【答案】B 【解析】①是平面与平面垂直的判定定理,所以①正确;②中,m,n 不一定是相交直线,不符合两个平面 平行的判定定理,所以②不正确;③中,还可能 n∥α,所以③不正确;④中,由于 n∥m,n?α,m?α,则 n∥α,同理 n∥β,所以④正确. 6. 如图,边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于点 G,已知△A′DE 是△ADE 绕 DE 旋 转过程中的一个图形(A′不与 A,F 重合),则下列命题中正确的是( ) ) B.2 C.3 D .4 ①动点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上;②BC∥平面 A′DE; ③三棱锥 A′-FED 的体积有最大值. A.① 【答案】C 【解析】注意折叠前 DE⊥AF,折叠后其位置关系没有改变. ①中由已知可得平面 A′FG⊥平面 ABC,∴点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上. ②BC∥DE,BC?平面 A′DE,DE?平面 A′DE,∴BC∥平面 A′DE. B.①② C.①②③ D.②③ ③当平面 A′DE⊥平面 ABC 时,三棱锥 A′-FED 的体积达到最大. 二、填空题(共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 7. 平面 α⊥平面 β,直线 l?α,直线 m?β,则直线 l,m 的位置关系是________. 【答案】相交、平行、异面 【解析】由面面垂直知,相交、平行、异面都有可能. 8. 三棱锥 P-ABC 的高为 PH,若三个侧面两两垂直,则 H 为△ABC 的________心. 【答案】垂 【解析】由三个侧面两两垂直知三条侧棱两两垂直,则有 BC⊥PA,AB⊥PC,CA⊥PB, 又由 BC⊥PA,PH⊥BC,得 BC⊥平面 PAH,则 BC⊥AH,同理有 AB⊥CH,CA⊥BH, 所以 H 为△ABC 高线的交点,即垂心. 9.在二面角 α-l-β 中,A∈α,AB⊥平面 β 于 B,BC⊥平面 α 于 C,若 AB=6,BC=3,则二面角 α-l- β 的平面角的大小为________. 【答案】60° 或 120° 【解析】如图,∵AB⊥β,∴AB⊥l,∵BC⊥α,∴BC⊥l,∴l⊥平面 ABC, 设平面 ABC∩l=D,则∠ADB 为二面角 α-l-β 的平面角或补角, ∵AB=6,BC=3,∴∠BAC=30° ,∴∠ADB=60° ,∴二面角大小为 60° 或 120° . 10. 如图,在长方形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为 DC 的中点,F 为线段 EC(端点除外)上一动点.现将 △AFD 沿 AF 折起,使平面 ABD⊥平面 ABC.在平面 ABD 内过点 D 作 DK⊥AB,K 为垂足.设 AK=t,则 t 的取值范围是________. 1 【答案】( ,1) 2 【解析】如图,过 D 作 DG⊥AF,垂足为 G,连接 GK,

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