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安徽省合肥市2015年高三第二次教学质量检测数学(理)试题


合肥市 2015 年高三第二次教学质量检测数学试卷 (理科)
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

3 ? 4i (其中 i 为虚数单位),则复数 z 的共轭复数 z 等于( ) 1 ? 2i A. ?1 ? 2i B. ?1 ? 2i C. 1 ? 2i D. 1 ? 2i 1 2.若集合 M ? {x | ? 1} ,则 ?R M 等于( ) x A. {x | x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} D. {x | x ? 1}
1.已知复数 z ? 3.双曲线 x2 ? 2 y 2 ? 1的离心率是( A. ) C. 3 D. 3 )

3 2

B.

6 2

4.某空间几何体的三视图如图所示(其中俯视图的弧线为四分之一圆),则该几何体的表面积为(

A. 5? ? 4 B. 8? ? 4 C. 5? ? 12 D. 8? ? 12 a ? 1 5.“ ”是“直线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0 与直线 l2 : 4 x ? (a ? 3) y ? 5 ? a ? 0 平行”的(



A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 6.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 6a3 ? 2a4 ? 3a2 ? 5 ,则 S7 等于( ) A.28 B.21 C.14 D.7 7.已知函数 f ( x) ? sin ? x ? cos ? x ,如果存在实数 x1 ,使得对于任意的实数 x ,都有

f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x1 ? 2015) 成立,则 ? 的最小正值是( 1 ? A. B. 2015 2015 1 ? C. D. 4030 4030
8.如图所示的程序框图的输出结果是 ( A.7 B.8 C.9 D.10 )



9.某校开设 5 门不同的数学选修科,每位同学可以从中任选 1 门或 2 门课学习,甲,乙, 丙三位同学选择的课没有一门是相同的,则不同的选法共有( ) A.330 种 B.420 种 C.510 种 D.600 种 10. 已 知 ?ABC 的 三 边 长 分 别 为 a, b, c , 且 满 足 b ? c ? 3 a , 则 ( )

c 的取值范围是 a

A. (1, ??) B.(0,2) C.(1,3) D.(0,3) 二、本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填在答题卡的相应位置. 11.甲,乙两位同学 5 次考试的数学成绩(单位:分)统计结果如下: 学生 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 77 81 83 80 79 甲 89 90 92 91 88 乙 则成绩较为稳定的那位同学成绩的方差为 12.以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系取相同的长度单位, 曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? ?2 ? t (t 为参数),曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 4cos ? ,若 C1 与 C2 有两个不同的 ? y ? at

交点,则实数 a 的取值范围是 13.已知已知点 O 是 ?ABC 内一点,且 OA ? ?OB ? ?OC ,若 ?ABC 与 ?OBC 的面积之比为 3:1,则

??? ? 14.已知 ? , ? 为钝角,若 sin(? ? ? ) ? 2sin(? ? ? ) ,则 tan(? ? ? ) 的最小值是 * 15.定义 : f1 ( x) ? f ( x) , 当 n ? 2 且 n ? N 时 , f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) , 对于函数 f ( x ) 定义域内的 x0 , 若存在正 整数 n 是使得 f n ( x0 ) ? x0 成立的最小正整数,则称 n 是点 x0 的最小正周期, x0 称为 f ( x ) 的 n ? 周期点.已知
定义在 [0,1] 上的函数 f ( x ) 的图象如图,对于函数 f ( x ) ,下列说法正 是 (写出你认为正确的所有命题的序号) ①0 是函数 f ( x ) 的一个 5 ? 周期点; ②3 是点 确 的

1 的最小正周期; 2

③对于任意正整数 n ,都有 f n ( ) ?

2 3

2 ; 3

1 2 ⑤若 x0 是 f ( x ) 的一个 2 ? 周期点,则 f ( x0 ) 一点是 f ( x ) 的 2 ? 周期点.
④若 x0 是 f ( x ) 的一个 2 ? 周期点,则 x0 ? ( ,1] 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16(本小题满分 12 分) 锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 c tan B 是 b tan A 和 b tan B 的等差中项. (Ⅰ )求角 A 的大小; (Ⅱ )若 m ? (sin B,sin C ), n ? (cos B,cos C ) ,求 m ? n 的取值范围.

17(本小题满分 12 分) 某商场为回馈大客户,开展摸球中奖活动,规则如下:从一个装有质地和大小完全相同的 4 个白球和一个红球 的摸奖箱中随机摸出一球,若摸出红球,则摸球结束,若摸出白球(不放回),则向摸奖箱中放入一个红球后继续 进行下一轮摸球,直到摸出红球结束,若大客户在第 n 轮 (n ? N * ) 摸到红球,则可获得

1 10000 ? ( ) n ?1 的奖金(单位:元) 2
(Ⅰ )求某位大客户在一次摸球中奖活动中至少获得 2500 元奖金的概率; (Ⅱ )设随机变量 ? 为某位大客户所能获得的奖金,求随机变量 ? 的概率分布列及数学期望.

18(本小题满分 12 分) 长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AA 1 ? 2, BC ? 2, E 为 CC1 的中点. (Ⅰ )求证:平面 A 1BE ? 平面 B 1CD ;

? (Ⅱ )平面 A 1BE 与底面 A 1B 1C1 D 1 所成的锐二面角的大小为 ,当

2 10 ? AB ? 2 2 时,求 ? 的取值范围. 5

19(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e

(2ax ? a2 ) (其中 a ? 0) . (Ⅰ )若函数 f ( x ) 在 (2, ??) 上单调递减,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ )设函数 f ( x ) 的最大值为 g (a ) ,当 a ? 0 时,求 g (a ) 的最大值.

1? x

20(本小题满分 13 分)

1 x2 y 2 已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 3 ,且该椭圆经过点 ( 3, ) . 2 a b (Ⅰ )求椭圆 E 的方程; (Ⅱ )经过点 P(?2, 0) 分别作斜率为 k1 , k2 的两条直线,两直线分别与椭圆 E 交于 M , N 两点,当直线 MN 与 y
轴垂直时,求 k1 ? k2 的值.

21(本小题满分 13 分) 记曲线 f n ( x) ?

n (n ? N * ) 图象上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 an . x

(Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ )若数列 {

1 } 的前 n 项和为 Tn , an T T T T T 2 求证: 2 ? 3 ? ? n ? Tn ? 1 ? 2 ? 2 3 n 2 3

?

Tn ?1 1 ? (其中 n ? N * 且 n ? 2) . n 2


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