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2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习课件第十二章 12.6


数学

北(理)

§12.6 离散型随机变量的均 值与方差、正态分布
第十二章 概率、随机变量及其分布

基础知识·自主学习
要点梳理
1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 P(X=ai)=pi(i=1,2,?). (1)均值 EX= a1p1+a2p2+?+xrpr
心位置” .
知识回顾 理清教材

,EX 刻画的是 X 取值的“中

(2)方差
2 E ( X - EX ) DX= 为随机变量 X 的方差,它刻画了随机变量

X 与其均值 EX 的

平均偏离程度 .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
2.二项分布的均值、方差 若 X~B(n,p),则 EX= np ,DX= np(1-p) . 3.正态分布
2 μ 和 σ (1)X~N(μ,σ ),表示 X 服从参数为 的正态分布.
2

知识回顾 理清教材

(2)正态分布密度函数的性质 ①函数图像关于 直线 x=μ 对称; ② σ(σ>0)的大小 决定图像的“胖”“瘦”; ③P(μ-σ<X<μ+σ)= 68.3% ; P(μ-2σ<X<μ+2σ)= 95.4% ; P(μ-3σ<X<μ+3σ)= 99.7% .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1) √ (2) √ (3) √ (4) √

解析

B B
9 16
0.7

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型一
【 例 1】

离散型随机变量的均值、方差
(2013· 浙江)设袋子中装有 a 个红球,b 个黄球,c

个蓝球,且规定:取出一个红球得 1 分,取出一个黄球得 2 分,取出一个蓝球得 3 分. (1)当 a=3,b=2,c=1 时,从该袋子中任取(有放回,且每 球取到的机会均等)2 个球, 记随机变量 ξ 为取出此 2 球所得 分数之和,求 ξ 的分布列; (2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球,记随机变 5 5 量 η 为取出此球所得分数.若 Eη= ,Dη= ,求 a∶b∶c. 3 9

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型一
【 例 1】

离散型随机变量的均值、方差
(2013· 浙江)设袋子中装有 a 个红球,b 个黄球,c

个蓝球,且规定:取出一个红球得 1 分,取出一个黄球得 2 分,取出一个蓝球得 3 分. (1)当 a=3,b=2,c=1 时,从该袋子中任取(有放回,且每 球取到的机会均等)2 个球, 记随机变量 ξ 为取出此 2 球所得 分数之和,求 ξ 的分布列; (2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球,记随机变 5 5 量思维启迪 η 为取出此球所得分数.若 Eη=ξ , Dη= ,求 a∶b∶c. 首先列出随机变量 3 的所有可能的取值, 9

然后计算 ξ 的每个取值的概率.
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题型分类·深度剖析
题型一
【 例 1】

离散型随机变量的均值、方差
(2013· 浙江)设袋子中装有 a 个红球,b 个黄球,c

个蓝球,且规定:取出一个红球得 1 分,取出一个黄球得 2 解 (1)由题意得 ξ=2,3,4,5,6.

3×3 1 2×3×2 1 分,取出一个蓝球得 3 分. 故 P(ξ=2)= = ,P(ξ=3)= = , 4 3 6 × 6 6 × 6 (1)当 a=3,b=2,c=1 时,从该袋子中任取( 有放回,且每 2×3×1+2×2 5 球取到的机会均等 )2 个球, 记随机变量 ξ 为取出此 2 球所得 P(ξ=4)= = , 18 6×6 分数之和,求 ξ 的分布列; 1×1 1 2×2×1 1 P(ξ=6)= )1 个球,记随机变 =36. P从该袋子中任取 (ξ=5)= = , (2) ( 每球取到的机会均等 9 6×6 6×6 5 5 所以 ξ 的分布列为 量 η 为取出此球所得分数.若 Eη= ,Dη= ,求 a∶b∶c. 3 9 ξ 2 3 4 5 6 1 1 5 1 1 P 4 3 18 9 36
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题型分类·深度剖析
题型一 离散型随机变量的均值、方差
【例 1】 (2013· 浙江)设袋子中装有 a 个红球,b 个黄球,c (2)由题意知 η 的分布列为 个蓝球,且规定:取出一个红球得 1 分,取出一个黄球得 2
η 1 分. 2 3 分,取出一个蓝球得 3 a b c (1)当 a=3,b = 2, = 1 时,从该袋子中任取 (有放回,且每 P ac + b + c a+b+c a+b+ c a )2 个球, 2b 记随机变量 3c ξ 为取出此 5 球取到的机会均等 2 球所得 所以 Eη= + + = , 3 a + b + c a + b + c a + b + c 分数之和,求 ξ 的分布列; ? ? ? 5?2 5?2 5?2 a b c 5 ? ? ? ? ? ? 3个球,记随机变 -3 · Dη = 1-3 · + 2-3 · + =9. (2) 从该袋子中任取 ( 每球取到的机会均等 )1 a + b + c a + b + c a + b + c ? ? ? ? ? ? 5 5 ? 量 η 为取出此球所得分数.若 Eη= ,Dη= ,求 a∶b∶c. ?2a-b-4c=0, 3 9 化简得? ? ?a+4b-11c=0.

解得 a=3c,b=2c,故 a∶b∶c=3∶2∶1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【 例 1】

离散型随机变量的均值、方差
(2013· 浙江)设袋子中装有 a 个红球,b 个黄球,c

个蓝球,且规定:取出一个红球得 1 分,取出一个黄球得 2 分,取出一个蓝球得 3 分.

思维升华

(1) 求离散型随机变量的均值与方差关

键是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的 (1) 当 a=3,b=2,c=1 时,从该袋子中任取(有放回,且每
球取到的机会均等 )2 个球, 记随机变量 ξ 为取出此 2 球所得 分布列,正确运用均值、方差公式进行计算. 分数之和,求 ξ 的分布列; (2)注意性质的应用: (2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球,记随机变 若随机变量 X 的期望为 EX,则对应随机变量 aX+b 的 5 5 量 η 为取出此球所得分数.若 Eη 期望是 aEX+b,方差为 a2DX . =3,Dη=9,求 a∶b∶c.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个, 记上 n 号的有 n 个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,ξ 表示所取球的 标号. (1)求 ξ 的分布列、期望和方差; (2)若 η=aξ+b,Eη=1,Dη=11,试求 a,b 的值. 解 (1)ξ 的分布列为

1 1 1 3 2 2 2 Dξ=(0-1.5) ×2+(1-1.5) ×20+(2-1.5) ×10+(3-1.5) ×20 1 2 +(4-1.5) ×5=2.75.
2

2 3 4 1 3 1 P 10 20 5 1 1 1 3 1 ∴Eξ=0×2+1×20+2×10+3×20+4×5=1.5.

ξ

0 1 2

1 1 20

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个, 记上 n 号的有 n 个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,ξ 表示所取球的 标号. (1)求 ξ 的分布列、期望和方差; (2)若 η=aξ+b,Eη=1,Dη=11,试求 a,b 的值.

(2)由 Dη=a2Dξ,得 a2×2.75=11,即 a=± 2.
又 Eη=aEξ+b, 所以当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2. 当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4.
? ?a=2, ∴? ? ?b=-2, ? ?a=-2, 或? ? ?b=4.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【 例 2】

二项分布的均值、方差
(2012· 四川)某居民小区有两
思维启迪 解析 思维升华

个相互独立的安全防范系统 ( 简称系 统)A 和 B, 系统 A 和系统 B 在任意时 1 刻发生故障的概率分别为 和 p. 10 (1) 若在任意时刻至少有一个系统不 49 发生故障的概率为 ,求 p 的值; 50 (2)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中 不发生故障的次数为随机变量 ξ, 求ξ 的分布列及数学期望 Eξ.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【 例 2】

二项分布的均值、方差
(2012· 四川)某居民小区有两
思维启迪 解析 思维升华

个相互独立的安全防范系统 ( 简称系 统)A 和 B, 系统 A 和系统 B 在任意时 1 刻发生故障的概率分别为 和 p. 10 (1) 若在任意时刻至少有一个系统不 49 发生故障的概率为 ,求 p 的值; 50 (2)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中 不发生故障的次数为随机变量 ξ, 求ξ 的分布列及数学期望 Eξ.
基础知识 题型分类

利用对立事件的概率公 式表示(1)中概率可求 p.

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型二
【 例 2】

二项分布的均值、方差
(2012· 四川)某居民小区有两
思维启迪 解析 思维升华

个相互独立的安全防范系统 ( 简称系 统)A 和 B, 系统 A 和系统 B 在任意时 1 刻发生故障的概率分别为 和 p. 10 (1) 若在任意时刻至少有一个系统不 49 发生故障的概率为 ,求 p 的值; 50 (2)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中 不发生故障的次数为随机变量 ξ, 求ξ 的分布列及数学期望 Eξ.
基础知识 题型分类



(1) 设 “ 至 少 有 一 个

系统不发生故障”为事件 C,那么
1 49 1-P( C )=1- · p= , 10 50 1 解得 p=5.
(2)由题意,得 ? ? 1 0 1 3 P(ξ=0)=C3?10? = , 1 000 ? ?
练出高分

思想方法

题型分类·深度剖析
题型二
【 例 2】

二项分布的均值、方差
(2012· 四川)某居民小区有两
思维启迪 解析 思维升华
?

个相互独立的安全防范系统 ( 简称系 统)A 和 B, 系统 A 和系统 B 在任意时 1 刻发生故障的概率分别为 和 p. 10 (1) 若在任意时刻至少有一个系统不 49 发生故障的概率为 ,求 p 的值; 50 (2)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中 不发生故障的次数为随机变量 ξ, 求ξ 的分布列及数学期望 Eξ.
基础知识 题型分类

P(ξ = 1)= C 1 3? 27 = , 1 000

1 ?2 ? 1? ? × ?1- ? 10 10? ? ? ?

P(ξ = 2) = C

2 3

1 × 10

? 1 ?2 243 ×?1-10? = , 1 000 ? ?

P(ξ=3)=C3 3?1- 729 =1 000.
?

?

1 ?3 ? 10?

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【 例 2】

二项分布的均值、方差
(2012· 四川)某居民小区有两
思维启迪 解析 思维升华

个相互独立的安全防范系统 ( 简称系 统)A 和 B, 系统 A 和系统 B 在任意时 1 刻发生故障的概率分别为 和 p. 10 (1) 若在任意时刻至少有一个系统不 49 发生故障的概率为 ,求 p 的值; 50 (2)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中 不发生故障的次数为随机变量 ξ, 求ξ 的分布列及数学期望 Eξ.
基础知识 题型分类

所以,随机变量 ξ 的分布 列为
ξ P 0 1 1 000 1 2 3 27 243 729 1 000 1 000 1 000

故随机变量 ξ 的数学期望 1 27 Eξ = 0× 1 000 + 1× 1 000 243 729 +2×1 000+3×1 000 27 = . 10
练出高分

思想方法

题型分类·深度剖析
题型二
【 例 2】

二项分布的均值、方差
(2012· 四川)某居民小区有两
思维启迪 解析 思维升华

个相互独立的安全防范系统 ( 简称系 统)A 和 B, 系统 A 和系统 B 在任意时 1 刻发生故障的概率分别为 和 p. 10 (1) 若在任意时刻至少有一个系统不 49 发生故障的概率为 ,求 p 的值; 50 (2)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中 不发生故障的次数为随机变量 ξ, 求ξ 的分布列及数学期望 Eξ.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

9 (或∵ξ~B(3, ), 10 9 27 ∴Eξ=3× = .) 10 10

题型分类·深度剖析
题型二
【 例 2】

二项分布的均值、方差
(2012· 四川)某居民小区有两
思维启迪 解析 思维升华

个相互独立的安全防范系统 ( 简称系

求随机变量 X 的期望与

统)A 和 B, 系统 A 和系统 B 在任意时 方差时,可首先分析 X 1 刻发生故障的概率分别为 和 p. 10 (1) 若在任意时刻至少有一个系统不 果 X~B(n,p),则用公 49 发生故障的概率为 ,求 p 的值; 50 (2)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中 的分布列及数学期望 Eξ.
基础知识 题型分类

是否服从二项分布,如

式 EX = np; DX = np(1

可大大减少计 不发生故障的次数为随机变量 ξ, 求 ξ -p)求解, 算量.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 假设某班级教室共有 4 扇窗户,在每天上午第三 节课上课预备铃声响起时,每扇窗户或被敞开或被关闭,且概 率均为 0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为 X. (1)求 X 的分布列; (2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭, 班长就会将 关闭的窗户全部敞开,否则维持原状不变.记每天上午第三节 课上课时该教室里敞开的窗户个数为 Y,求 Y 的数学期望.
解 (1)∵X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,X~B(4,0.5), 1 0 1 4 ∴P(X=0)=C4(2) =16, 1 3 1 1 4 2 1 4 P(X=1)=C4(2) =4,P(X=2)=C4(2) =8, 1 1 3 1 4 4 1 4 P(X=3)=C4(2) =4,P(X=4)=C4(2) =16,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 假设某班级教室共有 4 扇窗户,在每天上午第三 节课上课预备铃声响起时,每扇窗户或被敞开或被关闭,且概 率均为 0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为 X. (1)求 X 的分布列; (2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭, 班长就会将 关闭的窗户全部敞开,否则维持原状不变.记每天上午第三节 课上课时该教室里敞开的窗户个数为 Y,求 Y 的数学期望.
∴X 的分布列为
X P 0 1 16 1 1 4 2 3 8 3 1 4 4 1 16

1 (2)Y 的所有可能取值为 3,4,则 P(Y=3)=P(X=3)=4, 3 1 3 15 P(Y=4)=1-P(Y=3)=4,∴Y 的期望值 EY=3×4+4×4= 4 .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 正态分布的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 在某次大型考试中,某 班同学的成绩服从正态分布 N(80,52),现已知该班同学中成 绩在 80~85 分的有 17 人. 试计 算该班成绩在 90 分以上的同学 有多少人.

基础知识

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题型分类·深度剖析
题型三 正态分布的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 在某次大型考试中,某 班同学的成绩服从正态分布
本题主要考查正态分布及其 应用, 解题关键是要记住正态

N(80,52),现已知该班同学中成 总体取值在区间 (μ - σ , μ + 绩在 80~85 分的有 17 人. 试计 σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,
将所给问 算该班成绩在 90 分以上的同学 μ+3σ)内的概率值, 题转化到上述区间内解决, 同 时要注意对称性的运用和数 形结合思想的应用.

有多少人.

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型三 正态分布的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 在某次大型考试中,某 解 依题意,由 80~85 分的 班 同 学 的 成 绩 服 从 正 态 分 布 同学的人数和所占百分比求 N(80,52),现已知该班同学中成 出该班同学的总数,再求 90 绩在 80~85 分的有 17 人. 试计
分以上同学的人数.

算该班成绩在 90 分以上的同学 ∴μ=80,σ=5,μ-σ=75, 有多少人.
μ+σ=85.

∵成绩服从正态分布 N(80,52),

于是成绩在(75,85)内的同学占 全班同学的 68.3%.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 正态分布的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 在某次大型考试中,某

由正态曲线的对称性知, 成绩 1

班 同 学 的 成 绩 服 从 正 态 分 布 在 (80,85) 内的同学占全班同 N(80,52),现已知该班同学中成 学的 ×68.3%=34.15%. 2 绩在 80~85 分的有 17 人. 试计 设该班有 x 名同学,
解得 x≈50. 算该班成绩在 90 分以上的同学 则 x×34.15%=17,

有多少人.

又 μ-2σ=80-10=70, μ+2σ=80+10=90,
∴成绩在(70,90)内的同学占全 班同学的 95.4%.

基础知识

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练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 正态分布的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 在某次大型考试中,某

∴ 成绩在 (80,90) 内的同学占

班 同 学 的 成 绩 服 从 正 态 分 布 全班同学的 47.7%. N(80,52),现已知该班同学中成 ∴成绩在 90 分以上的同学占 绩在 80~85 分的有 17 人. 试计 全 班 同 学 的 50% - 47.7% = 算该班成绩在 90 分以上的同学 有多少人.
2.3%.即有 50×2.3%≈1(人), 即成绩在 90 分以上的同学仅 有 1 人.

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型三 正态分布的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 在某次大型考试中,某 班同学的成绩服从正态分布 N(80,5 ),现已知该班同学中成 绩在 80~85 分的有 17 人. 试计 算该班成绩在 90 分以上的同学 有多少人.
2

解答此类题目关键是利用正 态曲线的对称性表示出所给 区间的概率.利用对称性转 化区间时,要注意正态曲线 的对称轴是 x=μ, 只有在标 准正态分布下对称轴才为 x =0.

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思想方法

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题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 在某次数学考试中, 考生的成绩 ξ 服从正态分布, 即 ξ~N(100,100),已知满分为 150 分. (1)试求考试成绩 ξ 位于区间(80,120)内的概率; (2)若这次考试共有 2 000 名考生参加, 试估计这次考试及格(不 小于 90 分)的人数.
解 (1)由 ξ~N(100,100)知 μ=100,σ=10.
∴P(80<ξ<120)=P(100-20<ξ<100+20)=0.954, 即考试成绩位于区间(80,120)内的概率为 0.954. (2)P(90<ξ<110)=P(100-10<ξ<100+10)=0.683, 1 ∴P(ξ≥110)=2(1-0.683)=0.158 5,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 在某次数学考试中, 考生的成绩 ξ 服从正态分布, 即 ξ~N(100,100),已知满分为 150 分. (1)试求考试成绩 ξ 位于区间(80,120)内的概率; (2)若这次考试共有 2 000 名考生参加, 试估计这次考试及格(不 小于 90 分)的人数.
∴P(ξ≥90)=0.683+0.158 5=0.841 5. ∴及格人数为 2 000×0.841 5≈1 683(人).

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答题模板系列10 离散型随机变量的均值与方差问题 典例:(12 分)甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球,已知甲 袋中共有 m 个球,乙袋中共有 2m 个球,从甲袋中摸出 1 个球为 2 红球的概率为 ,从乙袋中摸出 1 个球为红球的概率为 P2. 5 (1)若 m=10,求甲袋中红球的个数; (2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后,从中摸出 1 个红球的概率 1 是 ,求 P2 的值; 3 1 (3)设 P2= ,若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球,每次摸出 1 5 个球,并且从甲袋中摸 1 次,从乙袋中摸 2 次.设 ξ 表示摸出红 球的总次数,求 ξ 的分布列和均值.
思 维 启 迪
基础知识

规 范 解 答
题型分类

答 题 模 板
思想方法

温 馨 提 醒
练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列10
思 维 启 迪

离散型随机变量的均值与方差问题
规 范 解 答 答 题 模 板 温 馨 提 醒

(1)概率的应用, 知甲袋中总球数为 10 和摸 1 个为红球的概率, 求红球.(2)利用方程的思想,列方程求解. (3)求分布列和均 值,关键是求 ξ 的所有可能值及每个值所对应的概率.

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列10
思 维 启 迪

离散型随机变量的均值与方差问题
规 范 解 答

答 题 模 板 温 馨 提 醒 2 3分 解 (1)设甲袋中红球的个数为 x,依题意得 x=10× =4. 5 2 5m+2mP2 1 3 6分 (2)由已知,得 = ,解得 P . 2= 3m 3 10 3 4 4 48 (3)ξ 的所有可能值为 0,1,2,3.P(ξ=0)=5×5×5=125, 2 4 4 3 1 4 56 1 P(ξ=1)=5×5×5+5×C2×5×5=125,
2 1 4 3 ?1?2 19 2 ?1?2 2 1 P(ξ=2)=5×C2×5×5+5×?5? =125,P(ξ=3)=5×?5? =125. ? ? ? ? 所以 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 48 56 19 2 P 125 125 125 125 48 56 19 2 4 所以 Eξ=0×125+1×125+2×125+3×125=5.
基础知识 题型分类 思想方法
8分

10分 12分

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列10
思 维 启 迪

离散型随机变量的均值与方差问题
规 范 解 答 答 题 模 板 温 馨 提 醒

求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤: 第一步:确定随机变量的所有可能值. 第二步:求每一个可能值所对应的概率. 第三步:列出离散型随机变量的分布列. 第四步:求均值和方差.
第五步:反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列10
思 维 启 迪

离散型随机变量的均值与方差问题
规 范 解 答 答 题 模 板 温 馨 提 醒

(1)本题重点考查了概率、离散型随机变量的分布列、均值. (2)本题 解答中的典型错误是计算不准确以及解答不规范.如第 (3)问中,不 明确写出 ξ 的所有可能值,不逐个求概率,这都属于解答不规范 .

基础知识

题型分类

思想方法

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思想方法·感悟提高

方 法 与 技 巧

1.均值与方差的常用性质.掌握下述有关性质,会给解 题带来方便: (1)E(aξ+b)=aEξ+b;E(ξ+η)=Eξ+Eη;D(aξ+b)= a2Dξ; (2)若 ξ~B(n,p),则 Eξ=np,Dξ=np(1-p).

基础知识

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思想方法

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2.基本方法 (1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准

方 法 与 技 巧

差,可直接按定义(公式)求解; (2)已知随机变量 ξ 的均值 、方差,求 ξ 的线性函数 η=aξ+b 的均值、方差和标准差,可直接用 ξ 的均 值、方差的性质求解; (3) 如能分析所给随机变量是服从常用的分布 ( 如二 项分布),可直接利用它们的均值、方差公式求解.

基础知识

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思想方法

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思想方法·感悟提高
3.关于正态总体在某个区域内取值的概率求法 (1)熟记 P(μ-σ<X<μ+ σ),P(μ-2σ<X<μ+2σ) ,P(μ- 3σ<X<μ+3σ)的值. (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积 为 1. ①正态曲线关于直线 x=μ 对称, 从而在关于 x=μ 对称 的区间上概率相等. ②P(X<a)=1-P(X≥a),P(x<μ-a)=P(X≥μ+a). (3)3σ 原则: 在实际应用中, 通常认为服从正态分布 N(μ, σ2)的随机变量只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的值,取该区间 外的值的概率很小,通常认为一次试验几乎不可能发 生.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

方 法 与 技 巧

思想方法·感悟提高

失 误 与 防 范

1.在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式.

2.对于应用问题,必须对实际问题进行具体分析, 一般要将问题中的随机变量设出来,再进行分 析,求出随机变量的分布列,然后按定义计算出 随机变量的均值、方差.

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1 2 3

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4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

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1 2 3

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专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1.正态总体 N(1,9)在区间(2,3)和(-1,0)上取值的概率分别为 m,n, 则 A.m>n B.m<n C.m=n ( C ) D.不确定

解析 正态总体 N(1,9)的曲线关于 x=1 对称,区间(2,3)与(-1,0) 到对称轴距离相等,故 m=n.

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1 2 3

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专项基础训练
5 6 7 8 9 10

2.已知某一随机变量 X 的分布列如下,且 EX=6.3,则 a 的值 为 X P A.5 B. 6 4 0.5 C.7 a 0.1 9 b D.8 ( C )

解析 由分布列性质知:0.5+0.1+b=1,∴b=0.4.
∴EX=4×0.5+a×0.1+9×0.4=6.3,∴a=7.

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1 2 3

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专项基础训练
5 6 7 8 9 10

3.(2013· 湖北)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体, 切割为 125 个同样大小的小正方体,经过搅拌后, 从中随机取一个小正方体,记它的油漆面数为 X, 则 X 的均值 EX 等于 126 6 A. B. 125 5
解析

( B ) 168 C. 125 7 D. 5

125 个小正方体中 8 个三面涂漆,36 个两面涂漆,

54 个一面涂漆,27 个没有涂漆,
∴从中随机取一个正方体,涂漆面数 X 的均值 54 36 8 150 6 EX= ×1+ ×2+ ×3= = . 125 125 125 125 5
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专项基础训练
5 6 7 8 9 10

4.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没 有发芽的种子,每粒需再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为 A.100 B.200 C.300 D.400 ( B )

解析

记“不发芽的种子数为 ξ”,

则 ξ~B(1 000,0.1),所以 Eξ=1 000×0.1=100, 而 X=2ξ,故 EX=E(2ξ)=2Eξ=200.

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4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

5.一射手对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中的概率都 为 0.6,现有 4 颗子弹,则射击停止后剩余子弹的数目 X 的均 值为 A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4 ( C )

解析

X 的所有可能取值为 3,2,1,0,其分布列为

X P

3 0.6

2

1

0

0.24 0.096 0.064

∴EX=3×0.6+2×0.24+1×0.096+0×0.064=2.376.
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专项基础训练
5 6 7 8 9 10

6.从装有 3 个红球、2 个白球的袋中随机取出 2 个球,设其中有 X 个红球,则随机变量 X 的分布列为 X P 0 1 2

0.1

0.6

0.3

解析

2 C2 P(X=0)= 2=0.1, C5

1 1 2 C3 · C2 6 C3 P(X=1)= C2 =10=0.6,P(X=2)=C2=0.3. 5 5

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专项基础训练
5 6 7 8 9 10

7.已知随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ=k)=

1 2k

-1

,k=1,2,3,?,n,

7 16 则 P(2<ξ≤5)=________.

解析 P(2<ξ≤5)=P(ξ=3)+P(ξ=4)+P(ξ=5) 1 1 1 7 =4+8+16=16.

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专项基础训练
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8.已知某次英语考试的成绩 X 服从正态分布 N(116,64),则 10 000 名考生中成绩在 140 分及以上的人数为________ 13 .
解析 由已知得 μ=116,σ=8.

∴P(92<X<140)=P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997,

1 ∴P(X≥140)= (1-0.997)=0.001 5, 2
∴成绩在 140 分以上的人数为 15.

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9. 某超市为了响应环保要求, 鼓励顾客自带购物袋到超市购物, 采取了如下措施: 对不使用超市塑料购物袋的顾客, 超市给 予 9.6 折优惠;对需要超市塑料购物袋的顾客,既要付购买 费, 也不享受折扣优惠. 假设该超市在某个时段内购物的人 数为 36 人,其中有 12 位顾客自己带了购物袋,现从这 36 人中随机抽取两人. (1)求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率; (2)设这两人中享受折扣优惠的人数为 ξ, 求 ξ 的分布列和数 学期望.
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专项基础训练
5 6 7 8 9 10



(1)设“两人都享受折扣优惠”为事件 A,

“两人都不享受折扣优惠”为事件 B,
2 C12 11 C2 46 24 则 P(A)= 2 = ,P(B)= 2 = . C36 105 C36 105

因为事件 A,B 互斥, 11 46 57 19 则 P(A+B)=P(A)+P(B)= + = = . 105 105 105 35
19 故这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是 . 35
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1 2 3

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专项基础训练
5 6 7 8 9 10

(2)据题意,得 ξ 的可能取值为 0,1,2.
1 46 C12 C1 48 24 其中 P(ξ=0)=P(B)= ,P(ξ=1)= 2 = , 105 C36 105

11 P(ξ=2)=P(A)= . 105 所以 ξ 的分布列为

ξ P

0 46 105

1 48 105

2 11 105

46 48 11 70 2 所以 Eξ=0× +1× +2× = = . 105 105 105 105 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

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4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

10.为了某项大型活动能够安全进行,警方从武警训练基地挑选 防爆警察,从体能、射击、反应三项指标进行检测,如果这 三项中至少有两项通过即可入选.假定某基地有 4 名武警战 士(分别记为 A、B、C、D)拟参加挑选,且每人能通过体能、 2 2 1 射击、反应的概率分别为 , , .这三项测试能否通过相互之 3 3 2 间没有影响. (1)求 A 能够入选的概率; (2)规定:按入选人数得训练经费(每入选 1 人,则相应的训练 基地得到 3 000 元的训练经费),求该基地得到训练经费的分 布列与数学期望.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10



(1)设 A 通过体能、射击、反应分别记为事件 M、N、P,

则 A 能够入选包含以下几个互斥事件: MN P , M N P,M NP, MNP.
∴P(A)=P(MN P )+P(M N P)+P( M NP)+P(MNP)

2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 12 2 =3×3×2+3×3×2+3×3×2+3×3×2=18=3. 2 所以,A 能够入选的概率为 . 3
(2)记 ξ 表示该训练基地得到的训练经费,则 ξ 的所有可能值为 0, 3 000,6 000,9 000,12 000. ? 2?4 1 P(ξ=0)=?1-3? =81, ? ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

A组
4
? ?? ? ?3??3?

专项基础训练
5 6 7 8
? ? ? ? ?3? ?3? ? ? ?3?

9

10

P(ξ=3
P(ξ=9

1?2??1?3 000)=C4 =

8 , 81

P(ξ=6

24 2 2 2 1 2 ? ? ? ? 000)=C4 = , 81 16 4 2 4 ? ? 000)=C4 = , 81

32 3 2 3 1 ? ? ? ? 000)=C4 = ,
?3? ?3?

? ? ? ?

81

P(ξ=12

ξ 的分布列为 ξ P 0 1 81 3 000 8 81 6 000 24 81 9 000 32 81 12 000 16 81

8 24 32 16 Eξ=3 000× +6 000× +9 000× +12 000× =8 000(元). 81 81 81 81
所以,该基地得到训练经费的数学期望为 8 000 元.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

基础知识

题型分类

思想方法

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1
2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

1.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不 得分的概率为 c(a、b、c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为 2, 2 1 则a+ 的最小值为 ( ) 3b 32 28 14 16 A. B. C. D. 3 3 3 3

解析 由已知得,3a+2b+0×c=2,
2 即 3a+2b=2,其中 0<a<3,0<b<1.

2 1 3a+2b?2 1 ? ? + ? 又 + = a 3b 2 ?a 3b?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

1.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不 得分的概率为 c(a、b、c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为 2, 2 1 则a+ 的最小值为 ( D ) 3b 32 28 14 16 A. B. C. D. 3 3 3 3

1 2b a 10 =3+ + a + ≥ +2 3 2b 3

2b a 16 = , a· 2b 3

2b a 当且仅当 a =2b,即 a=2b 时取“等号”,
1 1 2 1 16 又 3a+2b=2,即当 a=2,b=4时,a+3b的最小值为 3 ,故选 D.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1
2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

2.若 p 为非负实数,随机变量 ξ 的分布列如下表,则 Eξ 的最
3 2 1 大值为________ ,Dξ 的最大值为________.

ξ P

0 1 -p 2

1 p

2 1 2

解析

3 1 Eξ=p+1≤2(0≤p≤2);Dξ=-p2-p+1≤1.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1
2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

3.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了 2 个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 ,得到乙、 3 丙两公司面试的概率均为 p, 且三个公司是否让其面试是相互独 1 立的,记 X 为该毕业生得到面试的公司个数.若 P(X=0)= , 12 则随机变量 X 的数学期望 EX=________.
1 1 1 2 解析 由题意知 P(X=0)=3(1-p) =12,∴p=2. 随机变量 X 的分布列为
X P 0 1 12 1 1 3 2 5 12 3 1 6

基础知识

题型分类

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1
2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

3.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了 2 个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 ,得到乙、 3 丙两公司面试的概率均为 p, 且三个公司是否让其面试是相互独 1 立的,记 X 为该毕业生得到面试的公司个数.若 P(X=0)= , 12
5 3 则随机变量 X 的数学期望 EX=________.

1 1 5 1 5 EX=0× +1× +2× +3× = . 12 3 12 6 3

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1
2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

4.马老师从课本上抄录一个随机变量 ξ 的分布列如下表: x P(ξ=x) 1 ? 2 ! 3 ?

请小牛同学计算 ξ 的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且 两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相

2 同.据此,小牛给出了正确答案 Eξ=________.
解析 设“?”处的数值为 x,则“!”处的数值为 1-2x,则
Eξ=1· x+2×(1-2x)+3x=x+2-4x+3x=2.

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1
2

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专项能力提升
3 4 5 6

5.某保险公司新开设一项保险业务,规定该份保单,在一年 内如果事件 E 发生,则该公司要赔偿 a 元,在一年内如果 a 事件 E 发生的概率为 p,为使该公司收益期望值等于 , 10
a?10p+1? 公司应要求该保单的顾客缴纳的保险金为________ 元. 10

解析 =p,

设随机变量 X 表示公司此项业务的收益额,x 表示顾客交纳的保

险金,则 X 的所有可能值为 x,x-a,且 P(X=x)=1-p,P(X=x-a)
a?10p+1? a 所以 EX=x(1-p)+(x-a)p=10,得 x= . 10

基础知识

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1
2

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专项能力提升
3 4 5 6

6.(2013· 福建)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙 2 两种抽奖方案,方案甲的中奖率为 ,中奖可以获得 2 分; 3 2 方案乙的中奖率为 ,中奖可以获得 3 分;未中奖则不得 5 分. 每人有且只有一次抽奖机会, 每次抽奖中奖与否互不影 响,晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们 的累计得分为 X,求 X≤3 的概率; (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽 奖, 问: 他们选择何种方案抽奖, 累计得分的数学期望较大?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1
2

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专项能力提升
3 4 5 6



方法一

2 (1)由已知得,小明中奖的概率为 ,小红中奖的 3

2 概率为 ,且两人中奖与否互不影响. 5
记“这 2 人的累计得分 X≤3”的事件为 A, 则事件 A 的对立事件为“X=5”, 2 2 4 因为 P(X=5)=3×5=15, 11 所以 P(A)=1-P(X=5)=15,

11 即这 2 人的累计得分 X≤3 的概率为15.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1
2

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专项能力提升
3 4 5 6

(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为 X1,都选择方 案乙抽奖中奖次数为 X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分 的数学期望为 E(2X1), 选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 E(3X2).

2 2 由已知可得,X1~B(2, ),X2~B(2, ), 3 5 2 4 2 4 所以 EX1=2× = ,EX2=2× = , 3 3 5 5
8 12 从而 E(2X1)=2EX1= ,E(3X2)=3EX2= , 3 5
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

因为 E(2X1)>E(3X2),
所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较 大.

方法二

2 (1)由已知得,小明中奖的概率为 ,小红中奖的概率 3

2 为5,且两人中奖与否互不影响.

记“这 2 人的累计得分 X≤3”的事件为 A,
则事件 A 包含有“X=0”,“X=2”,“X=3”三个两两互 斥的事件,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

2 2 1 2 2 2 因为 P(X=0)=(1- )×(1- )= ,P(X=2)= ×(1- )= , 3 5 5 3 5 5 2 2 2 P(X=3)=(1- )× = , 3 5 15 11 所以 P(A)=P(X=0)+P(X=2)+P(X=3)=15,

11 即这 2 人的累计得分 X≤3 的概率为15.
(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 X1,都选 择方案乙所获得的累计得分为 X2,则 X1,X2 的分布列如下:

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练出高分

练出高分
1
2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

X1 P

0 1 9

2 4 9

4 4 9

X2 P

0 9 25

3 12 25

6 4 25

1 4 4 8 所以 EX1=0× +2× +4× = , 9 9 9 3 9 12 4 12 EX2=0×25+3×25+6×25= 5 .

因为 EX1>EX2,
所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分


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