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2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题


2005 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 说明: 1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 选择题、填空题只设 6 分和 0 分两档. 其他各题 的评阅, 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分, 不要再增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时可参照本 评分标准适当划分评分档次, 3 分为一个档次, 不要再增加其他中间档次. 一.选择题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) 1. 函数 y = f ( x) 的图像按向量 a = (

π
4

, 2) 平移后, 得到的图像的解析式为

y = sin( x + ) + 2 . 那么 y = f ( x) 的解析式为 4
A. y = sin x B. y = cos x C. y = sin x + 2 D. y = cos x + 4 答: [
2

π

]

2. 如果二次方程 x ? px ? q = 0 ( p, q ∈ N*) 的正根小于 3, 那么这样的二次方程有 A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个 答: [ 3. 设 a > b > 0 , 那么 a 2 + A. 2 B. 3 ]

1 的最小值是 b( a ? b)
C. 4 D. 5 答: [ ] 去截此四棱锥, 使得

4. 设四棱锥 P ? ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面 α 截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α A. 不存在 B. 只有 1 个 C. 恰有 4 个 D. 有无数多个

答: [

]

5. 设数列 {an } : a0 = 2, a1 = 16, an + 2 = 16an +1 ? 63an , n ∈ N*, 则 a2005 被 64 除的余数为 A. 0 B. 2 C. 16 D. 48 答: [ ]

6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1 × 1 m 2 的整块地砖来铺设(每块地砖 都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同 拼色方法有 A. 30 个
8

B. 30 × 25 个
7

C. 30 × 20 个
7

D. 30 × 21 个
7

答: [ 二.填空题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) 7. 设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 向量 OB =

]

π
2

得向量 OB , 且 2OA + OB = (7, 9) , 则

8. 设无穷数列 {an } 的各项都是正数, Sn 是它的前 n 项之和, 对于任意正整数 n , an 与 2 的等差中 项等于 Sn 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为:
1

(n∈N*) . 9. 函数 y =| cos x | + | cos 2 x | ( x ∈ R) 的最小值是 .

10. 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB = 2, AA1 = AD = 1 , 点 E 、 F 、 G 分别是棱 AA1 、 C1 D1 与 BC 的中点, 那么四面体 B1 ? EFG 的体积是 11. 由三个数字 1 、 2 、 3 组成的 5 位数中, 1 、 2 、 3 都至少出现 1 次, 这样的 5 位数共有 个. 12. 已 知 平 面 上 两 个 点 集

M = {( x, y ) | | x + y + 1| ≥ 2( x 2 + y 2 ), x, y ∈

R},

N = {( x, y ) | | x ? a | + | y ? 1| ≤ 1, x, y ∈ R}. 若 M ∩ N ≠ ? , 则 a 的取值范围是
三.解答题 (第一题、第二题各 15 分;第三题、第四题各 24 分) 13. 已知点 M 是 ?ABC 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边 AC 于点

N , 且 AB 是 ?NBC 的外接圆的切线, 设

BC BM = λ , 试求 (用 λ 表示). BN MN

14. 求所有使得下列命题成立的正整数 n ( n ≥ 2) : 对于任意实数 x1 , x2 ,? , xn , 当

∑ xi = 0 时, 总有
i =1

n

n

∑x x
i =1

i i +1

≤ 0 ( 其中 xn +1 = x1 ).

15. 设椭圆的方程为

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) , 线段 PQ 是过左焦点 F 且不与 a2 b2

x 轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 R ,
使 ?PQR 为正三角形, 求椭圆的离心率 e
R

y
Q'

Q

的取值范围, 并用 e 表示直线 PQ 的斜率. 16. (1) 若 n ( n ∈ N*) 个棱长为正整数的正方 2005, 求 n 的 最小值, 并说明理由;

M‘ F P’ P

M O

x

体的体积之和等于

(2) 若 n ( n ∈ N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2002 2005 , 求 n 的 最小值, 并说明理由.

2


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