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指数对数与幂函数(思维导图)

指数函数 解析式

对数函数

定义域

1、底数对图像的影响

1、底数对图像的影响

图像

2、平移变换对图像的影响

2、平移变换对图像的影响 1、先观察底数 a 与 1 大小,不确定时要分类讨论 2、复合函数类型的单调性 3、会利用单调性解对数不等式 1、底数相同,指数不同 2、底数不同,指数相同 3、底数指数都不同

单调性

1、先观察底数 a 与 1 大小,不确定时要分类讨论 2、复合函数类型的单调性 3、会利用单调性解指数不等式

比较大小 1、底数相同,指数不同
2、底数不同,指数相同 3、底数指数都不同

过定点 值域

(六)指数函数 1.幂的有关概念 正整数指数幂: a ?? a? ? a? ? a ? an ; ? ?
n

零指数幂: a 0 ? 1( 负整数指数幂: a ? p = 正分数指数幂: a n ? ( a ? 0, m、n ? N ?且n ? 1 ); 负分数指数幂: a
? m n m

) ; ( a ? 0, p ? N ? );

?

( a ? 0, m、n ? N ?且n ? 1 ); 0 的正分数指数幂等于 ,0 的负分数指数幂

2.幂的运算法则( a ? 0, b ? 0, r、s ? Q )
ar as ?

; (a r ) s ?

; (ab)r ?

3.指数函数图像及性质 定义 图象 定义 域 值域 定 点 单调性 4.指数函数 f ? x ? ? a x 具有性质:

y ? a x ? a ? 0, a ? 1?

f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? , f ?1? ? a(a ? 0, a ? 1)
(七)对数函数 1.定义:如果 a(a ? 0, 且a ? 1) 的 b 次幂等于 N,就是 a b ? N ,那么数 b 称以 a 为底 N 的对数,记作

b ? log a N ,其中 a 称对数的底,N 称真数.

①以 10 为底的对数称常用对数, ②以无理数 e(e ? 2.71828) 为底的对数称自然对数, log10 N 记作 lg N ,

loge N 记作 ln N
2.基本性质: ①真数 N 为正数(负数和零无对数) , ② loga 1 ? 0 , ③ loga a ? 1 , ④对数恒等式: a loga N ? N . 3.运算性质:如果 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0, 则 ① loga (MN ) ? loga M ? loga N ; ② log a M ? log a M ? log a N ;
N

③ loga M ? n loga M .
n

4.换底公式:
log a N ? log m N (a ? 0, a ? 1, m ? 0, m ? 1, N ? 0), log m a

① loga b ? logb a ? 1 , ② log am b n ?
n log a b . m

5. 对数函数 y ? loga x 具有性质: 6.函数的图像与性质 定 义 图 象

f ( x) ? f ( y) ? f ( xy)

定义域 值 定 域 点 (八)幂函数: y ? x, y ? x2 y ? x3 , y ?
1 x

单调性 定义域

y ? x 2 的图像
1.当 a ? 0 时,幂函数 y ? x? ?? ? R? 有下列

1

性质:(1)在第一象限内, ? ? 1 时图像为 线,图像上凸. (2)图像都通过点 (3)在第一象限内,随 x 的 ;

型抛物线,图像下凸, 0 ? ? ? 1 时图像为 ;

型抛物

2.当 a<0 时,幂函数 y ? x? ?? ? R? 有下列性质: (1)在第一象限内,函数图像为 (2)图像都通过点 ; 型,函数值随 x 的增大而 ,图像是向下凸;

(3)在第一象限内,图像向上与 y 轴无限地接近,向右与 x 轴无限地接近;


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