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hg0875.com:2016_2017学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1双曲线及其标准方程课件北师大版选修2_1_图文

第三章 §3 双曲线 3.1 双曲线及其标准方程 学习 目标 1.掌握双曲线的定义. 2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程. 3.理解双曲线标准方程的推导过程,并能运用标准方程解决相关问题. 栏目 索引 知识梳理 题型探究 当堂检测 自主学习 重点突破 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 双曲线的定义 把平面内到两个定点F1,F2的距离的 差的绝对值 等于常数(大于零且小于 |F1F2|)的点的轨迹叫作 双曲线 .这两个定点叫做双曲线的 焦点 ,两个焦 点间的距离叫做双曲线的 焦距 . 答案 知识点二 双曲线的标准方程 焦点在x轴上 标准方程 焦点 焦距 x2 y2 2- 2=1 a b ___________ (a>0,b>0) ____________ 焦点在y轴上 y2 x2 2- 2=1 a b ___________ (a>0,b>0) ____________ (0,c) (0,-c) ,F ______ F1(-c,0),F2(c,0) F1________ 2 a、b、c的关系 |F1F2|=2c 2+b2 a 2 c =_______ 答案 思考 答案 (1) 双曲线定义中,将 “小于 |F1F2|”改为 “等于 |F1F2|”或 “ 大于 当距离之差等于|F1F2|时,动点的轨迹就是两条射线,端点分别是 |F1F2|”的常数,其他条件不变,点的轨迹是什么? F1、F2,当距离之差大于|F1F2|时,动点的轨迹不存在. (2)确定双曲线的标准方程需要知道哪些量? 答案 a,b的值及焦点所在的位置. 答案 知识点三 双曲线与椭圆的比较 双曲线、椭圆的标准方程及它们之间的区别与联系: 双曲线 ||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|) |MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|) _________________________ _______________________ ___________ a2=b2+c2 ___________ a2+b2=c2 椭 圆 定 义 a,b,c 的关系 焦点在 标准 x轴上 方程 焦点在 y轴上 x2 y2 2+ 2=1(a>b>0) a b _________________ y2 x2 2+ 2=1(a>b>0) a b _________________ x2 y2 2- 2=1(a>0,b>0) a b ____________________ y2 x2 2- 2=1(a>0,b>0) a b ____________________ 答案 返回 题型探究 重点突破 题型一 求双曲线的标准方程 例1 根据下列条件,求双曲线的标准方程. 15 16 (1)经过点 P(3, 4 ),Q(- 3 ,5); 解析答案 (2)c= 6,经过点(-5,2),焦点在 x 轴上. x2 y2 解 方法一 依题意可设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0). ?a2+b2=6, ?a2=5, ? 则有?25 4 解得? 2 ? a2 -b2=1, ?b =1, ? x2 2 ∴所求双曲线的标准方程为 5 -y =1. 方法二 ∵焦点在 x 轴上,c= 6, x2 y2 ∴设所求双曲线方程为 λ - =1(其中 0<λ<6). 6-λ 25 4 ∵双曲线经过点(-5,2),∴ λ - =1,∴λ=5 或 λ=30(舍去). 6-λ x2 2 ∴所求双曲线的标准方程是 5 -y =1. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1 求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),双曲线上的点与两焦点的距离 之差的绝对值等于8; 解 由双曲线的定义知,2a=8,所以a=4, 又知焦点在x轴上,且c=5, 所以b2=c2-a2=25-16=9, x2 y2 所以双曲线的标准方程为16- 9 =1. 解析答案 (2)焦点在 x 轴上,经过点 P(4,-2)和点 Q(2 6,2 2). 解 因为焦点在x轴上, x2 y2 可设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0), ? 4 ?16 2 - 2=1, ?a b 将点(4,-2)和(2 6,2 2)代入方程得? ?24 8 2 - 2=1, ? b ?a ① ② 解得a2=8,b2=4, x2 y2 所以双曲线的标准方程为 8 - 4 =1. 解析答案 题型二 例2 双曲线定义的应用 x2 y2 若 F1,F2 是双曲线 9 -16=1 的两个焦点. (1)若双曲线上一点 M到它的一个焦点的距离等于 16,求点M到另一个焦 点的距离; 解 x2 y2 双曲线的标准方程为 9 -16=1,故 a=3,b=4,c= a2+b2=5. 由双曲线的定义得||MF1|-|MF2||=2a=6,又双曲线上一点M到它的一个 焦点的距离等于 16,假设点M到另一个焦点的距离等于 x,则|16-x|=6 , 解得x=10或x=22. 故点M到另一个焦点的距离为10或22. 解析答案 (2) 如图,若 P 是双曲线左支上的点,且 |PF1|· |PF2| = 32 ,试求△F1PF2 的 面积. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练 2 x2 y2 已知双曲线 9 -16=1 的左、右焦点分别是 F1、F2,若双曲 线上一点 P 使得∠F1PF2=60° ,求△F1PF2 的面积. x2 y2 解 由 9 -16=1 得,a=3,b=4,c=5. 由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6, |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°, 所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|· |PF2|, 所以|PF1|· |PF2|=64, 1 1 3 S ∴ ?F1PF2

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