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重积分变量代换_图文

8.4 重积分的应用 一、二重积分的应用 二、三重积分的应用
北京理工大学数学系

二重积分的应用
1.求 曲 顶 柱 体 的 体 积
V ? ?? f ( x, y)d?
D
2.求平面图形的面积A ? ?? 1d?
D
3.求 不 均 匀 薄 板 的 质 量
m ? ?? ? ( x, y)d?
D 北京理工大学数学系

5.求曲面的面积
若 曲 面S的 方 程 为
z ? f (x, y), (x, y)? D

dS ?

1?

fx2

?

f

2 y

dxdy

?? S ?

1?

f

2 x

?

f

2 y

dxdy

D

北京理工大学数学系

y

4.质心与转动惯量

D

?(x, y)

?

? ?

x

??

?

?? x?(x, y)d?
D
?? ?(x, y)d?
D

?

? ?? y?(x, y)d?

? ?

y

?

??

D
?? ?(x, y)d?
D

x
o 薄片对于x 轴的转动惯量
?? Ix ? y2? ( x, y)d? , D
薄片对于y 轴的转动惯量
?? I y ? x2? ( x, y)d? . D北京理工大学数学系

二、三重积分的应用
1、空间物体的重心(质心) 2、空间物体的转动惯量 3、空间物体对质点的引力
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1、空间物体的重心(质心)
空间闭区域 Ω 上的物体,在点(x,y,z)处密度为
?(x,y,z),重心坐标有:
x ? ???? x?(x, y, z)dV , ???? ?(x, y, z)dV
y ? ???? y?(x, y, z)dV , ???? ?(x, y, z)dV
z ? ???? z?(x, y, z)dV , ???? ?(x, y, z)dV
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2、空间物体的转动惯量
空间闭区域 Ω 上的物体,在点(x,y,z)处密度为
?(x,y,z),转动惯量有:
薄片对于x轴的转动惯量
? ? ?? Ix ? y2 ? z2 ?(x, y, z)d? ,
D
薄片对于y轴的转动惯量
? ? ?? Iy ? x2 ? z2 ?(x, y)d? ,
D
薄片对于z轴的转动惯量
? ? ?? Iz ? y2 ? z2 ?(x, y)d?.
D
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3、空间物体对质点的引力
空间物体?,有密度?(x, y, z),区域外质点A(a,b, c)
质量为m的, 求物体对质点A的引力。

引力:

F

?

????

k

m

?

? ( x,
r3

y,

z)r

dV

其中:r ? (x ? a, y ? b, z ? c), r ?| r |

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F在x轴的分量:

m ? ?(x, y, z)(x ? a)

Fx ? ??? k
V

r3

dV ;

F在y轴的分量:

Fy

?

??? k
V

m ? ?(x,

y, z)( y r3

? b)

dV ;

F在z轴的分量:

Fz

?

??? k
V

m ? ?(x,

y, z)(z r3

? c)

dV

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例6:求均匀圆柱体对位于圆柱底面中心 处质量为m的质点的引力。

解:设密度为?, 底半径为R,高为h,并建立坐标系。

由对称性知:Fx ? Fy ? 0.

??? Fz ? km?
V

z

(x2

?

y2

?

z2

3
)2

dV

.

? ? ? ? km?

2?
d?
0

R
?d?
0

h

z

0

(?2

?

z

2

)

3 2

dz

? ? ? 2? km?

R

?

?

?

(?

2

?

h2

1
)2

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计算步骤及注意事项

? 画出积分域 域边界应尽量多为坐标线
? 选择坐标系 被积函数关于坐标变量易分离

积分域分块要少 ? 确定积分序
累次积好算为妙

图示法

? 写出积分限

( 先积一条线, 后扫积分域 )

不等式

充分利用对称性 ? 计算要简便
应用换元公式

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作业:第141页: 5, 6, 8
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8.5 三重积分的变量代换 一、二重积分的变量代换 二、三重积分的变量代换
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二、三重积分换元法

定理: 设f (x, y, z)在闭域D上连续,

变换:

? x ? x(u, v, w)

T

:

? ?

y

?

y(u,

v, w)

??z ? z(u, v, w)

一一的,且有 一阶连续导数

雅可比行列式 J

(u,

v,

w)

?

?(

x,

y,

z)

?

0

;

?(u, v, w)

则 ??? f (x, y, z) d x d y d z D
? ??? f (x(u, v, w), y(u,v, w), z(u,v, w)) J (u,v, w) du d v d w D? 北京理工大学数学系

体积元素:
dV ? J (u,v, w) d u d v d w

柱面坐标变换下: x ? r cos? , y ? r sin? , z ? z

cos? ? r sin? 0

J ? ?(x, y, z)
?(r,?, z)

?

sin?

r cos? 0 ? r

00 1

d xd yd z ? r dr d? d z

广义柱面坐标代换: x ? ar cos? , y ? br sin?, z ? z

J ? ?(x, y, z) ? abr
?(r,?, z)

d x d y d z ? abr d r d? d z
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体积元素:
dV ? J (u,v, w) d u d v d w
球面坐标变换下:
x ? r sin? cos? , y ? r sin? sin?, z ? r cos?

sin? cos? r cos? cos?
J ? ?(x, y, z) ? sin? sin? r cos? sin?
?(r,?,? )
cos? ?r sin?

?r sin? sin? r sin? cos? ? r2 sin?
r cos?

d x d y d z ? r2 sin? d r d? d?

广义球面坐标代换:

x ? ar sin? cos? , y ? br sin? sin?, z ? cr cos?

J ? ?(x, y, z)
?(r,?,? )

? abcr2 sin?

d x d y d z ? abcr2 sin? d r d? d?

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例3. 试计算椭球体
解法1 利用“先二后一”计 算.

的体积 V.

V

?

???? d

xd

y

d

z

?

c
2?0 d

z ??Dz

d

xd

y

??

c?ab(1
0

?

z2 c2

)

d

z

?

4?
3

abc

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*解法2 利用三重积分换元法. 令

x ? ar sin? cos? , y ? br sin? sin? , z ? cr cos?



J

?

?(x, y, z)
?(r,? ,? )

?

abcr 2

sin ? ,

?? :

0? r ?1
0?? ??

0 ? ? ? 2?

V ? ???? d x d y d z ? ????? J d? d? dr

? abc????? r 2 sin? d? d? dr

? ? ? ? abc 2? d? ? sin? d? 1r 2 d r ? 4? abc

0

0

0

3

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例4.

求 lim
t ?0

1
? t4

F (t

),

其中F(t ) ? ??? f ( x2 ? y2 ? z2 ) d x d y d z

x2? y2?z2? t2

解: 在球坐标系下

? ? 4? t f (r) r 2 d r 0
F(0) ? 0

利用洛必达法则与导数定义,得

lim
t?0

F (t )
? t4

?

lim
t ?0

4? f (t) 4? t3

t

2

?

lim
t ?0

f

(t ) ? t

f

(0)

?

f

?(0)

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例5.

证明

证:左端

?

b
?a

f

b
( x) dx?a

f

( y) dy

?

??D f

(x)

f

( y) dxdy

?? ?

1 2

[ f 2 (x) ? f 2 ( y)]dxdy
D

D

:

???aa

? ?

x y

? ?

b b

? ? ? ? ?

1 2

?

b
dy
a

b f 2 (x) dx?
a

b
dx
a

b f 2(y)dy ?
a

? ? ?

b?a 2

?

b f 2(x)dx ?
a

b a

f

2

(

y)d

利y ?用

? ? (b ? a) b f 2 (x)dx = 右端 2ab ? a2 ? b2 a

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例6. 设函数 f (x) 连续且恒大于零,

??? f (x2 ? y2 ? z2 ) d v
F (t) ? ?(t)
?? f (x2 ? y2 ) d? D(t)

其中

?? ? G(t) ?

f (x2 ? y2)d?
D(t)
t f (x2)d x
?t

x

?(t) ? {(x, y, z) x2 ? y2 ? z2 ? t 2},

z D(t)

o ?(t)

ty

D(t) ? {(x, y) x2 ? y2 ? t 2}.

(1) 讨论 F( t ) 在区间 ( 0, +∞) 内的单调性;

(2)

证明

t

>

0

时,

F

(t)

?

2
?

G(t

).

(03考研)
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解: (1) 因为

F (t)

?

2?
?0

d?

?
?0

d

?

t
?0

2?
?0

d?

t
?0

f f

(r 2 )r 2 sin?
(r2)r d r

d

r

?

t
2?0
t
?0

f f

(r2)r2 d (r2)r d r

r

两边对 t 求导, 得

F

?(t)

?

2

t

f

? (t 2 ) t 0

?

t
?0

f

f (r 2 )r(t ? r)
(r 2 )r d r ?2

d

r

?在(0,??)上 F?(t) ? 0, 故 F(t) 在(0,??)上单调增加.

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(2) 问题转化为证

2?
d?

t f (r2)r d r

? t f (r2)r d r

? ? ? G(t) ?

0

2

0
t f (r2) d r

?

0
t f (r2) d r

? ? 0

0

即证

g(t)

??0t

f

(r 2 )r 2

d

r

t
?0

f

(r 2

)

d

r

??

t
?0

f

(r 2 )r

d

r

?2

?

0



g?(t) ?

f

(t

2

t
)?0

f

(r 2 )(t

? r)2 dr

?0

故 g(t) 在(0, ? ?) 单调增, 又因 g(t) 在t ? 0连续, 故有

g(t) ? g(0) ? 0 (t ? 0) 因此 t > 0 时, F (t) ? 2 G(t) ? 0.
?

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? P147

作业

1, 2, 3, 4, 5

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