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[名校联盟]辽宁省东北育才学校2011-2012学年高二下学期期中考试数学(文)试题 2


东北育才 文科

试题中可能用到的公式:

n ? xi yi ? nxy n ? ? i ?1 ? xi yi ? nxy ? ? ?b ? n i ?1 ? 相关系数: 回归系数: r? xi2 ? nx 2 ? n n ? i ?1 (? xi2 ? nx 2 )(? yi2 ? ny 2 ) ? ? i ?1 i ?1 ? ? y ? bx ? ?a

一、

选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分)

1、在复平面内,复数 A.第一象限

1? i 对应的点位于第( 1 ? 2i
B.第二象限

)象限 D.第四象限 )

C.第三象限

2、点 M 的极坐标为 ? 5, ? ,下列所给出的四个坐标中能表示点 M 的坐标是(

? ?? ? 3?

?? ? A. ? 5, ? ? ? 3?

4? ? ? B. ? 5, ? ? 3?

2? ? ? C. ? 5, ? ? ? 3?

D. ? 5, ?

? ?

5? ? ? 3 ?

3、给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集) : ①“若 a,b ? R, 则a ? b ? 0 ? a ? b ”类比推出“若 a,b ? C, 则a ? b ? 0 ? a ? b ” ; ②“若 a,b,c,d ? R, 则复数a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d ”类比推出“若 a,b,c,d ? Q, 则

a ? b 2 ? c ? d 2 ? a ? c, b ? d ”; ③“若 a,b ? R, 则a ? b ? 0 ? a ? b ” 类比推出“ 若 a,b ? C, 则a ? b ? 0 ? a ? b ” ;
其中类比结论正确的个数是( A.0 B.1
2

) C.2 D.3 )
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

4、若复数 (a ? 3a ? 2) ? (a ? 1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为(

A、1 B、2 C、1 或 2 D、 ? 1 5、某班主任对全班 50 名学生进行了作业量的调查,数据如下表: 则学生的性别与作业量的大小有关系的把握大约为( ) A.99% B.95% 男生 C. 90% D.无充分根据 5 6 7 2011 女生 5 =3125,5 =15625,5 =78125, 6、 观察下列各式: …, 则5 总数 的末四位数字为( ) A.3125 B.5625
2

认为作业量大 18 8 26 D.8125 )

认为作业量不大 9 15 24

[来源:学科网]

总数 27 23 50

C.0625

7、不等式 x ? 3 ? x ?1 ? a ? 3a 对 ?x ? R 恒成立,则实数 a 的取值范围为( A. (??, ?1] ? [4, ??) B. (??, ?2] ? [5, ??)
2

.C. [1, 2]

D. (??,1] ? [2, ??) )

8、 曲线 C 的极坐标方程为 ? ?

12 , P ( x, y ) 是曲线 C 上的一动点则 x ? 2 y 的最大值 ( 3cos ? ? 4sin 2 ?
2

A.3 B.4 C.6 9、若回归直线方程中的回归系数 b ? 0 ,则相关系数 r 满足( A. r =1 B. r = ? 1 C. r =0 10、设 x ? 0, y ? 0, A ? A. A ? B

D.2 ) D.无法确定 )

x? y x y ? , B? ,则 A, B 的大小关系是( 1? x ? y 1? x 1? y
C. A ? B 1 D. A ? B

B. A ? B

东北育才 文科

11、设 a>b>0 ,则 a ?
2

1 1 的最小值是( ? ab a ? a ? b ?
C.3



A.1

B.2

D.4 (写出所有正确命题

12、 若 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 , 则下列不等式对一切满足条件的 a , b 恒成立的是 的编号)___________. ① ab ? 1 ; ② a ? b ? A.①③⑤ 二、

2 ; ③ a 2 ? b 2 ? 2 ; ④ a 3 ? b3 ? 3 ;
B.②③④ C.①③④



1 1 ? ?2 a b

D.②④⑤

填空题(共 4 小 题,每小题 5 分,满分 20 分)

? x ? ?1 ? 2t 13、已知直线 ? (t 为参数)与曲线 ( y ? 2)2 ? x2 ? 1 相交于 AB,点 M(-1,2)到弦 AB 的中点 y ? 2 ? 4 t ?
的距离为_________ __. 14、对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式:

32 ? 1 ? 3 ? 5 42 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 33 ? 7 ? 9 ? 11 43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 2 3 * 根据上述分解规律, 则 5 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 , 若 m (m ? N ) 的分解中最小的数是 73, 则 m 的值为______.
15、已知圆锥曲线 ?

22 ? 1 ? 3 23 ? 3 ? 5

? ? x ? 2 cos ? ( ? 是参数)和定点 A(0, 3 ),F1、F2 是圆锥曲线的左、右焦点,以坐标 ? ? y ? 3 sin ?

原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则直线 AF2 的极坐标方程为 ___________. 16、已知 a ? R ,若关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ? 三、 解答题(共 6 小题,满分 70 分)

1 ? a ? 0 有实根,则 a 的取值范围是 ___________. 4

1 ? ,a 、b ?R , x?2 a b 2 (Ⅰ)用分析法证明: f ( ) ? f ( ) ? ; b a 3
17、 (本题 10 分)设函数 f ( x) ? (Ⅱ)设 a ? b ? 4 ,求证: af (b), bf (a) 中至少有一个大于 18、 (本题 12 分)已知函数 f ( x) =|x-2| ? | x-5|. (I)证明: ? 3 ≤ f ( x) ≤3;
2 (II)求不等式 f ( x) ≥x ? 8 x+15 的解集.

1 . 2

19、 (本题12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生产 能耗 y (吨标准煤)的几组对照数据

x
y

3

4

5
4

6

2.5

3

4.5

? ?a ?; (1)画出散点图;(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性 回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? 2

东北育才 文科

21、 (本题 12 分)已知 A(―1,0) 、B(1,0),P 为圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 上的一点,求 PA ? PB 的最大值和最小值以及对应 P 点的坐标.
2 2

22、 (本题 12 分)如图, A 是以 BC 为直径的 ? O 上一点, AD ? BC 于点 D ,过点 B 作 ? O 的切线, 与 CA 的延长线相交于点 E,G 是 AD 的中点,连结 CG 并延长与 BE 相交于点 F ,延长 AF 与 CB 的延 长线相交于点 P . (Ⅰ)求证: BF ? EF ; (Ⅱ)求证: PA 是 ? O 的切线; (Ⅲ)若 FG ? BF ,且 ? O 的半径长为 3 2 ,求 BD 和 FG 的长度.

3

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数学(文)答案: 一、选择题:CDCB BD ABCBDA

(Ⅰ)欲证 即证

a b 2 f ( )? f ( )? b a 3
? ? ? ? ? ? ?2 分

b a 2 ? ? a ? 2b b ? 2a 3 a 2 ? b 2 ? 4ab 2 ? 只要证 2 2 2a ? 2b ? 5ab 3 b ? a 、 ? R? ,

只要证 3( a 2 ? b 2 ? 4ab ) ? 2(2a2 ? 2b2 ? 5ab)

? ? ? ? ? ? ?4 分 即 a 2 ? b 2 ? 2ab , 2 2 ? ? ?5 分 因为 a ? b ? 2ab 显然成立,故原不等式成立。
(Ⅱ)假设 af (b) ?
?

a 1 b 1 ? , bf (a) ? ? ,? ? ? ? ? ?6 分 b?2 2 a?2 2

由于 a 、 b ? R , ∴ 2 ? b ? 2a, 2 ? a ? 2b , 两式相加得: 4 ? a ? b ? 2a ? 2b ,即 a ? b ? 4 , 与条件 a ? b ? 4 矛盾, 故 af (b), bf (a) 中至少有一个大于

18、 (本题 10 分)已知函数 f ( x) =|x-2| ? | x-5|. (I)证明: ? 3 ≤ f ( x) ≤3; (II)求不等式 f ( x) ≥x2 ? 8 x+15 的解集.

1 . 2

? ? ? ? ? ? ? 10 分

x ? 2, ??3, ? f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 |? ?2 x ? 7, 2 ? x ? 5, ?3, x ? 5. ?
当 2 ? x ? 5时, ?3 ? 2 x ? 7 ? 3. 所以 ?3 ? f ( x) ? 3. (II)由(I)可知, 当 x ? 2时, f ( x) ? x ? 8x ? 15 的解集为空集;
2

………………5 分

{x | 5 ? 3 ? x ? 5} ; 当 2 ? x ? 5时, f ( x) ? x ? 8x ? 15的解集为
2

{x | 5 ? x ? 6} . 当 x ? 5时, f ( x) ? x ? 8x ? 15的解集为
2

4

东北育才 文科

{x | 5 ? 3 ? x ? 6}. 综上,不等式 f ( x) ? x ? 8x ? 15的解集为
2

…………12 分

19、 (本题12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生产 能耗 y (吨标准煤)的几组对照数据

x
y

3

4

5
4

6

2.5

3

4.5

(1)请画出上表数据的散点图;

? ?a ?; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性 回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? 解: (1)如下图

(2)

i ?1

? x i y i =3 ? 2.5+4 ? 3+5 ? 4+6 ? 4.5=66.5

n

n 2 3? 4?5?6 2.5 ? 3 ? 4 ? 4.5 2 2 2 2 =4.5, y = =3.5, ? x = 3 + 4 + 5 + 6 =86 x= i 4 4 i ?1

? ? 66.5 ? 4 ? 4.5 ? 3.5 ? 66.5 ? 63 ? 0.7 , a ? ? 3.5 ? 0.7 ? 4.5 ? 0.35 ? ? Y ? bX b 86 ? 4 ? 4.52 86 ? 81

[来源:学#科#网]

故线性回归方程为 y=0.7x+0.35 (3)根据回归方程的预测,现在生产 100 吨产品消耗的标准煤的数量为 0.7 ? 100+0.35=70.35 故耗能减少了 90-70.35=19.65(吨) 20、 (本题 12 分)已知集合 A= z z ? 1 , (1)求集合 A 中复数 z ? x ? yi 所对应的复平面内动点坐标 ( x, y ) 满足的关系?并在复平面内画出图形。

?

?

5

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(2)若 z ? A ,求 z 取值时, z ? (1 ? i) 取得最大值、最小值,并求 z ? (1 ? i) 的最大值、最小值。 (3)若 B= z z ? ai ? 2 ,且 A ? B ,求实数 a 的取值范围。

?

?

解: (1) x 2 ? y 2 ? 1
y

??6 分 (其中图 1 分)

(2)当 z ?
?

2 2 ? i , z ? (1 ? i) 最小值= 2 ? 1 ?9 分 2 2

o

x

当z ??

2 2 ? i , z ? (1 ? i) 最大值= 2 ? 1 ??12 分 2 2

(3)当 ? 1 ? a ? 1 时, A ? B ??16 分 21、 (本题 12 分)已知 A(―1,0) 、B(1,0),P 为圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 上的一点,求 PA ? PB 的最大值和最小值以及对应 P 点的 坐标.
2 2

? x ? 3 ? 2cos? ? 解:☉ C 的参数方程为 ? ( 为参数), y ? 4 ? 2sin ? ?
PA ? PB = (4 ? 2cos? )2 ? (4 ? 2sin? )2 ? (2 ? 2cos? )2 ? (4 ? 2sin ? )2
2 2

= 60 ? 8(3cos? ? 4sin ? ) ? 60 ? 40sin(? ? ? )
其中 cos ? ?

3 4 ,. sin ? ? 5 5

当 sin(? ? ? ) ? 1 时, PA ? PB 有最大值 100.

2

2

∵ sin(? ? ? ) ? 1 , cos(? ? ? ) ? 0

3 5 4 sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? )sin ? ? 5 21 28 ∴P 点的坐标为( , ). 5 5 cos? ? cos[(? ? ? ) ? ? ] ? cos(? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? )sin ? ?
当 sin(? ? ? ) ? ?1 , PA ? PB 有最小值 20. ∵ sin(? ? ? ) ? ?1 , cos(? ? ? ) ? 0 ,
? ? ? ? 2k? ? ?
2
2 2

cos ? ? cos[(? ? ? ) ? ? ] ? cos(2k? ?
sin? ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? sin(2k? ?

?
2

? ? ) ? ? sin? ? ?

3 5

?
2

? ? ) ? ? cos ? ? ?

4 5,

6

东北育才 文科

∴P 点的坐标为( ,

22、 (本题 12 分)如图, A 是以 BC 为直径的 ? O 上一点, AD ? BC 于点 D ,过点 B 作 ? O 的切线, 与 CA 的延长线相交于点 E,G 是 AD 的中点,连结 CG 并延长与 BE 相交于点 F ,延长 AF 与 CB 的延长线相交于点 P . (Ⅰ)求证: BF ? EF ; (Ⅱ)求证: PA 是 ? O 的切线; (Ⅲ)若 FG ? BF ,且 ? O 的半径长为 3 2 ,求 BD 和 FG 的长度. 【解析】(1)证明:∵ BC 是 ? O 的直径, BE 是 ? O 的切线, ∴ EB ? BC .又∵ AD ? BC ,∴ AD ∥ BE . 易证 △BFC ∽△DGC , △FEC ∽△GAC .

9 12 ). 5 5

BF CF EF CF BF EF ? , ? ? .∴ . DG CG AG CG DG AG ∵ G 是 AD 的中点,∴ DG ? AG .∴ BF ? EF . (2)证明:连结 AO,AB .∵ BC 是 ? O 的直径,∴ ?BAC ? 90° . 在 Rt△BAE 中,由(1) ,知 F 是斜边 BE 的中点, ∴ AF ? FB ? EF .∴ ?FBA ? ?FAB .又∵ OA ? OB ,∴ ?ABO ? ?BAO . ∵ BE 是 ? O 的切线,∴ ?EBO ? 90° . ∵ ?EBO ? ?FBA ? ?ABO ? ?FAB ? ?BAO ? ?FAO ? 90° ,∴ PA 是 ? O 的切线. (3)解:过点 F 作 FH ? AD 于点 H .∵ BD ? AD,FH ? AD ,∴ FH ∥ BC . 由(1),知 ?FBA ? ?BAF ,∴ BF ? AF . 由已知,有 BF ? FG ,∴ AF ? FG ,即 △ AFG 是等腰三角形. HG 1 ∵ FH ? AD ,∴ AH ? GH .∵ DG ? AG ,∴ DG ? 2 HG ,即 ? . DG 2 ∵ FH ∥ BD,BF ∥ AD,?FBD ? 90° ,∴ 四边形 BDHF 是矩形, BD ? FH . FH FG HG BD FG HG 1 ∵ FH ∥ BC ,易证 △HFG ∽△DCG .∴ ? ? ? ? ? . ,即 CD CG DG CD CG DG 2 BD BD BD 1 ∵ ? O 的半径长为 3 2 ,∴ BC ? 6 2 .∴ ? ? ? . CD BC ? BD 6 2 ? BD 2 FG HG 1 ? ? , 解得 BD ? 2 2 .∴ BD ? FH ? 2 2 .∵ CG DG 2 1 ∴ FG ? CG .∴CF ? 3FG . 2 2 2 2 在 Rt△FBC 中,∵ CF ? 3FG , BF ? FG ,由勾股定理,得 CF ? BF ? BC . .∴ FG ? 3 . ∴(3FG)2 ? FG2 ? (6 2)2 .解得 FG ? 3 (负值舍去) [ 或取 CG 的 中点 H , 连 结 DH ,则 CG ? 2 HG . 易 证 △ AFC≌△ DHC, ∴ FG ? HG , 故 CD CG 2 FG 2 CG ? 2 FG, CF ? 3FG .由 GD ∥ FB ,易知 △CDG ∽△CBF ,∴ ? ? ? . CB CF 3FG 3 6 2 ? BD 2 由 ? ,解得 BD ? 2 2 .又在 Rt△CFB 中,由勾股定理,得 3 6 2 ∴
. ] (3FG)2 ? FG2 ? (6 2)2 ,∴ FG ? 3 (舍去负值) E A F G P 7 B


C

D O


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