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高考文科数学基础题练习大全


高考数学部分知识点汇编 高考数学部分知识点汇编 部分
一.集合与简易逻辑 1.注意区分集合中元素的形式. 1.注意区分集合中元素的形式. 注意区分集合中元素的形式 如: {x | y = lg x} —函数的定义域; 2.集合的运算及性质: 2.集合的运算及性质: 集合的运算及性质 ①任何一个集合 A 是它本身的子集,记为 A ? A . ②空集是任何集合的子集,记为 ? ? A . 是它本身的子集, 空集是任何集合的子集, ③空集是任何非空集合的真子集; 空集是任何非空集合的真子集; 注意点: 注意点:当 A ? B ,在讨论的时候不要遗忘了 A = ? 的情况 真子集(非空子集) ④含 n 个元素的集合的子集个数为 2n ;真子集(非空子集)个数为 2n ? 1 ;非空真子集个数为 2n ? 2 . 3.命题: 命题: 1)会判断充分性必要性 会判断充分性必要性 已知 α:x ≥ a , β:|x ? 1|< 1 .若 α 是 β 的必要非充分条件,则实数 a 的取值范围是 a ≤ 0 在△ABC 中, c cos B = b cos C ”是“△ABC 是等腰三角形”的( A “ (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 2)推出关系转化为子集问题 已知 a ∈ R ,命题 p : 实系数一元二次方程 x + ax + 2 = 0 的两 根都是虚数;命题 q : 存在复数 z 同时满足
2

{ y | y = lg x} —函数的值域; {( x, y) | y = lg x} —函数图象上的点集.

) (D)既不充分也不必要条件

(C)充分必要条件

z = 2 且 z + a =1.

[来源:学科网]

试判断:命题 p 和命题 q 之间是否存在推出关系?请说明你的理由 二.函数

1.函数的三要素:________,__________,________, 1.函数的三要素: 函数的三要素 注意:求函数的定义域或值域, 注意:求函数的定义域或值域,最后结果一定要用 表示。 表示。

2.求定义域 使函数解析式有意义( 偶次根式被开方数非负 方数非负; 2.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母 ≠ 0 ;偶次根式被开方数非负;对数真数 > 0 ,底数 > 0 且 ≠ 1 ; 求定义 解析式有意义 零指数幂 实际问题有意义; 的底数 ≠ 0 );实际问题有意义; 3.已知两个函数,若求它们的和函数或积函数,除了用运算求解析式外,最后的定义域必须是原两个函数定义 已知两个函数,若求它们的和函数或积函数,除了用运算求解析式外, 域的 集。 . ( , 2)

函数 f ( x ) = log 2 (4 x ? 3) ? log 2 (2 ? x) 的定义域是___ 3.求值域常用方法: 3.求值域常用方法: 求值域常用方法 (看图像 (1)常用函数的值域。 看图像,读值域) 常用函数的值域。 看图像,读值域) ( 已知函数 f ( x) = arcsin x 的定义域为 [?

3 4

1 π π , 1] ,则此函数的值域为 [ ? , ] 。 6 2 2
-1-

(2)化归为常见函数求值域(注意换元后的定义域补充) 化归为常见函数求值域(注意换元后的定义域补充) 若关于 x 的不等式 a ? ta
x x x ?x

+ 3 < 0, (a > 0, a ≠ 1) 有实数解,则实数 t 的取值范围是



已知 f ( x) = 4 ? k ? 2 + 1 ,当 x ∈ R 时, f (x ) 恒为正值,则 k 的取值范围是



注意点:遇到恒成立与有解问题,基本的思想方法就是参变分离, 注意点:遇到恒成立与有解问题,基本的思想方法就是参变分离,注意分辨所求最值在这两类问题中的差异 参变分离的实质为数形结合 (3)利用单调函数求的值域。 利用单调函数求的值域。 单调函数 函数 f ( x ) =

x + x ? 2 的最小值是

4.函数的奇偶性和单调性 4.函数的奇偶性和单调性 (1)用定义证明函数是偶函数(或奇函数)的步骤: 用定义证明函数是偶函数(或奇函数)的步骤: 判断函数奇偶性可用定义的等价形式: 定义域含零的奇函数必过原点( 定义域含零的奇函数必过原点( f (0) = 0 );判断函数奇偶性可用定义的等价形式: f ( x) ± f (? x) = 0 或
f (? x) f ( x)

= ±1( f ( x) ≠ 0) ;

5.函数图象的几种常见变换 ( 而言) ⑴平移变换:左右平移---“左加右减” 注意是针对 x 而言) 平移变换:左右平移---“左加右减” --; 上下平移---“上加下减” 而言). 上下平移---“上加下减”(注意是针对 f ( x ) 而言). --⑵翻折变换: f ( x) →| f ( x) | ; f ( x) → f (| x |) . 翻折变换: (变量之和为常数 ⑶对称变换: 变量之和为常数) 对称变换: 变量之和为常数) ( ①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上. 证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心( 的对称点仍在图像上. 的对称性, 上任意点关于对称中心( 反之亦然. ②证明图像 C1 与 C2 的对称性,即证 C1 上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在 C2 上,反之亦然. 对称; ③函数 y = f ( x) 与 y = f (? x) 的图像关于直线 x = 0 ( y 轴)对称; 对称; 函数 y = f ( x) 与函数 y = f (? x) 的图像关于直线 y = 0 ( x 轴)对称; 恒成立, ④若函数 y = f ( x) 对 x ∈ R 时,f (a + x) = f (a ? x) 或 f ( x) = f (2a ? x) 恒成立,则 y = f ( x) 图像关于直线 x = a 对称; 对称; 6.指对数: 指对数: 1)对数运算性质及换底公式 注意点: 注意点:对底数讨论及真数大于 0 7.反函数 1)会求反函数(两部曲) 会求反函数(两部曲) 2)对数函数 3)会解指对数不等式

-2-

已知函数 y = f ?1 ( x) 是函数 f ( x) = 2 x ?1 ( x ≥ 1) 的反函数,则 f ?1 ( x) = y = 1 + log 2 x( x  1) 2)会研究反函数的图像 设 f ( x ) 的反函数为 f ? ( x ) ,若函数 f ( x ) 的图像过点 (1, 2) ,且 f ? ( 2 x + 1) = 1 , 若函数 y = f (x ) 与 y = e
x +1
?1 ?1

则x=

1 2



的图像关于直线 y = x 对称 ,则 f ( x ) = 三.数列

f ( x) = ln x ? 1, ( x > 0) .

? S1 ( n = 1) ? 1.由 1.由 Sn 求 an , an = ? * ? S n ? S n ?1 (n ≥ 2, n ∈ N ) ?
数列 {an } 满足 a1 = 4, S n + S n +1 = an +1 ,求 an (答: an =
3 5

{

4(n = 1) ). 3 ? 4n ?1 (n ≥ 2)

已知等比数列前 n 项和公式 S n = 2

n +3

+ c ,则 c =

注意点: 的公式中,若不符合要单独列出. 注意点:验证 a1 是否包含在后面 an 的公式中,若不符合要单独列出. 2.等差数列(1)定义: 2.等差数列(1)定义: a n ? a n ?1 = d ( n ≥ 2) ? {a n }成等差数列 等差数列(1)定义 (2)通项公式: (2)通项公式: a n = a1 + ( n ? 1) d = An + B 通项公式 (3)前 项和公式: (3)前 n 项和公式: S n = 推广: 推广: a n = a m + ( n ? m) d

a1 + a n n(n ? 1) ? n = na1 + d = An 2 + Bn 2 2

为常数) 等差数列 {an } ? an ? an ?1 = d ( d 为常数) ? 2an = an +1 + an ?1 (n ≥ 2, n ∈ N *)

? an = an + b(a = d , b = a1 ? d ) ? S n = An 2 + Bn( A = , B = a1 ? ) ;
2 2

d

d

3.等差数列的性质: 3.等差数列的性质: 等差数列的性质 ① an = am + (n ? m)d ,

d=

am ? a n m?n



反之不一定成立) ② m + n = l + k ? am + an = al + ak (反之不一定成立);当 m + n = 2 p 时 , 有 am + an = 2a p ; 仍是等差数列; ③等差数列, Sm , S 2 m ? S m , S3m ? S 2 m ,LL 仍是等差数列; 等差数列, 若数列 {an } 为等差数列,且 a1 + 3a8 + a15 = 120 ,则 2a9 ? a10 的值等于 24 .

已知数列 {an } 是以 ?15 为首项, 2 为公差的等差数列,则数列 {S n } 的最小项为第

8

项.

4.等比数列(1)定义: 4.等比数列(1)定义: 等比数列(1)定义

an = q(n ≥ 2, a n ≠ 0, q ≠ 0) ? {a n }成等比数列 a n?1

-3-

(2)通项公式: (2)通项公式: a n = a1q 通项公式

n ?1

na1 (q = 1) ? ? n (3)前 (3)前 n 项和 S n = ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q = (q ≠ 1) ? 1? q 1? q ?

5.等比数列的性质 5.等比数列的性质 是等比数列, 等也是等比数列; ① 若 {an } 、 {bn } 是等比数列,则 {kan } 、 {anbn } 等也是等比数列;
? na 1 (q = 1) ?na 1 (q = 1) ? ② S n = ? a (1 ? q n ) a ? a q = ? a1 n a1 ? 1 1 n ? 1 ? q = 1 ? q (q ≠ 1) ?? 1 ? q q + 1 ? q ( q ≠ 1) ? ?

反之不一定成立) ③ m + n = l + k ? am an = al ak (反之不一定成立); 0)仍是等比数列 仍是等比数列. ④ 等比数列中 Sm , S 2 m ? S m , S3m ? S 2 m ,LL (注:各项均不为 0)仍是等比数列. 各项都为正数的等比数列 {a n } 中, a1 = 1 , a 2 + a 3 = 27(

1 1 + ) ,则通项公式 a n = 3 n ?1 a 2 a3



6.数列的通项的求法:⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式. 数列的通项的求法: 公式法: 等差数列通项公式; 等比数列通项公式. ⑵已知 Sn 求 an

? S1 ,( n = 1) 用作差法: 用作差法: an = ? . ? S n ? S n ?1 ,(n ≥ 2)

? f (1),(n = 1) ? 用作商法: ⑶已知 a1 ? a2 ? L ? an = f (n) 求 an 用作商法: an = ? f ( n) ,(n ≥ 2) . ? f ( n ? 1) ?
⑷若 an +1 ? an = f (n) 求 an 用迭加法. 用迭加法.

an +1
⑸已知
an

用迭乘法. = f (n) ,求 an 用迭乘法.

(倒数构造等差 构造等比) (6)构造法: 倒数构造等差、设 k 构造等比) 构造法: 倒数构造等差、 ( 数列 {a n } , a1 = 2 , a n +1 = 3a n + 4, ( n ∈ N ) ,求通项公式 a n 。 数列 {a n } , a1 =

1 * , 3a n a n +1 + a n ? a n ?1 = 0, ( n ≥ 2, n ∈ N ) ,求通项公式 a n 。 2

8.数列求和的方法: 8.数列求和的方法: 数列求和的方法 ①公式法:等差数列,等比数列求和公式; 公式法:等差数列,等比数列求和公式;
1

②分组求和法; 分组求和法;

③倒序相加; 倒序相加;

④错位相减; 错位相减;

裂项求和: ⑤ 裂项求和: 9. 数列的极限 (1)两种形式

n ( n + 1)

=

1 n

?

1 n +1

;注意点:注意验证裂项后的值 注意点:

-4-

(1) lim

? 3n 2 + 6n = n →∞ 2 n 2 + 3n ? 5

。 (2)求 lim

2a n ? 3 n 时,要分 n → ∞ 4a n + 3 n
n

三种情况讨论

无穷等比数列各项和存在的条件

注意点: 注意点:区分与

lim q
n →∞

存在的条件 . ( ,1) U (1,+∞)

若无穷等比数列 {an } 的各项和等于 a12 ,则 a1 的取值范围是 9、数学归纳法 (1)用数学归纳法证明“ 2 (2)已知 f ( n) = 1 + A、
n +1

1 2

≥ n 2 + n + 2, ( n ∈ N * ) ”时,第一步应证明



1 3n + 1

1 1 1 + +L+ (n ∈ N ) ,则 f (n + 1) ? f (n) =( ) 。 2 3 3n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + B、 C、 D、 3n 3n + 1 3n + 1 3n + 2 3n 3n + 1 3n + 2
四.三角函数

1. α 终边与 θ 终边相同 ? α = θ + 2kπ (k ∈ Z ) ;

α 终边与 θ 终边共线 ? α = θ + kπ (k ∈ Z ) ; α 终边与 θ 终边关于 x 轴对称 ? α = ?θ + kπ (k ∈ Z ) ; α 终边与 θ 终边关于 y 轴对称 ? α = π ? θ + 2kπ (k ∈ Z ) ;

α 终边与 θ 终边关于原点对称 ? α = π + θ + 2kπ (k ∈ Z ) ; α 终边与 θ 终边关于角 β 终边对称 ? α = 2 β ? θ + 2kπ (k ∈ Z ) .
2.弧长公式: 2.弧长公式: l =| θ | r ; 弧长公式 扇形面积公式: 扇形面积公式: S扇形 = 1 lr = 1 | θ | r 2 ;
2 2

1 弧度( 1rad )≈ 57.3° . 弧度(

注意点: 注意点:计算机使用时注意角度制与弧度制 对于诱导公式,可用“奇变偶不变,符号看象限”概括; 注意:公式中始终视 . ... 3. 对于诱导公式,可用“奇变偶不变,符号看象限”概括;(注意:公式中始终视 α 为锐角) ... . 角的变换:已知角与特殊角、已知角与目标角、 与其倍角或半角、两角与其和差角等变换. 4. 角的变换:已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角 与其倍角或半角、两角与其和差角等变换. 如: α = (α + β ) ? β ; 2α = (α + β ) + (α ? β ) ; 2α = ( β + α ) ? ( β ? α ) ; α + β = 2 ? 已知 0 < α <
α +β

等;
2

π π 3 3 , ? < β < 0 , cos(α ? β ) = ,且 tan α = ,则 sin β = 2 2 5 4
b

.?

7 25

辅助角公式: 5. 辅助角公式: a sin x + b cos x = a 2 + b 2 sin( x + ? ) 其中 tan ? = 6.降幂公式 sin2 α = 1 ? cos2α ; cos 2 α =
2
1 + cos 2α

; )
a


2

熟知正弦、余弦、正切的和、 倍公式, 余弦定理, 7. 熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式, 正、余弦定理,

-5-

a

正弦定理: 正弦定理:
sin A

=
1

b sin B

=

c sin C

= 2 R ; 余弦定理: a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A,cos A = 余弦定理:


b +c ?a
2 2

2

2bc

=

(b + c ) ? a
2

2

2bc

?1 ;

面积公式: 面积公式: S? = ab sin C =
2

abc 4R

在△ABC 中, c cos B = b cos C ”是“△ABC 是等腰三角形”的( A “ (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件( C)充分必要条件

) (D)既不充分也不必要条件

在锐角 ?ABC 中, a , b, c 分别是角 A, B , C 所对的边,且 3a = 2c sin A ,则角 C 的大小为 8.三角函数 1、正弦函数 y = sin x, x ∈ R ( 1) 当 x = ( 2) 在 时, y max = 1 ; 当 x = 时, y min = ?1 。

π


3

上单调递增; 上单调递增; 在 。

上单调递减。 上单调递减。

2、函数 y = A sin(ωx + ? ), ( A > 0, ω > 0) 最小正周期 T = 3、函数 y = A tan(ωx + ? ), ( A > 0, ω > 0) 最小正周期 T = 4、五点法画图



已知复数 z1 = sin 2 x + λ i , z2 = m + (m ? 3 cos 2 x)i (λ , m, x ∈ R, ) ,且 z1 = z2 . (1)若 λ = 0 且 0 < x < π ,求 x 的值; (2)设 λ = f ( x ) ,求 f ( x ) 的最小正周期和单调递减区间. 10、 10、反三角函数 (1)反正弦函数 y = (2)反余弦函数 y = (3)反正切函数 y = 6、最简三角方程 五.平面向量 ,x∈ ,x∈ ,x∈ 画出图像: 。 画出图像: 画出图像: 。 画出图像: 画出图像: 。 画出图像:

r r 1.设 1.设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) . r r r r r r (1) a // b ? x1 y2 ? x2 y1 = 0 ; (2) a ⊥ b ? a ? b = 0 ? x1 x2 + y1 y2 = 0 .
设 a = (2, 4), b = (1,1) ,若 b ⊥ ( a + m ? b) ,则实数 m =

r

r

r

r

r

-3



ur

uu r

r

是同一平面内的两个不共线的向量, 2.平面向量基本定理: 2.平面向量基本定理:如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向量 a ,有且只有 平面向量基本定理

-6-

一对实数 λ1 、 λ2 ,使 a = λ1 e1 + λ2 e2 .

r

ur

uu r

r r r r r r r r r r r 3.设 3.设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b =| a || b | cos θ = x1 x2 + y1 y2 ;其几何意义是 a ? b 等于 a 的长度与 b 在 a 的方向
r r r r r a ? b x1 x2 + y1 y2 上的投影的乘积; 上的投影的乘积; a 在 b 的方向上的投影 | a | cosθ = r = . 2 2 |b| x2 + y2
已知 | a |=| b |= 2, a与b 的夹角为

r

r

r r

π
3

, 则 b 在 a 上的投影为

1
x1 x2 + y1 y2
2 2 x + y12 x2 + y2 2 1

r r r r a ?b 平面向量数量积性质: 4.平面向量数量积性质:设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 cosθ = r r = | a || b |
注意: 注意:



r r r r r r r r r r r r ? a, b? 为锐角 ? a ? b > 0 , a, b 不同向; ? a, b? 为钝角 ? a ? b < 0 , a, b 不反向. 不同向; 不反向. r r r r ⑴若 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = x1 x2 + y1 y2 ; r r2 r r ⑵ 若 a = ( x , y ) ,则 a = a ? a = x 2 + y 2 .
六. 直线和圆的方程
k

平面向量数量积的坐标表示: 5. 平面向量数量积的坐标表示:

uuu r | AB |= ( x1 ? x2 ) 2 + ( y1 ? y2 ) 2 ;

1.直线的倾斜角 α 的范围是 [0, π) ; 2.直线的倾斜角与斜率的变化关系 如右图) 2.直线的倾斜角与斜率的变化关系 k = tan α (α ≠ ) (如右图):
2

π

O

° π α

3.方向向量法向量与斜率及倾斜角的关系 4.直线方程形式: 4.直线方程形式: 直线方程形式 点斜式,点方向式,点法向式, 点斜式,点方向式,点法向式,一般式 提醒: 直线方程的各种形式都有局限性( 提醒:⑴直线方程的各种形式都有局限性(2)截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形. 截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形. 闵行二模文科: 闵行二模文科:经过点 A(1, 0) 且法向量为 d = (2, ?1) 的直线 l 的方程为 5.直线 的位置关系: 5.直线 l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 与直线 l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 的位置关系: 斜率) 轴上截距) ⑴平行 ? A1 B2 ? A2 B1 = 0 (斜率)且 B1C2 ? B2 C1 ≠ 0 (在 y 轴上截距); ⑵相交 ? A1 B2 ? A2 B1 ≠ 0 ; (3)重合 (3)重合 ? A1 B2 ? A2 B1 = 0 且 B1C2 ? B2 C1 = 0 . 已知点 A( a,5) 和 B ( 2, b) 关于直线 l : 3 x ? 4 y + 4 = 0 对称,则 a + b = 6.夹角公式: l1 与 l2 的夹角是指不大于直角的角 θ ,θ ∈ (0, ] 6.夹角公式: 夹角公式
2

u r

. 2x ? y ? 2 = 0

π

直线 l1:3 x ? y + 1 = 0 , l2:x + 5 = 0 ,则直线 l1 与 l2 的夹角为= 7.点 7.点 P ( x0 , y0 ) 到直线 Ax + By + C = 0 的距离公式 d =
Ax0 + By0 + C




A2 + B 2

-7-

两条平行线 Ax + By + C1 = 0 与 Ax + By + C2 = 0 的距离是 d =

C1 ? C2 A2 + B 2
.

已知直线 l 经过点 ( ? 5, 0) 且方向向量为 (2, ?1) ,则原点 O 到直线 l 的距离为 8.设三角形 8.设三角形 ?ABC 三顶点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) ,则重心 G ( 圆的标准方程: 9. ⑴圆的标准方程: ( x ? a )2 + ( y ? b) 2 = r 2 . ⑵圆的一般方程: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0( D 2 + E 2 ? 4 F > 0) . 圆的一般方程:

1

x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 , ); 3 3

特别提醒: 特别提醒:只有当 D 2 + E 2 ? 4 F > 0 时,方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 才表示圆心为 (?
1 2 D + E ? 4 F 的圆(二元二次方程 Ax 的圆(
2 2

D 2

, ? ) ,半径为
2

E

2

+ Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆 ? A = C ≠ 0 ,且

B = 0, D 2 + E 2 ? 4 AF > 0 ).
求圆心在直线 y = 2 x + 3 上,且过点 A(1,2), B ( ?2,3) 的圆的标准方程。 点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离). ).点 10. 点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点 P ( x0 , y0 ) 及圆的方程

( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 .
在圆外; ① ( x0 ? a )2 + ( y0 ? b) 2 > r 2 ? 点 P 在圆外; 在圆内; ② ( x0 ? a )2 + ( y0 ? b) 2 < r 2 ? 点 P 在圆内; 在圆上. ③ ( x0 ? a )2 + ( y0 ? b) 2 = r 2 ? 点 P 在圆上. 若过点 M (a,4) 总有两条直线与圆 x 2 + y 2 ? 6 y = 0 相切,求实数 a 的取值范围。 直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题. 11. 直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题. ① d > r ? 相离 ② d = r ? 相切 ③ d < r ? 相交

解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、 12. 解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角 形). 七.圆锥曲线方程 一 、椭圆 1)会利用椭圆的定义求方程 设椭圆的长轴长 4, x 轴上的两个焦点与短轴的一个端点构成一个等边三角形,求椭圆标准方程。



x2 y2 + = 1 表示椭圆,则 m 的取值范围是 m ?1 2 ? m
-8-

过椭圆 4 x + 2 y = 1 的一个焦点 F1 的直线交椭圆于 A、 两点, A、 与椭圆的另一个焦点 F2 构成的 ?ABF2 B 则 B
2 2

的周长为 中经常利用余弦定理 ....... 2c, 结合起来, (2) ?PF1 F2 中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段 PF1 、 PF2 、2c,有关角 ∠F1 PF2 结合起来, .... 建立 PF1 + PF2 、 PF1 ? PF2 等关系

x2 已知 P 是椭圆 + y 2 = 1 上任一点, F1 , F2 为它的焦点,且 ∠ F1 PF2 = 60 ° ,求 ?F1 PF2 的面积。 4
(3)会求椭圆上的动点到定点距离的最值

设点 F 为椭圆

uuu r x2 y2 + = 1 的左焦点,点 P 是椭圆上的动点。试求 FP 的模的最小值,并求此时点 P 的坐标。 16 12

二、双曲线 (一)定义:若 F1,F2 是两定点, PF1 ? PF2 = 2a < F1 F2 ( a 为常数) 则动点 P 的轨迹是双曲线。 定义: 是两定点, 为常数) ,则动点 的轨迹是双曲线。 , 注意点: 注意点:比较 2a 与 2c ,注意绝对值

标准方程: 标准方程

x2 y2 ? = 1 (a > 0, b > 0) a 2 b2

与椭圆中的 不可混淆 (1)会利用双曲线的定义求方程,注意点: a, b, c 与椭圆中的 a, b, c 不可混淆 会利用双曲线的定义求方程,注意点: 中经常利用余弦定理 ....... 2c, 合起来, (2) ?PF1 F2 中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段 PF1 、 PF2 、2c,有关角 ∠F1 PF2 结合起来, .... 建立 PF1 + PF2 、 PF1 ? PF2 等关系,注意与椭圆的区别 等关系,

x2 y2 x2 y2 b 渐近线方程: (3)若双曲线方程为 2 ? 2 = 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 = 0 ? y = ± x a b a b a
若渐近线方程为 若渐近线方程为 y = ±

x y x y b x ? ± = 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 = λ a b a a b 1 2

2

2

已知双曲线 k 2 x 2 ? y 2 = 1 (k > 0 ) 的一条渐近线的法向量是 (1,2 ) ,那么 k =

若双曲线的渐近线方程为 y = ±3 x ,它的一个焦点与抛物线 y 2 = 4 10 x 的焦点重合,则双曲线的标准方程



y2 。x ? =1 9
2

轴上时,标准方程及相应性质。 (4)完成当焦点在 y 轴上时,标准方程及相应性质。

y2 x2 ? = 1 (a > 0, b > 0) a2 b2

-9-

三、抛物线 的距离相等的点的轨迹是抛物线。 (一)定义:到定点 F 与定直线 l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。 定义: 注意: (1 几何特征:焦点到顶点的距离= 注意: 1)几何特征:焦点到顶点的距离= (

p 焦点到准线的距离= ;焦点到准线的距离= p 2

顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

y 2 2 (2)抛物线 y = 2 px 上的动点设为 P ( o , y o ) 或 P ( 2 pt ,2 pt )或 P ( xo , y o )其中y o = 2 pxo 2p
2

2

八.直线、平面、简单几何体 直线、平面、 所成角。 会计算两条异面直线 AB 和 CD 所成角。异面直线所成角的大小范围是 会计算直线与平面所成角。直线与平面所成角的大小范围是 计算直线与平面所成角。直线与平面所成角的大小范围是 直线与平面所成角 与平面 会证明直线与平面垂直 柱体与锥体, 柱体与锥体,旋转体的面积公式和体积公式 给定空间中的直线 l 及平面 α ,条件“直线 l 与平面 α 垂直”是“直线 l 与平面 α 内无数条直线垂直”的( B )

A. 充要条件

B. 充分非必要条件

C. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件 cm 3 .

圆锥的侧面展开图为扇形,若其弧长为 2π cm,半径为 2 cm,则该圆锥的体积为

π
3

现放入一个半径为 R cm 的实心铁球, 球完全 在一个水平放置的底面半径为 3 cm 的圆柱形量杯中装有适量的水, 浸没于水中且无水溢出,若水面高度恰好上升 R cm,则 R = ________cm.

3 2

如图,已知点 P 在圆柱 O O1 的底面圆 O 上, AB 为圆 O 的直径,圆柱 O O1 的表面积为 24π , OA = 2 ,

∠AOP = 120° 。
(1)求三棱锥 A1 ? APB 的体积。 (2)求异面直线 A1 B 与 OP 所成角的大小; (结果用反三角函数值表示)

A1

O1

B1

A

O P

B

九.复数 理解复数、实数、虚数、纯虚数、模的概念和复数的几何表示. 理解复数、实数、虚数、纯虚数、模的概念和复数的几何表示. 若 z1 = a + 3 i , z2 = 3 + 4 i ,且

z1 为纯虚数,则实数 a = z2

-4

掌握复数的四则运算 复数集范围内解方程
- 10 -

(1)对于解复系数方程,主要的方法是设 z = 对于解复系数方程, (2)对于解实系数一元二次方程,当 ? < 0 时,方程有一对 对于解实系数一元二次方程,

,并利用复数 根,

化为实数方程来求 z 。

b x1 + x 2 除了满足 x1 + x 2 = ? 外, x1 + x 2 还等于这对根的 a c x1 ? x 2 除了满足 x1 ? x 2 = 外, x1 ? x 2 还等于这对根的 a
注意: 注意:共轭虚根必须实系数 (1)复数 z 的几何意义表示复数 z 离开 (2)复数 z ? 2 的几何意义表示复数 z 离开点 (3)复数 z + 2 ? i 的几何意义表示复数 z 离开点 的距离;

(用文字叙述) , 用文字叙述) (用文字叙述

(用文字叙述) 。 用文字叙述) (用文字叙述

的距离;

的距离;

已知复数 z = ( x ? 2) + y ? i ( x, y ∈ R ) ,当此复数的模为 1 时,代数式

y 的取值范围是 x

. [?

3 3 , ] 3 3

十.二项式定理
1、对于二项式 (a + b) n 的展开式
10 如二项式 (3 x ? 1)

(1)其通项公式为 Tr +1 = (2)第六项为 ,第六项的系数为 ;

,展开式共有

项; ,第六项的二项式系数为 ;

(3)所有项的二项式系数和 (4)所有项的系数和



3 在二项式 ( x + ) n 的展开式中,各项系数之和为 A ,各项二项式系数之 和为 B ,且 A + B = 72 ,则 n = 3 x
2、二项式系数的性质: 二项式系数的性质: 的性质

(a + b) n 展开式的二项式系数是



① 在二项式展开式中,与首末两项“等距离”的两项二项式系数相等,即:
0 n n 2 n r n C n = C n , C 1 = C n ?1 , C n = C n ? 2 , L , C n = C n ? r . n

② 如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数 二项式系数最大; 二项式系数 当 n 是偶数时,n + 1 是奇数, 展开式共有 n + 1 项, 中间一项, 即: 第 ③ 如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并且最大, 当 n 是奇数时, n + 1 是偶数,展开式共有 n + 1 项,中间两项,即第 式系数最大,为
- 11 -

项的二项式系数最大, 为



项及第

项,它们的二项

例 1、 (1) ( x + 1) 展开式中的系数最大项是
9 9 (2) ( x ? 1) 展开式中的系数最大项是





(3) ( x ? 1) 展开式中的系数最大项是
10



(4) ( x ? 1) 展开式中二项式系数最大项是
10



(5) (1 + x) 展开式中只有第六项的系数最大,则 n =
n



十一.概率与统计
一、总体与样本 1、总体:在统计中,我们所要研究对象的全体叫做总体。 2、个体:总体中的每一个对象叫做个体。 3、总体的平均数(总体均值) :总体中所有个体的平均数来表示总体的平均状态,即一般水平。如总体中有 N 个 个体,它们的值分别为: x1 , x 2 ,........, x N ,则

?=

1 ( x1 + x 2 + ......... + x N ) N

4、总体的中位数: N 为奇数时,正中位置的数; N 为偶数时,中间两个数的平均数。 5、样本的众数:样本中出现次数最多的数。 6、总体方差、总体标准差 在统计中,表示总体中各个体之间的差别程度,即离散程度的统计工具有总体方差、总体标准差。 其中,总体方差反映各个体偏离平均数 ? 的程度。 σ 越大,总体各个个体之间的差别也越大; σ 越小,总
2 2

体各个个体越靠近平均数 ? 。 总体方差 总体标准差 7、掌握计算性质 样本中 n 个个体的数值分别为 x1 , x 2 , L , x n ,已知样本平均数、样本方差、样本标准差分别为 ? 、σ 、 σ ,
2

σ2=

1 [( x1 ? ? ) 2 + ( x 2 ? ? ) 2 + ...... + ( x N ? ? ) 2 ] N

σ

则样本 ax1 + b, ax 2 + b, L , ax n + b 的平均数为 二、抽样技术

;样本方差为

、样本标准差为



在统计中,当全面调查很难,甚至不可能实施时,抽样技术是一个行之有效的方法。 科学地实施抽样调查的最基本的原则是抽样必须是随机的,即总体中每个个体都有可能 被抽

- 12 -

到。 1、样本:总体中取出的一部分个体所组成的集合。也叫子样。 2、样本容量:样本中所包含的个体的个数。 3、统计中的抽样方法: (1)随机抽样:抽签法;利用随机数表或计算机产生。 (2)系统抽样:把总体中的每一个个体编上号,按某种相等的间隔抽取样本的方法。 (3)分层抽样:把总体分成若干个部分,然后把每个部分进行随机抽样的方法。 拓展教材《统计案例》 拓展教材《统计案例》P57 三、统计估计 1、频率估计:用样本中某事件出现的频率估计事件出现的概率。 2、参数估计:用样本的算术平均数和样本标准差估计总体均值和总体标准差,简称参数估计。 样本为 x1 , x 2 , L , x n ,样本的容量为 n ,那么可以用样本的平均值 x 作为总体均值的点估计值。用样本的标准 差作为总体标准差的点估计值。 例题分析: 例题分析:高三 P107 教材中的实例分析 3、认识频率直方图: 1、某单位有青年 职工 160 人,中年工人数是老年职工人数的 2 倍,老、中、青职工共有 430 人.为了解职工身体 状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工 32 人,则该样本中的老年职工人数为 ( B ) (A) 16 . (B) 18 . (C) 27 . (D) 36 . 9 . [答]

2、若三个数 a1 , a2 , a3 的方差为 1,则 3a1 + 2,3a2 + 2, 3a3 + 2 的方 差为

3、为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校 100 名高三学生的视力情况,得到频率分布直方 图,如 下图,由于不慎将部分数据丢失,但知道前 4 组的频数成等比数列,后 6 组的频数成等差数列,设最大 频率为 a, 视力在 4.6 到 5.0 之间的学生数为 b,则 b 的值为 78

频率 组距

[来源:学科网 ZXXK]

[来源:学科网 ZXXK]

0.3 0.1
4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2

视力

- 13 -

4、某初级中学领导采用系统抽样方法 ,从该校预备年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康检查。 现将 、 800 名学生从 1 到 800 进行编号,求得间隔数 k =

800 =16,即每 16 人抽取 一个人。在 1~16 中随机抽取一 个数, 50

如果抽到的是 7,则从 33 ~ 48 这 16 个数中应取的数是( B ) A.40. B.39. C.38. D.37.

5、某公司为改善职工的出行条件,随机抽取 50 名职工,调查他们的居住地与公司的距离 d (单位:千米).若样 本数据分组为 [0, 2] , (2,4] , (4,6] , (6,8] , (8,10] , (10,12] ,由数据绘制的分
频率/组距 组距

布频率直方图如图所示,则样本中职工居住地与公司的距离不超过 4 千米的人数 为 24 人.

0.14 0.12 0.1 0.05 0.04

O

2

4

6

8

10 12 d

第 11 题

6、有 5 只苹果,它们的质量分别为 125

a

121

b

127(单位:克) :若

该样本的中位数和平均值均为 124 , 则该样本的标准差 s =_____________.(克) (用数字作答) 5

十二.矩阵
一、矩阵的概念 二、矩阵的运算 已知两矩阵 A 和 B 。 1、矩阵相等( A = B ) :当且仅当矩阵 A 和 B 2、矩阵相加( A + B ) :矩阵相加的前提: 3、矩阵相减( A ? B ) 矩阵相减的前提: : 三、矩阵的应用 主要应用于解二元一次方程组和三元一次方程组。 如方程组 ? ,且 ,矩阵相加的法则: ,矩阵相减的法则: 。 。 。

?x ? 2 y = 4 ,它的系数矩阵是 ?2 x + y = 1

,增广矩阵



通过矩阵变化可化为系数矩阵为单位矩阵的增广矩阵 例题: 例题: 1、方程组 ?



?ax + y = 0 ?1 0 1 ? 的增广矩阵通过矩阵变换可以转化成 ? ?0 1 2? , ? ? x + by = 3 ? ?
- 14 -

(1)则方程组的解为 ?

?x = ?y =



(2) ? ? = ? ?

?a? ?b?

2、写出方程组 ?

?x ? 2 y ? 5 = 0 的系数矩阵为 ? y + 3x ? 8 = 0

,增广矩阵为



3、二元方程组 ?

?1 0 3 ? ?2x + my = 5, 的增广矩阵经过变换,最后得到的矩阵为 ? ? 0 1 1 ? ,则 x + y = ? nx ? 3 y = 2 ? ? ?
数学高考应试技巧提醒 数学高考应试技巧提醒



考试中时间分配及处理技巧非常重要,有几点需要必须提醒同学们注意: ⑴按序答题,先易后难。一定要选择熟题先做、有把握的题目先做。 ⑵不能纠缠在某一题、某一细节上,该跳过去就先跳过去,千万不能感觉自己被卡住,这样会心慌,影响下 面做题的情绪。 ⑶避免“回头想”现象,一定要争取一步到位,不要先做一下,等回过头来再想再检查,高考时间较紧张,也 许待会儿根本顾不上再来思考。 ⑷做某一选择题时如果没有十足的把握,初步答案或猜估的答案必须先在卷子上做好标记,有时间再推敲, 不要空答案,否则要是时间来不及瞎写答案只能增加错误的概率。

数学高考规范化提醒 数学高考规范化提醒 规范化提 这是取得高分的基本保证。规范化包括: (1)解题过程要有必要的文字说明或叙述,谨防答题或书写不规范而失分; (2)注意解完后再看一下题目,看你的解答是否符合题意;谨防因解题不全或失误而失分。 总之,要吃透题“情” ,合理分配时间,做到一准、二稳、三规范。

- 15 -


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