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答案-数学必修1总复习测试题


数学必修 1 总复习测试题
参考答案与试题解析

一.选择题(共 12 小题) 1. (2016 春?高平市期中)设集合 A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B}, 则 M 中元素的个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解答】解:因为集合 A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B}, 所以 a+b 的值可能为:1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8, 所以 M 中元素只有:5,6,7,8.共 4 个. 故选 B. 2. (2016?武汉模拟)已知集合 A.0 或 B.0 或 3 C.1 或 ,B={1,m},A∪B=A,则 m=( D.1 或 3 )

【解答】解:由题意 A∪B=A,即 B? A,又 ,B={1,m}, ∴m=3 或 m= ,解得 m=3 或 m=0 及 m=1, 验证知,m=1 不满足集合的互异性,故 m=0 或 m=3 即为所求, 故选:B. 3. (2016 春?丰城市校级期中)设集合 S={x|x≥2},T={x|x≤5},则 S∩T=( A. (﹣∞,5] B.[2,+∞) C. (2,5) D.[2,5] 【解答】解:∵集合 S={x|x≥2,T={x|x≤5}, ∴S∩T={x|2≤x≤5}, 故选:D. 4. (2016 春?唐山校级期末)函数 f(x)=log
2



(x ﹣2x﹣3)的单调递增区间是(



A. (﹣∞,﹣1) B. (﹣∞,1) C. (1,+∞) D. (3,+∞) 2 【解答】解:由 x ﹣2x﹣3>0 得 x<﹣1 或 x>3, 2 当 x∈(﹣∞,﹣1)时,f(x)=x ﹣2x﹣3 单调递减, 而 0< <1,由复合函数单调性可知 y=log0.5(x ﹣2x﹣3)在(﹣∞,﹣1)上是单调递增 的,在(3,+∞)上是单调递减的. 故选 A. 5. (2016?大庆二模)若 x∈(e ,1) ,a=lnx,b= 系为( ) A.c>b>a B.b>c>a C.a>b>c D.b>a>c 【解答】解:∵x∈(e ,1) ,a=lnx ∴a∈(﹣1,0) ,即 a<0; 又 y= 为减函数,
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﹣1 ﹣1

2

,c=e ,则 a,b,c 的大小关

lnx

∴b=
lnx


﹣1

=

=1,即 b>1;

又 c=e =x∈(e ,1) , ∴b>c>a. 故选 B. 6. (2016?杭州模拟)在同一个坐标系中画出函数 y=a ,y=sinax 的部分图象,其中 a>0 且 a≠1,则下列所给图象中可能正确的是( )
x

A.

B.

C. 【解答】解:正弦函数的周期公式 T=
x

D. ,∴y=sinax 的最小正周期 T= ;

对于 A:T>2π,故 a<1,因为 y=a 的图象是减函数,故错; x 对于 B:T<2π,故 a>1,而函数 y=a 是增函数,故错; x 对于 C:T=2π,故 a=1,∴y=a =1,故错; x 对于 D:T>2π,故 a<1,∴y=a 是减函数,故对; 故选 D 7. (2016?河南模拟)对于函数 f(x) ,若? a,b,c∈R,f(a) ,f(b) ,f(c)为某一三角 形的三边长,则称 f(x)为“可构造三角形函数”,已知函数 f(x)= 函数”,则实数 t 的取值范围是( A.[0,+∞) B.[0,1] ) D. 是“可构造三角形

C.[1,2]

【解答】解:由题意可得 f(a)+f(b)>f(c)对于? a,b,c∈R 都恒成立, 由于 f(x)= =1+ ,

①当 t﹣1=0,f(x)=1,此时,f(a) ,f(b) ,f(c)都为 1,构成一个等边三角形的三边 长, 满足条件.
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②当 t﹣1>0,f(x)在 R 上是减函数,1<f(a)<1+t﹣1=t, 同理 1<f(b)<t,1<f(c)<t, 由 f(a)+f(b)>f(c) ,可得 2≥t,解得 1<t≤2. ③当 t﹣1<0,f(x)在 R 上是增函数,t<f(a)<1, 同理 t<f(b)<1,t<f(c)<1, 由 f(a)+f(b)>f(c) ,可得 2t≥1,解得 1>t≥ . 综上可得, ≤t≤2, 故实数 t 的取值范围是[ ,2], 故选 D.

8. (2016?大庆校级模拟)已知函数

,若存在 x1<x2,使得 f ) D.

(x1)=f(x2) ,则 x1?f(x2)的取值范围为( A. B. C.

【解答】解:①当 0≤x< 时, ≤f(x)=x+ <1.故当 x= 时,f(x)= . ②当 ≤x≤1 时, ≤f(x)=3x ≤3,故当 x=
2

时,f(x)=1.

若存在 x1<x2,使得 f(x1)=f(x2)=k,则 ≤x1< ≤x2<1, 如图所示: 显然当 k=f(x1)=f(x2)= 时,x1?f(x2)取得最小值, 此时,x1= ,x2= ,x1?f(x2)的最小值为 = .

显然,当 k=f(x1)=f(x2)趋于 1 时,x1?f(x2)趋于最大, 此时,x1 趋于 ,x2 趋于 故 x1?f(x2)的取值范围为 故选 C. ,x1?f(x2)趋于 , = .

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9. (2016?西安三模)已知 k>0,函数 f(x)=kx ﹣lnx 在其定义域上有两个零点,则实数 k 的取值范围是( ) A. B.
2

2

C.

D.

【解答】解:设 g(x)=kx 与函数 u(x)=lnx 的图象相切 设(m,n)为两个函数图象的公切点 ∵g'(x)=2kx,u'(x)= 则 g'(m)=2km=u'(m)= 则 m= 此时 n=ln 即 ln 解得:k= 故函数 f(x)=kx ﹣lnx 在其定义域上有两个零点,则实数 k 的取值范围是 0<k< 故选 D 10. (2016?河南模拟)已知实数 a,b 满足 2 =3,3 =2,则函数 f(x)=a +x﹣b 的零点所在 的区间是( ) A. (﹣2,﹣1) B. (﹣1,0) C. (0,1) D. (1,2) a b 【解答】解:∵实数 a,b 满足 2 =3,3 =2, ∴a=log23>1,0<b=log32<1, x ∵函数 f(x)=a +x﹣b, x ∴f(x)=(log23) +x﹣log32 单调递增, ∵f(0)=1﹣log32>0 f(﹣1)=log32﹣1﹣log32=﹣1<0,
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a b x 2

=k?

=

∴根据函数的零点判定定理得出函数 f(x)=a +x﹣b 的零点所在的区间(﹣1,0) , 故选:B. 11. (2016?天津校级模拟)定义在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x≥0 时, f(x)= , )

x

则关于 x 的函数 F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的所有零点之和为( A.1﹣2 B.2 ﹣1 C.1﹣2 【解答】解:∵当 x≥0 时, f(x)= 即 x∈[0,1)时,f(x)=
a a
﹣a

D.2 ﹣1

﹣a

; (x+1)∈(﹣1,0];

x∈[1,3]时,f(x)=x﹣2∈[﹣1,1]; x∈(3,+∞)时,f(x)=4﹣x∈(﹣∞,﹣1) ; 画出 x≥0 时 f(x)的图象, 再利用奇函数的对称性,画出 x<0 时 f(x)的图象,如图所示;

则直线 y=a,与 y=f(x)的图象有 5 个交点,则方程 f(x)﹣a=0 共有五个实根, 最左边两根之和为﹣6,最右边两根之和为 6, ∵x∈(﹣1,0)时,﹣x∈(0,1) , ∴f(﹣x)= (﹣x+1) , 又 f(﹣x)=﹣f(x) , ∴f(x)=﹣ (﹣x+1)= (1﹣x) =log2(1﹣x) ,
a
﹣1

∴中间的一个根满足 log2(1﹣x)=a,即 1﹣x=2 , a 解得 x=1﹣2 , a ∴所有根的和为 1﹣2 . 故选:A.

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12. (2016?呼和浩特二模)函数 f(x)=ln(x+1)﹣ 的零点所在区间是( A. ( ,1) B. (1,e﹣1) C. (e﹣1,2) =1﹣ = D. (2,e) <0,



【解答】解:∵f(e﹣1)=lne﹣ f(2)=ln3﹣1>lne﹣1=0,

∴函数 f(x)=ln(x+1)﹣ 的零点所在区间是 (e﹣1,2) , 故选 C. 二.填空题(共 8 小题) 13. (2016?山东)已知函数 f(x)= ,其中 m>0,若存在实数 b, .

使得关于 x 的方程 f(x)=b 有三个不同的根,则 m 的取值范围是 (3,+∞) 【解答】解:当 m>0 时,函数 f(x)=
2 2 2

的图象如下:
2

∵x>m 时,f(x)=x ﹣2mx+4m=(x﹣m) +4m﹣m >4m﹣m , ∴y 要使得关于 x 的方程 f(x)=b 有三个不同的根, 2 必须 4m﹣m <m(m>0) , 2 即 m >3m(m>0) , 解得 m>3, ∴m 的取值范围是(3,+∞) , 故答案为: (3,+∞) .

14. (2016?杭州模拟)已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,对于任意 x∈R,都有 f(x+6) =f(x)+f(3)成立,当 x1,x2∈[0,3],且 x1≠x2 时,都有 下列命题:
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.给出

①f(3)=0; ②直线 x=﹣6 是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴; ③函数 y=f(x)在[﹣9,﹣6]上为增函数; ④函数 y=f(x)在[﹣9,9]上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为 ①②④ (把所有正确命题的序号都填上) 【解答】解:①:对于任意 x∈R,都有 f (x+6)=f (x)+f (3)成立,令 x=﹣3,则 f (﹣3+6)=f(﹣3)+f (3) ,又因为 f(x)是 R 上的偶函数,所以 f(3)=0. ②:由(1)知 f (x+6)=f (x) ,所以 f(x)的周期为 6, 又因为 f(x)是 R 上的偶函数,所以 f(x+6)=f(﹣x) , 而 f(x)的周期为 6,所以 f(x+6)=f(﹣6+x) ,f(﹣x)=f(﹣x﹣6) , 所以:f(﹣6﹣x)=f(﹣6+x) ,所以直线 x=﹣6 是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴. ③:当 x1,x2∈[0,3],且 x1≠x2 时,都有 所以函数 y=f(x)在[0,3]上为增函数, 因为 f(x)是 R 上的偶函数,所以函数 y=f(x)在[﹣3,0]上为减函数 而 f(x)的周期为 6,所以函数 y=f(x)在[﹣9,﹣6]上为减函数. ④:f(3)=0,f(x)的周期为 6, 所以:f(﹣9)=f(﹣3)=f(3)=f(9)=0 函数 y=f(x)在[﹣9,9]上有四个零点. 故答案为:①②④. 15. (2016?河南模拟)若函数 f(x)=e ﹣2x﹣a 在 R 上有两个零点,则实数 a 的取值范围 是 (2﹣2ln2,+∞) . 【解答】解:令 f′(x)=e ﹣2=0,则 x=ln2, x ∴x>ln2,f′(x)=e ﹣2>0; x x<ln2,f′(x)=e ﹣2<0; ∴函数 f(x)在(ln2,+∞)上是增函数,在(﹣∞,ln2)上是减函数. x ∵函数 f(x)=e ﹣2x﹣a 在 R 上有两个零点, 所以 f(ln2)=2﹣2ln2﹣a<0, 故 a>2﹣2ln2. 故填: (2﹣2ln2,+∞) .
x x

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16. (2016?佛山模拟)设函数 f(x)= 是 (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) . 【解答】解:当 x0≤0 时, 当 x0>0 时, 则 x0>1,

,若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围

,则 x0<﹣1,

故 x0 的取值范围是(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) , 故答案为: (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) . 17. (2016?闸北区二模)已知函数 f(x)=a +a (a>0,a≠1) ,且 f(1)=3,则 f(0)+f (1)+f(2)的值是 12 . 【解答】解:∵f(1)=a+a =3,f(0)=2,f(2)=a +a =(a+a ) ﹣2=7, ∴f(1)+f(0)+f(2)=12. 故答案为:12 18. (2016?雅安模拟)2log510+log50.25= 2 . 【解答】解:∵2log510+log50.25 =log5100+log50.25 =log525 =2 故答案为:2.
﹣1

x

﹣x

2

﹣2

﹣1

2

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19. (2016?鹰潭校级模拟)已知函数 f(x)=

,则 f(f( ) )的值是= ﹣

2 .

【解答】解:∵函数



∴f( )=2+

=4.

=f(4)= 故答案为:﹣2.

=﹣2.

20. (2016?四川模拟)已知集合 A={(x,y)|x +y =1},B={(x,y)|kx﹣y﹣2≤0},其 中 x,y∈R.若 A? B,则实数 k 的取值范围是 . 【解答】解:由题意可得:集合 A 为单位圆上的点,集合 B 表示恒过点(0,﹣2)的直线 一侧的区域, 若 A? B,如下图所示:当直线 kx﹣y﹣2=0 与圆相切时,k=± , 故 k 的范围为[﹣ , ], 故答案为:[﹣ , ]

2

2

三.解答题(共 10 小题) 21. (2016?湖南模拟)函数 f(x)= (1)求函数 f(x)的定义域 A; (2)设 B={x|﹣1<x<2},当实数 a、b∈(B∩?RA)时,证明: 【解答】 (1)解:由题意得:|x+1|+|x+2|﹣5≥0, 当 x≤﹣2 时,得 x≤﹣4;当﹣2<x<﹣1 时,无解;当 x≥﹣1 时,得 x≥1,
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|.

∴A={x|x≤﹣4 或 x≥1}; (2)证:∵B={x|﹣1<x<2},?RA={x|﹣4<x<1}, ∴B∩?RA={x|﹣1<x<1}, ∴a、b∈{x|﹣1<x<1}, 要证 <|1+
2

|,只需证 4(a+b) <(4+ab) ,
2 2 2 2 2 2 2

2

2

∵4(a+b) ﹣(4+ab) =4a +4b ﹣a b ﹣16=(b ﹣4) (4﹣a ) , ∵a、b∈{ x|﹣1<x<1}, 2 2 ∴(b ﹣4) (4﹣a )<0, 2 2 ∴4(a+b) <(4+ab) , ∴ <|1+ |成立.

22. (2016?南昌一模)设函数 f(x)=

的最大值为 M.

(Ⅰ)求实数 M 的值; (Ⅱ)求关于 x 的不等式|x﹣ |+|x+2 |≤M 的解集. 【解答】 (本小题满分 10 分)选修 4﹣5:不等式选讲 解: (I)因为 a,b>0 时, 所以 当且仅当 ﹣﹣(5 分) (Ⅱ)由绝对值三角不等式可得 所以不等式 的解 x 就是 方程 的解. 由绝对值的几何意义得,当且仅当 时, 所以不等式 的解集为: ﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) 23. (2016?广西一模)已知函数 f(x)= 函数 g(x)=|x+a|+|x+1|. (1)求实数 a 的值; (2)求函数 g(x)的最小值. 【解答】解: (1)f(x)= =a[(x﹣1)+ +1]≥a(2 +ax(a>0,x>1) +1)=3a, . 时等号成立. 故函数 f(x)的最大值 , , ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

. ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

+ax(a>0)在(1,+∞)上的最小值为 15,

当且仅当 x=2 时,取得最小值 3a, 由题意可得 3a=15,解得 a=5; (2)函数 g(x)=|x+a|+|x+1|=|x+5|+|x+1|,
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由|x+5|+|x+1|≥|(x+5)﹣(x+1)|=4, 当且仅当(x+5) (x+1)≤0,即﹣5≤x≤﹣1 时,取得等号. 则 g(x)的最小值为 4. 24. (2016?钦州校级一模)已知函数 f(x)=log2(|x+1|+|x﹣2|﹣m) . (1)当 m=7 时,求函数 f(x)的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f(x)≥2 的解集是 R,求 m 的取值范围. 【解答】解: (1)由题设知:当 m=7 时:|x+1|+|x﹣2|>7, 不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集: ,或 ,或 ,

解得函数 f(x)的定义域为(﹣∞,﹣3)∪(4,+∞) ; (2)不等式 f(x)≥2 即|x+1|+|x﹣2|≥m+4, ∵x∈R 时,恒有|x+1|+|x﹣2|≥|(x+1)﹣(x﹣2)|=3, ∴不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4 解集是 R,等价于 m+4≤3, ∴m 的取值范围是(﹣∞,﹣1]. 25. (2016 春?运城校级期末)已知函数 f(x)=( ) ,a 为常数,且函数的图象过点(﹣ 1,2) . (1)求 a 的值; (2)若 g(x)=4 ﹣2,且 g(x)=f(x) ,求满足条件的 x 的值. 【解答】解: (1)由已知得( ) =2,解得 a=1. (2)由(1)知 f(x)=( ) , 又 g(x)=f(x) ,则 4 ﹣2=( ) ,即( ) ﹣( ) ﹣2=0,即[( ) ] ﹣( ) ﹣2=0, 令( ) =t,则 t ﹣t﹣2=0,即(t﹣2) (t+1)=0, 又 t>0,故 t=2,即( ) =2,解得 x=﹣1, 满足条件的 x 的值为﹣1.
x x 2
﹣x ﹣a ﹣x

ax

x

x

x

x

x 2

x

26. (2016 春?晋城校级期末)已知函数

(a 为常数) .

(1)若常数 a<2 且 a≠0,求 f(x)的定义域; (2)若 f(x)在区间(2,4)上是减函数,求 a 的取值范围. 【解答】解: (1)由 ,当 0<a<2 时,解得 x<1 或 ,

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当 a<0 时,解得

. }

故当 0<a<2 时,f(x)的定义域为{x|x<1 或 当 a<0 时,f(x)的定义域为{x| (2)令 ,因为 }. 为减函数,

故要使 f(x)在(2,4)上是减函数, 则 在(2,4)上为增且为正.

故有



故 a∈[1,2) . 27. (2016?岳阳校级一模)已知函数 f(x)=|x﹣a|,其中 a>1. (1)当 a=3 时,求不等式 f(x)≥4﹣|x﹣4|的解集; (2)若函数 h(x)=f(2x+a)﹣2f(x)的图象与 x、y 轴围成的三角形面积大于 a+4,求 a 的取值范围.

【解答】解: (1)当 a=3 时,f(x)+|x﹣4|=



当 x≤3 时,由 f(x)≥4﹣|x﹣4|得,7﹣2x≥4,解得 x≤ ; 当 3<x<4 时,f(x)≥4﹣|x﹣4|无解; 当 x≥4 时,f(x)≥4﹣|x﹣4|得,2x﹣7≥4,解得 x≥ ∴f(x)≥4﹣|x﹣4|的解集为{x|x≤ 或 x≥ (2)记 h(x)=f(2x+a)﹣2f(x) , }. .

则 h(x)=



所以 S= ?2a? >a+4,即为 a ﹣2a﹣8>0, (a>1) , 解得 a>4. 即有 a 的取值范围为(4,+∞) . 28. (2016?邵阳三模)设函数 f(x)=|x﹣a|.
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2

(1)当 a=2 时,解不等式 f(x)≥7﹣|x﹣1|; (2)若 f(x)≤1 的解集为[0,2], + =a(m>0,n>0) ,求证:m+4n≥2 +3.

【解答】解: (1)当 a=2 时,f(x)=|x﹣2|, 则不等式 f(x)≥7﹣|x﹣1|等价为|x﹣2|≥7﹣|x﹣1|, 即|x﹣2|+|x﹣1|≥7, 当 x≥2 时,不等式等价为 x﹣2+x﹣1≥7,即 2x≥10,即 x≥5,此时 x≥5; 当 1<x<2 时,不等式等价为 2﹣x+x﹣1≥7,即 1≥7,此时不等式不成立,此时无解, 当 x≤1 时,不等式等价为﹣x+2﹣x+1≥7,则 2x≤﹣4,得 x≤﹣2,此时 x≤﹣2, 综上不等式的解为 x≥5 或 x≤﹣2,即不等式的解集为(﹣∞,﹣2]∪[5,+∞) . (2)若 f(x)≤1 的解集为[0,2], 由|x﹣a|≤1 得﹣1+a≤x≤1+a. 即 即 + 得 a=1, =a=1, (m>0,n>0) , )=1+2+
2 2

则 m+4n=(m+4n) ( + 当且仅当 故 m+4n≥2 =

+

≥3+2

=2

+3.

,即 m =8n 时取等号, +3 成立. +kx+b,其中 k,b 为实数且 k≠0.

29. (2016?宁波模拟)已知函数 f(x)=

(I)当 k>0 时,根据定义证明 f(x)在(﹣∞,﹣2)单调递增; (Ⅱ)求集合 Mk={b|函数 f(x)有三个不同的零点}. 【解答】解: (I)证明:当 x∈(﹣∞,﹣2)时, 任取 x1,x2∈(﹣∞,﹣2) ,设 x2>x1. .

= 由所设得 x1﹣x2<0,

. ,又 k>0,

∴f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) . ∴f(x)在(﹣∞,﹣2)单调递增. (II)函数 f(x)有三个不同零点,即方程 有三个不同的实根.

方程化为:
2


2



记 u(x)=kx +(b+2k)x+(2b+1) ,v(x)=kx +(b+2k)x+(2b﹣1) . (1)当 k>0 时,u(x) ,v(x)开口均向上.
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由 v(﹣2)=﹣1<0 知 v(x)在(﹣∞,﹣2)有唯一零点. 为满足 f(x)有三个零点,u(x)在(﹣2,+∞)应有两个不同零点.





∴b<2k﹣2 . (2)当 k<0 时,u(x) ,v(x)开口均向下. 由 u(﹣2)=1>0 知 u(x)在(﹣2,+∞)有唯一零点.为满足 f(x)有三个零点,v(x) 在(﹣∞,﹣2)应有两个不同零点.



∴b<2k﹣2

. }.

综合(1) (2)可得 Mk={b|b<2k﹣2

30. (2016?锦州二模)已知函数 f(x)=|x﹣2|. (1)解不等式:f(x+1)+f(x+2)<4; (2)已知 a>2,求证:? x∈R,f(ax)+af(x)>2 恒成立. 【解答】解: (1)f(x+1)+f(x+2)<4, 即|x﹣1|+|x|<4, ①当 x≤0 时,不等式为 1﹣x﹣x<4,即 ∴ 是不等式的解; ,

②当 0<x≤1 时,不等式为 1﹣x+x<4,即 1<4 恒成立, ∴0<x≤1 是不等式的解; ③当 x>1 时,不等式为 x﹣1+x<4,即 ∴ 是不等式的解. .…(5 分) ,

综上所述,不等式的解集为

证明: (2)∵a>2, ∴f(ax)+af(x)=|ax﹣2|+a|x﹣2|=|ax﹣2|+|ax﹣2a|=|ax﹣2|+|2a﹣ax|≥|ax﹣2+2a﹣ ax|=|2a﹣2|>2, ∴? x∈R,f(ax)+af(x)>2 恒成立.…(10 分)

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