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第三章 第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式[配套课件]_图文

第5讲

两角和与差及二倍角的
三角函数公式

考纲要求

考点分布

考情风向标

2011年新课标第7题考查同角关系式 1.会用向量的数量积推 及二倍角公式; 本节复习时, 导出两角差的余弦公式. 2013年新课标Ⅰ第10题以解三角形 应准确把握 2.能利用两角差的余弦 为背景,考查倍角公式及余弦定理; 公式的特征, 公式导出两角差的正弦、 2013年新课标Ⅱ第6题考查诱导公式、活用公式(正 正切公式. 二倍角公式(降幂公式); 用、逆用、 3.能利用两角差的余弦 2014年新课标Ⅱ第14题考查两角和、 变形用、创 公式导出两角和的正弦、 差的三角函数; 造条件用); 余弦、正切公式,导出 2016年新课标Ⅰ第14题考查三角函 重点解决三 二倍角的正弦、余弦、 数求值; 角函数式的 正切公式,了解它们的 2017年新课标Ⅲ第4题考查二倍角公 化简、求值、 内在联系 式,新课标Ⅰ第15题考查两角和与 求角问题 差的余弦公式

1.两角和与差的三角函数

三角函数

两角和 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
cos αcos β-sin αsin β cos(α+β)=____________________

简写形式

正弦 余弦
正切

Sα+β Cα+β
Tα+β

tan α+tan β tan(α+β)= 1-tan αtan β

(续表)

三角函数 正弦

两角差

简写形式 Sα-β Cα-β Tα-β

sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β

余弦
正切

tan α-tan β tan(α-β)= 1+tan αtan β

2.二倍角的三角函数

三角函数 正弦

二倍角
2sin αcos α sin 2α=______________

简写形式 S2α C2α

余弦

cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=

1-2sin2α 正切
3.降次公式

2tan α tan 2α= 1-tan2α

T2α

1+cos 2α 1-cos 2α 2 cos α= ;sin α= . 2 2
2

4.辅助角公式

asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ). a b 其中 cos φ= 2 2,sin φ= 2 2, a +b a +b b tan φ=a,角 φ 称为辅助角.

1 1.下列各式的值为4的是( π A.2cos 12-1
2

D

) B.1-2sin275° D.sin 15° cos 15°

2tan 22.5° C. 1-tan222.5°

2.(2017 年山东)函数 y= 3sin 2x+cos 2x 的最小正周期为 (
C

) π A.2 C.π 2π B. 3 D.2π
? π? 2π 2x=2sin?2x+6?,T= 2 =π. ? ?

解析:y= 3sin 2x+cos

3 3.(2017 年山东)已知 cos x=4,则 cos 2x=( 1 A.-4 1 B.4
2

D

)

1 C.-8

1 D.8

1 解析:cos 2x=2cos x-1=8.
2 2π 2π 2 4.(2016 年四川)cos 8-sin 8=_______.

π 2 解析:由二倍角公式,得 cos 8-sin 8=cos 4= 2 .





考点 1

给角求值问题

例 1:(1)(2015 年新课标Ⅰ)sin 20° cos 10° -cos 160° sin 10° =( ) 3 A.- 2 3 B. 2 1 C.-2 1 D.2

1 解析:原式=sin 20° cos 10° +cos 20° sin 10° =sin 30° =2.故 选 D.
答案:D

(2)(2015 年四川)sin 15°+sin 75°=________.

解析:方法一,sin 15° +sin 75° =sin 15° +cos 15° = 6 2sin(15° +45° )= 2 . 方法二,sin 15° +sin 75° =sin(45° -30° )+sin(45° +30° )= 6 2sin 45° cos 30° =2. 6- 2 6+ 2 6 方法三,sin 15° +sin 75° = 4 + 4 =2.
6 答案: 2

cos 10° + 3sin 10° (3)计算: =________. 1-cos 80°

cos 10° + 3sin 10° 2cos?10° -60° ? 2cos 50° 解析: = = = 2 2sin 40° 2sin 40° 1-cos 80° 2.
答案: 2

(4)计算:tan 20° +tan 40° + 3tan 20° tan 40° =________.

tan 20° +tan 40° 解析:tan(20° +40° )= ,可得 3- 1-tan 20° tan 40° 3tan 20° tan 40° =tan 20° +tan 40° , 移项, 可得 tan 20° +tan 40° + 3tan 20° tan 40° = 3.
答案: 3

【规律方法】三角函数的给角求值,关键是把待求角用已 知角表示: ①已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和或差; ②已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍的关系” 或“互余、互补”的关系.

考点 2

给值求值问题

例 2 : (1)(2016 年新课标Ⅰ ) 已知 θ 是第四象限角,且
? π? 3 sin?θ+4?=5,则 ? ? ? π? tan?θ-4?=________. ? ?

解析:由题意 得

? π? 3 sin?θ+4?=5, ? ?

? ?π ? ? ?π ? π? 4 π? 3 cos ?θ+4? = 5 . ∴ cos ?4-θ? = sin ?θ+4? = 5 , sin ?4-θ? = ? ? ? ? ? ? ? ?

?π ? 4 ? ? sin 4-θ -5 ? ? ?π ? π? 4 π? ? ? ? ? ? ? ? ? cos θ+4 =5.∴tan θ-4 =-tan 4-θ =- ?π ?= 3 = ? ? ? ? ? ? cos?4-θ? 5 ? ?

4 -3.
4 答案:-3

4 (2)(2017 年新课标Ⅲ)已知 sin α-cos α=3,则 sin 2α= ( ) 7 A.-9 2 B.-9 2 C.9 7 D.9

4 解析:由 sin α-cos α=3两边平方,得(sin α-cos α)2=1- 16 7 2sin αcos α=1-sin 2α= 9 ,所以 sin 2α=-9.故选 A.
答案:A

(3)(2017 年新课标Ⅰ)已知 =________.

? π? a∈?0,2?, tan ? ?

α=2, 则

? π? cos?α-4? ? ?

解析:由 tan α=2,得 sin α=2cos α,又 sin2α+cos2α=1, ? π? 1 5 2 5 2 所以 cos α=5.因为 α∈?0,2?,所以 cos α= 5 ,sin α= 5 . ? ? ? π? π π 5 2 2 5 2 ? ? 因为 cos α-4 =cos αcos4+sin αsin4= 5 × 2 + 5 × 2 = ? ? 3 10 10 .
3 10 答案: 10

(4)(2015 年重庆)若 tan α=2tan

? 3π? cos?α-10? π ? ? ? 5,则 π? =( sin?α-5? ? ?
D.4

)

A.1

B.2

C.3

? 3π? 3π cos?α-10? cos αcos 10+sin ? ? 解析:由已知, ? π? = π ? ? sin αcos 5-cos sin α-5 ? ?

3π αsin 10 π αsin 5

3π cos 10+tan αsin = π tan αcos 5-sin

3π 3π π 10 cos 10+2tan 5sin π = π π 2tan 5cos 5-sin 5

3π 10 π 5

π 3π π 3π π π cos 5cos 10+2sin 5sin 10 3sin 5cos 5 = = 1 π π 2π sin 5cos 5 2sin 5 2π 3sin 5 = 2π =3.故选 C. sin 5
答案:C

? ? π? π? 2 ? ? ? ? (5)(2017 年广东惠州三模)已知 α∈ 0,2 , cos α+3 =-3, ? ? ? ?

则 cos α=________.
解析:因为
? π? α∈?0,2?,所以 ? ? ? π? π ?π 5π? α+3∈?3, 6 ?,所以 sin?α+3? ? ? ? ?

?? ? ? π? π? π? π π? π 5 = 3 .所以 cos α=cos??α+3?-3?=cos?α+3?cos3+sin?α+3?sin3 ? ? ? ? ? ?? ?

15-2 2 1 5 3 =-3×2+ 3 × 2 = 6 .

15-2 答案: 6

考点 3

给值求角问题

5 10 例 3:已知 A,B 均为钝角,且 sin A= 5 ,sin B= 10 ,求 A+B 的值.
5 10 解:∵A,B 均为钝角,且 sin A= 5 ,sin B= 10 , 2 2 5 ∴cos A=- 1-sin A=- =- 5 , 5
2

3 3 10 cos B=- 1-sin B=- =- 10 . 10
2

∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B =- 5 π π ∵2<A<π,2<B<π, 2 5
? 3 10? ?- ×?- 10 ? ?

5 10 2 5 × 10 = 2 .

7π ∴π<A+B<2π.∴A+B= 4 .

【规律方法】已知三角函数值求角时,要先确定所求角的 范围,再选择在该范围内具有单调性的某一三角函数求解,否 ? π π? 则容易出现增根.如若 α∈(0, π), 则选余弦函数; 若 α∈?-2,2?, ? ? 则选正弦函数.

【互动探究】

1 1 1.已知 α,β 为锐角,且 cos α= ,cos β= ,为了求 10 5

α+β的值,要先求 sin(α+β)或 cos(α+β),你认为选_________
3π 更好.最后求得α+β=_________. 4

cos(α+β)

难点突破 ⊙利用函数的思想探讨三角函数的最值问题

例题:函数 y=sin x+cos x+2sin xcos x 的最大值是______.

解析:令 sin x+cos x=t,则- 2≤t≤ 2. 平方,得 1+2sin xcos x=t2. 所以 2sin xcos x=t2-1. 则 y=t+t
2

? 1?2 5 -1=?t+2? -4. ? ?

1 函数图象的对称轴方程为 t=-2. 所以当 t= 2时,ymax= 2+( 2)2-1= 2+1.

答案: 2+1

【互动探究】

2.(2016 年湖北武汉十六中模拟 ) 已知函数 f(x) = sin2x - π? sin x-6?,x∈R. ? ?
2?

?

(1)求 f(x)的最小正周期; (2)求
? π π? f(x)在区间?-3,4?上的最大值和最小值. ? ?

π? 解:(1)∵f(x)=sin x-sin x-6?=sin2x- ? ?
2 2?

?

? π? 1-cos?2x-3? ? ?

2

π? 1 1 ? =sin x+2cos?2x-3?-2 ? ?
2

π π? 1 1 1 1? =2-2cos 2x+2?cos 2xcos 3+sin 2xsin 3?-2 ? ? 1 1 3 =-2cos 2x+4cos 2x+ 4 sin 2x π? 3 1 1 ? = 4 sin 2x-4cos 2x=2sin?2x-6?. ? ? 2π ∴f(x)的最小正周期 T= 2 =π.

? π π? (2)∵x∈?-3,4?,则 ? ?

π ? 5π π? 2x-6∈?- 6 ,3?. ? ?

π? ? 1 1 ? 3? ∴2sin?2x-6?∈?- , ?. 4? ? ? ? 2 故
? π π? f(x)在区间?-3,4?上的最大值和最小值分别为 ? ?

3 1 4 ,-2.

1.在处理三角函数问题时,尽量做到三个统一,即角的统
一、函数名统一、次数统一,其中角的统一是第一位的.合一变 换与降次都是经常使用的方法,合一变换的目的是把一个角的 两个三角函数的和转化为一个角的一个三角函数. 降次的目 的,一方面是把一个角变为原来的两倍,另一方面是为了次数 的统一.

2.三角函数求值的类型及方法. (1)给角求值:关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的 三角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数. (2)给值求值:给出某些角的三角函数值,求另外一些角的 三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种

关系.
(3)给值求角:实质上也转化为给值求值,关键也是变角, 把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数 的单调区间求得角,有时要压缩角的取值范围.

3.巧用公式变形. 和差角公式变形:tan x±tan y=tan(x±y)· (1?tan x· tan y);倍

1+cos 2α 1-cos 2α 2 角公式变形:降幂公式 cos α= ,sin α= ,配 2 2
2

方变形:1± sin 2sin 2.


? α=?sin ?

α α?2, 2α ? cos 2 1+cos α=2cos ,1-cos α= 2± 2 ?


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