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高考专题:函数定义域、值域、奇偶性


2016 年高考专题:函数定义域、值域、奇偶性 一、函数的定义域 1、 常规型: 给出函数解析式, 由函数解析式有意义列出关于自变量的不等式 (组) , 解此不等式(组)即得。 【例】求函数 y ? sin x ? 1 16 ? x 2 的定义域 2、抽象型:指没有给出函数解析式,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求 另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。 【例 1 】已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 [0 , 2 ) ,则函数 f ( x 2 ? 1) 的定义域为 ______________。 【例 2 】已知函数 y ? f (2 x? 1)的定义域为 [1 , 2] ,则函数 f ( x) 的定义域为 ______________。 【例 3】已知函数 f (cos x ?1) ? sin 2 x ? cos x ? 1 ,求 f ( x) 。 3、逆向型:即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于 已知定义域为 R,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 【例 1】已知函数 y ? mx 2 ? 6mx ? m ? 8 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围。 【例 2】已知函数 f ( x) ? lg( x2 ? ax ? a ? 1) 的定义域为[0,2) ,求实数的取值范围。 4、实际问题型:这里函数的定义域除满足解析式外,还要注意问题的实际意义 对自变量的限制,这点要加倍注意,并形成意识。 【例】在△ABC 中,BC=2,AB+AC=6.若 AB 的长为 x,中线 AD 的长为 y,试 建立 y 与 x 的函数关系,并指出其定义域。 5、参数型:对于含参数的函数,求定义域时,必须对分母分类讨论。 【例】已知函数 f ( x) 的定义域为[0,1],求函数 F ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? a) 的定义 域。 6、隐含型:有些问题从表面上看并不求定义域,但是不注意定义域,往往导致 错解,事实上定义域隐含在问题中,例如函数的单调区间是其定义域的子集。因 此,求函数的单调区间,必须先求定义域。 【例】求函数 y ? log2 (? x2 ? 2x ? 3) 的单调区间。 二、函数的值域 1、配方法:如果 f ( x) 是二次函数或是可以化为二次函数的函数,那么可以用配 方法求值域。在利用二次函数配方时,要特别注意中间变量的取值范围。 【例】求函数 y ? 2x?2 ? 3 ? 4x (?1 ? x ? 0) 的值域。 2、不等式法:不等式法包括利用不等式性质求值域和利用基本不等式求值域。 【例 1】求函数 y ? x2 ? x 的值域。 x2 ? x ? 1 【例 2 】若 x2 ? y 2 ? 1,则 xy 的取值范围是 ___________ ; x ? y 的取值范围是 ____________。 3、单调性法:若函数 y ? f ( x) 在定义域 D 上是单调函数,则可利用函数单调性 求出其值域。 【例】求函数 y ? x ? 1 ? x ?1 的值域 4、反函数法: 【例】求函数 y ? 1 ? x2 的值域。 1 ? x2 5、数形结合法:利用某些具体函数的图像特征可求得函数的值域。当因变量所 表示的量为斜率、截距、距离(两点间距离、点到直线距离)时,或函数解析式 可作为圆锥曲线(或其一部分)的方程,如 y ? 1 ? x2 (半圆) 、 y ? 1 ? 3x 2 (半 椭圆) 、 y ? 1 ? 3x 2 (部分双曲线) 、

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