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高二数学直线和圆的方程单元测试


高二数学直线和圆的方程单元测试( 高二数学直线和圆的方程单元测试(直线和圆的方程⑴) 数学直线和圆的方程单元测试
班级 学号 姓名 一.选择题(3 × 12). 1.下列命题正确的是( ) A.若直线的斜率存在,则必有倾斜角 α 与它对应 ;B.若直线的倾斜角存在,则必有斜率与它对应; C.直线的斜率为 k,则这条直线的倾斜角为 arctank; D.直线的倾斜角为 α,则这条直线的斜率为 tanα . 2.过点 P ( 2,3) 与 Q (1,5 ) 的直线 PQ 的倾斜角为( A. arctan 2 B. arctan ( ?2 ) C. )

3.过点 A ( ?2, m ) , B ( m, 4 ) 的直线的倾斜角为 A.2 B.10

π + arctan 2 ,则实数 m 的值为( 2
C.-8 ) D.0

π ? arctan 2 2

D. π ? arctan 2 )

4.直线 x cos α + 3 y + 2 = 0 的倾斜角的范围是(

π π π 5 π 5 A. [ , ) U ( , π ] B. [0, ] U [ π , π ) 6 2 2 6 6 6 5.下列说法中不正确的是( )

5 C. [0, π ] 6

π 5 D. [ , π ] 6 6

A.点斜式 y ? y1 = k ( x ? x1 ) 适用于不垂直于 x 轴的任何直线 B.斜截式 y = kx + b 适用于不垂直于 x 轴的任何直线 C.两点式 y ? y1 = x ? x1 适用于不垂直于 x 轴和 y 轴的任何直线 y2 ? y1 x2 ? x1 D.截距式

x y + = 1 适用于不过原点的任何直线 a b

6.过点 M ( 2,1) 的直线与 x、y 轴分别交于 P、Q,若 M 为线段 PQ 的中点,则这条直线的方程为 A. 2 x ? y ? 3 = 0 B. 2 x + y ? 5 = 0 C. x + 2 y ? 4 = 0 D. x ? 2 y + 3 = 0

7.直线 x + y ? 1 = 0 到直线 x ? sin α + y ? cos α ? 1 = 0(

) 的角为 ( ) 4 2 π π 3π 5π A. α ? B. ? α C. α ? D. ?α 4 4 4 4 8.直线 x + a 2 y + 1 = 0 与直线 (a 2 + 1) x ? by + 3 = 0 互相垂直, a, b ∈ R,则 | ab | 的最小值为

π

<α <

π





A.1 B.2 C.3 D.4 9.已知点(2,-1)和(-3,2)在直线 x ? 2 y + a = 0 的异侧,则 a 的取值范围是( ) A. (4,7) B. (-4,7) C. (-7,4) D. (-4,4) 10.若点 A(4,a)到直线 4x-3y-1=0 的距离不大于 3,则 ( ) A.-1<a<9 B.0≤a≤10 C.5<a<8 D.-2≤a≤6 11. 已知点 P (-1, 、 (2, , 1) Q 2) 若直线 L:x + my + m = 0 与线段 PQ 的延长线相交, m 的取值范围为( 则 A. (?3,? )

)

2 1 3 2 B. ( , ) C. ( ,3) D.以上都不对 3 3 2 3 12.若动点 A( x1 , y1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) 分别在直线 l1 : x + y ? 7 = 0和l 2 : x + y ? 5 = 0 上移动,则线段 AB 的中点 M
到原点的距离的最小值为( A. 2 3 ) C. 3 2 D. 4 2 B. 3 3

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案 二.填空题:(3 × 5) 13.过点 A(4,1)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程是 14. 一条直线过点 P ( ?5, 4 ) ,且与两坐标轴围成的三角形的面积为 5 的直线的方程为

15.已知实数 x 、 y 满足 ? 16.不等式组 ?

? y ≤ 1, ? 则 x + 2 y 的最大值是 ? y ≥ x ?1 , ?

? x? y+2≤0 所表示的平面区域的面积是 _____________; x≥0 ? ?3x + y ? 6 ≤ 0 ?

17.已知两直线 l1 : y = x , l2 : ax ? y = 0 ,当这两条直线的夹角在区间 ? 0, 是 三.解答题: .

? π ? ? 内变化时, a 的取值范围 ? 12 ?

18.(9 分) 直线 l : y = 2 x ? 4 与 x 轴的交点为 M ,把直线 l 绕点 M 逆时针方向旋转 45 ,求得到的直线方程。
0

19.(10 分)已知 ABC 的顶点 A(3,-1),过点 B 的内角平分线的方程是 x ? 4 y + 10 = 0 ,过点 C 的中线方程为

6 x + 10 y ? 59 = 0 .求直线 BC 的方程.

20. (10 分) 已知等腰直角三角形的斜边所在直线方程是: 3 x ? y + 2 = 0 ,直角顶点 C (

14 2 , ),求两条直角 5 5

边所在的直线方程和此三角形面积.

21. (10 分) 营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供 0.075 kg 的碳水化合物,0.06 kg 的蛋白质,0.06kg 的 脂肪.1 kg 食物 A 含有 0.105kg 碳水化合物,0.07kg 蛋白质, 0.14 kg 脂肪,花费 28 元;而 1 kg 食物 B 含有 0.105 kg 碳 水化合物,0.14 kg 蛋白质, 0.07kg 脂肪,花费 21 元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同 时食用食物 A 和食物 B 各多少千克?

22. (10 分)已知过点 A (1,1) ,且斜率为 ?m ( m > 0 ) 的直线 l 与 x 轴、 y 轴分别交于 P, Q 两点,过 P, Q 作直线 ;求四边形 PQSR 面积的最小值和此时直线 l 的方程。 l ' : 2 x + y = 0 的垂线,垂直分别为 R, S (如图)

附加题:(20 分)已知函数 f ( x ) = x 2 + 1 ,函数 y = g ( x ) 的图象与 y = f ( x ) 的图象关于点(1,2)对称. ① 求 1 y = g ( x ) 的解析式;② 解关于 x 的不等式: g ( x ) ≥ ? f ( x) . | x ?1|

答案 一.ADBBD CDBBB AC
14: x + 5 y + 20 = 0或2 x + 5 y ? 10 = 0 8 15: 4 17: ( 二.13:x ? y = 3 或 x ? 4 y = 0

3 ,1) U (1, 3) 3

16.解:由 ? 三.解答题:

1 ? x? y+2=0 得交点 A (1,3) ,从而所表示的平面区域的面积是 S = ? ( 6 ? 2) ?1 = 2 2 ?3x + y ? 6 = 0

18. 解:易求得点 M 的坐标为(2,0)。设 l 的斜率为 k,倾斜角为α,则 tanα=k=2 由题知旋转后的直线的倾 斜 角 为 α +45° , 斜 率为 tan( α+45 ° ) ∴tan(α +45 ° )=k′ = y-0=-3(x-2) 即为 3x+y-6=0

1 + tan α 1+ 2 = =-3 ∴ 所求 直 线 的 方 程为 1 ? tan α ? 1 1 ? 2

m + 3 n ?1 , ) 在过 C 的中线上, 2 2 ? 4n+ m+3 n ?1 6 + 10 × = 59 ,由 ? m ?m +310 =0 n ?1 得 m = 10, n = 5 ,则 B(10,5).又Q k AB = ,过点 B 的角平分线的 ∴ 6× 2 2 7 ? 6× 2 +10× 2 =59 k ?k 1 2 2 k ? k AB 斜率 k = ,Q = BC ,∴ k BC = ? ,∴BC 的方程为 y ? 5 = ? ( x ? 10) ,即 2 x + 9 y ? 65 = 0 4 1 + kk AB 1 + k BC k 9 9 k ?3 20. 解:∵直线 AB 方程为 3x-y+2=0 ∴KAB=3 设与直线 AB 成 45°角的直线斜率为 k,则| |= tg45° = 1 1 + 3k 1 解之得:k= 或 k=-2 故两直角边所在直线方程为:x-2y-2=0 和 2x+y-6=0 由于点 C 到 AB 的距离 2 14 2 | 3? ? + 2 | 1 5 5 = 10 d= 而|AB|=2d=2 10 ∴所求三角形面积为 S= | AB | 2 = 10 4 1 + 32
19.解:设 B(m,n),由过 B 的平分线方程得 m ? 4n + 10 = 0 ,又Q AB 中点 (

?0.105 x + 0.105 y ≥ 0.075 ?0.07 x + 0.14 y ≥ 0.06, ? ? 21.解:设每天食用 x kg 食物 A,y kg 食物 B,总成本为 z,那么 ?0.14 x + 0.07 y ≥ 0.06, ① : ? x ≥ 0, ? ? y ≥ 0; ?

?7 x + 7 y ≥ 5, ?7 x + 14 y ≥ 6, ? ? 目标函数为 z=28x+21y.二元一次不等式组①等价于 ?14 x + 7 y ≥ 6,② ?x ≥ 0 ? ? y ≥ 0. ?
作出二元一次不等式组②所表示的平面区域,如下图阴影部分即可行域. 如图所示,当直线 z=28x+21y 经过可行域上的点 M 时,截距最小,即 z 最小. 解方程组 ?

?7 x + 7 y = 5, 1 4 ,得 M 的坐标为 x = , y = . 所以 z min=28x+21y=16. 7 7 ?14 x + 7 y = 6

由此可知,每天食用食物 A 约 0.143 kg,食物 B 约 0.571 kg,既能够满足日常饮食要求,又使花费最低,最低成本为 16 元.? 即 22. 1: A (1,1) 及直线 l 的斜率为 ?m ( m > 0 ) , ∴直线 l 为:y ? 1 = ?m ( x ? 1) , mx + y ? 1 ? m = 0 解 ∵ ∴ P ? 1 + m , 0 ? , Q ( 0,1 + m ) ? ?
? m ?

又∵ l : 2 x + y = 0
'

1+ m 1+ m 1+ m ∵ PR = m = 2 + 2m , QS = = 5 5m 5 5m

1+ m ?2 (1 + m ) ? 2 (1 + m ) + 1+ m m ∵直线 PR : y = 1 ? x ? 1 + m ? ,即 x ? 2 y ? m = 0 ∴h = = ? ? m 2? m ? 5 5

1+ m

∴ S = 1 ? 2 + 2m + 1 + m ? ? m ? 2?
? 5m
2

1+ m

+ 2 (1 + m ) 5

5m ?

=

? ?1 + m 1 ? 2 (1 + m ) ? + (1 + m ) ? ? ? + 2 (1 + m ) ? ? 10 ? m ? ? ? m

=

1 m + 2 m + 1 m + 5m + 2 1 ? 1 2 ? ? ? ? ? = ? ? 2 + + m ? ? ? 5 + + 2m ? 10 m m 10 ? m m ? ? ?
2



? ? ? 1 1 ? 1 2 18 ?? 2 + 2 ?m ???5 + 2 ? 2m ? = ? 4 ? 9 = ? ? ? ? 10 m m 10 ? 5 ? ? ?

? 1 ? m =m (当且仅当 ? 2 ,即 m = 1 时取“ = ”) ? ? = 2m ?m ? m>0 ? ?

故:

(S

PQSR min

)

=

18 ,此时直线 l 的方程为: y ?1 = ? x ?1 , ( ) 5

x+ y?2=0

解 2:可设直线 l 的方程为:

x y + = 1( a > 0, b > 0 ) ,则 P ( a , 0 ) , Q ( 0, b ) a b
2a 5 2b + a = b 2a , b QS = = 5 5 5

∴直线 l 为: y ? 1 = ?m ( x ? 1) ,即 mx + y ? 1 ? m = 0 于是 PR =

5 1 ? 2a b ? 2b + a 1 1 1 2 ∴S = ? + = ( 2a + b )( 2b + a ) = ( 2a 2 + 5ab + 2b 2 ) = 2 ( a + b ) + ab ?? 2? 5 10 10 10 5? 5

1 又∵直线 PQ : y = ( x ? a ) ,即 x ? 2 y ? a = 0 2

∴h =

?2b ? a 5

=

(

)

∵直线 l 过点 A (1,1)



1 1 + = 1 ∴ ab = a + b ≥ 2 ab , ab ≥ 2 , ab ≥ 4 a b

? a=b (当且仅当 ? 1 1 ,即 a = b = 2 时取“ = ”) ? + =1 ?a b ?

∴ S min =

x y 1 1 18 2 2 ( ab ) + ab = ( 2 × 42 + 4 ) = ,此时直线 l 的方程为: + = 1 ,即 x + y ? 2 = 0 2 2 10 10 5 附加题:解:①设 ( x , y )为y = g ( x ) 图象上的点,它关于(1,2)的对称点为 ( x 0 , y 0 )
?x = 2 ? x 则 ? 0 ,∵ ( x 0 , y 0 ) 在 y = f ( x ) 上 ∴ ? y0 = 4 ? y

2 y 0 = x 0 + 1 ,即有 4 ? y = ( 2 ? x ) 2 + 1

(

)

g( x ) = ? x 2 + 4 x ? 1
? x2 + 4x ? 1 + x2 + 1 ≥ 1 ∴ | x ?1|
4x ≥ 1 ,即 4 x | x ? 1 |≥ 1 | x ? 1|

② 由已知有

? 4 x ( x ? 1) ≥ 1 ∴ ? 或 ?x ? 1 > 0
不等式解集为 { x | x ≥

? 4 x ( x ? 1) ≤ ?1 ∴ ?x ? 1 < 0 ?

? 1+ 2 1? 2 ?x ≥ 或x ≤ ? 2 2 ?x > 1 ?



1 ? ?x = ? 2 ?x < 1 ?



1+ 2 1 或x = } 2 2


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