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2014高考调研理科数学单元测试讲解


第五章

单元测试

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题中只有一项 符合题目要求) 1.与向量 a=(-5,12)方向相反的单位向量是 A.(5,-12) 1 3 C.(2,- 2 ) 答案 解析 D 与 a 方向相反的向量只能选 A,D,其中单位向量只有 D. 5 12 B.(-13,13) 5 12 D.(13,-13) ( )

?-5,12? 5 12 a 也可用公式 n=-|a|=- 2 2=(13,-13)求得. ?-5? +12 2.设向量 a,b 均为单位向量,且|a+b|=1,则 a 与 b 夹角为( π A.3 2π C. 3 答案 解析 C 如图,四边形 ABCD 为平行四边形,△ABC 为边长为 1 的等边三角 π B.2 3π D. 4 )

→ → 2π 形,记AB=a,AD=b,则 a 与 b 的夹角为 3 ,故选 C.

→ → 3.已知 O、A、B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 2AC+CB → =0,则OC等于 → → A.2OA-OB 2→ 1→ C.3OA-3OB → → B.-OA+2OB 1→ 2→ D.-3OA+3OB ( )

答案 解析 选 A.

A → → → → → → → → → → → OC=OB+BC=OB+2AC=OB+2(OC-OA),∴OC=2OA-OB.故

?1+2i?2 1 4.已知复数 z= ,则|z|+ z 等于 3-4i A.0 C.-1 答案 解析 故选 A. A z= B.1 D.2

(

)

?1+2i?2 ?4i-3??3+4i? -16-9 1 = = 25 =-1,所以|z|+ z =1-1=0. 25 3-4i

5.对于复数 z1,z2,若(z1-i)z2=1,则称 z1 是 z2 的“错位共轭”复数,则 3 1 复数 2 -2i 的“错位共轭”复数为 3 1 A.- 6 -2i 3 1 C. 6 +2i 答案 解析 D 方法一 3 1 1 3 1 由(z-i)( 2 -2i)=1 可得 z-i= = 2 +2i,所以 z= 3 1 2 -2i 3 3 B.- 2 +2i 3 3 D. 2 +2i ( )

3 3 2 +2i. 方法二 3 1 3 1 3 1 (z-i)( 2 -2i)=1 且| 2 -2i|=1,所以 z-i 和 2 -2i 是共轭复数,

3 1 3 3 即 z-i= 2 +2i,故 z= 2 +2i. 6.已知向量 a=(1,-1),b=(1,2),向量 c 满足(c+b)⊥a,(c-a)∥b,则 c 等于 A.(2,1) 3 1 C.(2,2) B.(1,0) D.(0,-1) ( )

答案 解析

A ?x+1-y-2=0, 设 c=(x,y),由(c+b)⊥a,(c-a)∥b 可得? 解得 ?y+1=2?x-1?,

?x=2, ? 因此 c=(2,1). ?y=1, π 7.已知向量 a,b 满足|a|=1,|a+b|= 7, 〈a,b〉=3,则|b|= ( A.2 C. 3 答案 解析 A π 由|a+b|= 7,可得|a+b|2=a2+2a· b+b2=1+2×1×|b|cos3+|b|2= B.3 D.4 )

7,所以|b|2+|b|-6=0,解得|b|=2 或|b|=-3(舍去).故选 A. → → → → → 8. O 为平面内任一点且(OB+OC-2OA)· -AC)=0, 若 (AB 则△ABC 是( A.直角三角形或等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形但不一定是直角三角形 D.直角三角形但不一定是等腰三角形 答案 解析 C → → → → → → → → → 由(OB+OC-2OA)(AB-AC)=0,得(AB+AC)· -AC)=0. (AB )

→ → → → ∴AB2-AC2=0,即|AB|=|AC|. ∴AB=AC. 5 2 9.设 a=(4,3),a 在 b 上的投影为 2 ,b 在 x 轴上的投影为 2,且|b|≤14, 则b为 A.(2,14) 2 C.(-2,-7) 答案 解析 B 方法一 (验证排除法) 2 B.(2,-7) D.(3,6) ( )

∵b 在 x 轴上的投影为 2, ∴b 的横坐标为 2,排除 C,D 项;又|b|≤14,排除 A 项;故选 B. 5 2 2 a· b 2 设向量 b=(2,y),由题意得|a||b|=cosα= |a| = 2 .将 a=(4,3),b

方法二

2 =(2,y)代入上式计算,得 y=-7或 y=14.又|b|≤14,故 y=14 不合题意,舍去. 2 2 则 y=-7,即 b=(2,-7). 故应选 B. 7 1 1 7 10.与向量 a=(2,2),b=(2,-2)的夹角相等,且模为 1 的向量是( 4 3 A.(5,-5) 4 3 4 3 B.(5,-5)或(-5,5) 2 2 1 C.( 3 ,-3) 2 2 1 2 2 1 D.( 3 ,-3)或(- 3 ,-3) 答案 解析 B 方法一 |a|=|b|,要使所求向量 e 与 a、b 夹角相等,只需 a· e=b· e. )

7 1 4 3 1 7 4 3 5 ∵(2,2)·5,-5)=(2,-2)·5,-5)=2,排除 C、D. ( ( 7 1 4 3 1 7 4 3 5 又∵(2,2)· 5,5)=(2,-2)·5,5)=-2.∴排除 A. (- ( 方法二 → → 设 a=OA,b=OB.由已知得|a|=|b|,a⊥b,则与向量 a,b 的夹角

相等的向量在∠AOB 的角平分线上,与 a+b 共线.∵a+b=(4,-3),∴与 a a+b 4 3 4 3 4 3 +b 共线的单位向量为± =± 5,-5),即(5,-5)或(-5,5). ( |a+b| 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线 上) 11.已知复数 z= 1- 3i , z 是 z 的共轭复数,则 z 的模等于________. 3+i

答案 解析

1 1- 3i -i2- 3i -i?i+ 3? z= = = =-i,| z |=|i|=1. 3+i 3+i 3+i

→ → → → → 12.已知 A,B,C 是圆 O:x2+y2=1 上三点,OA+OB=OC,则AB· = OA ________. 答案 解析 3 -2 → → 由题意知,OACB 为菱形,且∠OAC=60° ,AB= 3,∴AB· = 3 OA

3 ×1×cos150° =-2. 13.已知向量 a=(1,1),b=(2,n),若|a+b|=a· b,则 n=________. 答案 解析 3 易知 a+b=(3,n+1),a· b=2+n.∵|a+b|=a· b,∴ 32+?n+1?2=2

+n,解得 n=3. → → → → 14. 已知|OA|=1,|OB|= 3,OA· =0,点 C 在∠AOB 内,且∠AOC=30° OB . → → → m 设OC=mOA+nOB(m,n∈R),则 n =________. 答案 解析 3 方法一 如图所示,

→ → → → ∵OA· =0,∴OB⊥OA. OB → → → → → 不妨设|OC|=2,过 C 作CD⊥OA于 D,CE⊥OB于 E,则四边形 ODCE 是矩 形. → → → → → OC=OD+DC=OD+OE. → ∵|OC|=2,∠COD=30° , → → ∴|DC|=1,|OD|= 3.

→ → 又∵|OB|= 3,|OA|=1, → → → 3→ 故OD= 3 OA,OE= 3 OB. → → 3→ 3 ∴OC= 3 OA+ 3 OB,此时 m= 3,n= 3 . m 3 ∴ n = =3. 3 3

方法二

→ → 由OA· =0 知△AOB 为直角三角形, OA, 所在直线分别为 OB 以 OB

→ → → → x,y 轴建立平面直角坐标系,则可知OA=(1,0),OB=(0, 3),又由OC=mOA+ → → 3n 3 m nOB,可知OC=(m, 3n),故由 tan30° m = 3 ,可知 n =3. = → → → 15.已知直线 x+y=a 与圆 x2+y2=4 交于 A、B 两点,且|OA+OB|=|OA- → OB|,其中 O 为坐标原点,则实数 a 的值为________. 答案 解析 ± 2 如图,

→ → → → → → → → 作平行四边形 OADB,则OA+OB=OD,OA-OB=BA,∴|OD|=|BA|. → → → 又|OA|=|OB|,∴四边形 OADB 为正方形,易知|OA|为直线在 y 轴上的截距 大小,a=2.验证 a=-2 时,成立. 16.对于向量 a,b,c,给出下列四个命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a=|c|· b,c=|b|· a,则|a|=|b|=|c|=1;

③若|a|=|b|=2,则(a+b)⊥(a-b); ④若|a· b|=|b· b≠0,则|a|=|c|. c|且 其中正确的命题序号是________. 答案 解析 ③ 当 b=0 时,①不正确;当 b=0 时,且 c=0 时,②不正确;③中,

∵|a|=|b|=2,∴(a+b)· (a-b)=|a|2-|b|2=0.∴(a+b)⊥(a-b),故③正确;④中 取 a≠0 且 a⊥b,而 c=0 时,则结论不正确,故④不正确. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已 A A A A 知向量 m=(2cos 2 ,sin 2 ),n=(cos 2 ,-2sin 2 ),m· n=-1. (1)求 cosA 的值; (2)若 a=2 3,b=2,求 c 的值. 答案 解析 1 (1)-2 (2)2

A A A A A (1)∵m=(2cos ,sin ),n=(cos ,-2sin ),m· n=-1,∴2cos2 - 2 2 2 2 2

A 1 2sin2 2 =-1,∴cosA=-2. 1 2π (2)由(1)知 cosA=-2,且 0<A<π,∴A= 3 . ∵a=2 3,b=2, a b 2 3 2 由正弦定理,得sinA=sinB,即 2π=sinB. sin 3 1 π ∴sinB=2.∵0<B<π,B<A,∴B=6. π ∴C=π-A-B=6,∴C=B.∴c=b=2. 18.(本小题满分 12 分)已知向量 a=(cosα,sinα),b=(2cosβ,2sinβ),若实 数 k 使|ka+b|=|a-kb|成立,求满足不等式 a· b≥0 的 k 的取值范围. 解析 由|ka+b|=|a-kb|,得(ka+b)2=(a-kb)2.

即有 k2a2+b2+2ka· 2-2ka· 2b2. b=a b+k ∴8kcos(α-β)=3(k2-1). 若 k=0,则有|a|=|b|,与已知矛盾. ∴k≠0,∴cos(α-β)= 3?k2-1? 8k .

3?k2-1? 而 a· b=cosα· 2cosβ+sinα· 2sinβ=2cos(α-β)= 4k ,且 a· b≥0. ∴0≤ 3?k2-1? 4k ≤2.

1 解得-1≤k≤-3或 1≤k≤3. -1 1 19.(本小题满分 12 分)已知向量 a=(sinx,sinx),b=(2,cos2x). π (1)若 x∈(0,2],试判断 a 与 b 能否平行? π (2)若 x∈(0,3],求函数 f(x)=a· 的最小值. b 解析 -1 1 π (1)若 a 与 b 平行,则有sinx· cos2x=sinx· 2,因为 x∈(0,2],sinx≠0,

所以得 cos2x=-2.这与|cos2x|<1 相矛盾,故 a 与 b 不能平行.
2 2 cos2x 2-cos2x 1+2sin x 1 (2)由于 f(x)=a· sinx- sinx = sinx = sinx =2sinx+sinx.又因为 x b=

π 3 1 ∈(0,3],所以 sinx∈(0, 2 ].于是 2sinx+sinx≥2

1 2sinx· =2 2,当 2sinx sinx

1 2 =sinx,即 sinx= 2 时取等号.故函数 f(x)的最小值等于 2 2. 20. (本小题满分 12 分)设△ABC 的三个内角 A、 C 所对的边分别为 a、 B、 b、 → → → → c,且满足(2a+c)· · +c· · =0. BC BA CA CB (1)求角 B 的大小; → → (2)若 b=2 3.试求AB· 的最小值. CB 答案 解析 2 (1)3π (2)-2 → → → → (1)因为(2a+c)BC· +cCA· =0, BA CB

所以(2a+c)accosB+cabcosC=0. 即(2a+c)cosB+bcosC=0. 则(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0. 所以 2sinAcosB+sin(C+B)=0. 1 2π 即 cosB=-2,所以 B= 3 . 2π (2)因为 b2=a2+c2-2accos 3 , 所以 12=a2+c2+ac≥3ac,即 ac≤4. 当且仅当 a=c 时取等号,此时 ac 最大值为 4. → → 2π 1 所以AB· =accos 3 =-2ac≥-2. CB → → 即AB· 的最小值为-2. CB 21.(本小题满分 12 分)若 a,b 是两个不共线的非零向量,t∈R. 1 (1)若 a, 起点相同, 为何值时, tb,3(a+b)三向量的终点在一直线上? b t a, (2)若|a|=|b|且 a 与 b 夹角为 60° 为何值时,|a-tb|的值最小? ,t 解析 1 (1)设 a-tb=m[a-3(a+b)],m∈R,

2 m 化简得(3m-1)a=( 3 -t)b.

?2m-1=0, ?3 ∵a 与 b 不共线,∴? m ? 3 -t=0 ?

?m=3, ? 2 ?? 1 ?t=2. ?

1 1 ∴t=2时,a,tb,3(a+b)的终点在一直线上. (2)|a-tb|2=(a-tb)2=|a|2+t2|b|2-2t|a||b|cos60° =(1+t2-t)|a|2. 1 3 ∴当 t=2时,|a-tb|有最小值 2 |a|. A 22.(本小题满分 12 分)已知向量 m=(sinx,1),n=( 3Acosx,2 cos2x)(A>0), 函数 f(x)=m· 的最大值为 6. n (1)求 A;

π (2)将函数 y=f(x)的图像向左平移12个单位,再将所得图像上各点的横坐标 1 5π 缩短为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图像,求 g(x)在[0,24]上的 值域. 解析 π +6). 因为 A>0,由题意知 A=6. π (2)由(1)知 f(x)=6sin(2x+6). π 将函数 y=f(x)的图像向左平移12个单位后得到 π π π y=6sin[2(x+12)+6]=6sin(2x+3)的图像; 1 再将得到图像上的各点横坐标缩短为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到 y= π 6sin(4x+3)的图像. π 因此 g(x)=6sin(4x+3). 5π π π 7π 因为 x∈[0,24],所以 4x+3∈[3, 6 ]. 5π 故 g(x)在[0,24]上的值域为[-3,6]. A 3 1 (1)f(x)=m· n= 3Asinxcosx+ 2 cos2x=A( 2 sin2x+ 2 cos2x)=Asin(2x


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