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对数函数及其性质教学设计

对数函数及其性质(2)
一、教学内容分析
《普通高中课程标准数学教科书·必修(1) 》 (人民教育出版社)高中一年级第 二单元 2.2.2《对数函数的图象和性质》第一课时。 函数是高中数学的主体内容——变量数学的主要研究对象之一, 是中学数学的重 点知识,研究函数的一般理论和基本方法,用函数的思想方法解决实际问题,是函数 教学的主要目标。 必修(Ⅰ)2.2.2 对数函数及其性质, 按课标要求教学时间为 3 个学时, 本节课为第 1 课时,本节课教学是学生在学过正比例函数、一次函数、二次函数、反 比例函数和指数函数的基础上进一步学习的一种新函数,对对数函数概念的理解,图 象和性质的掌握和应用有利于学生对初等函数认识的系统性, 有利于进一步加深对函 数思想方法的理解。为后面进一步探究对数函数的应用及指数函数、对数函数的综合 应用起到承上启下的作用。

二、学情与教材分析
对数函数是高中引进的第二个初等函数,是本章的重点内容。学生在前面的函数 性质、指数函数学习的基础上,用研究指数函数的方法,进一步研究和学习对数函数 的概念、 图象和性质以及初步应用, 有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性, 加深对函数的思想方法的理解,在教学过程中,虽然学生的认知水平有限,但只要让 学生体验对数函数来源于实践,通过教师课件的演示,通过数形结合,让学生感受 y=logax(a>0 且 a≠1)中,a 取不同的值时反映出不同的函数图象,让学生观察、小组 讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律,进而探究学习对数函数的性 质。 最后将对数函数、 指数函数的图象和性质进行比较, 以便加深对对数函数的概念、 图象和性质的理解,同时也为后面教学作准备。

三、设计思想
在本节课的教学过程中,通过古遗址上死亡生物体内碳 14 含量与生物死亡年代 关系的探索,引出对数函数的概念。通过对底数 a 的分类讨论,探究总结出对数函数 的图象与性质,使学生经历从特殊到一般的过程,体验知识的产生、形成过程,通过 例题的分析与练习,进一步培养学生自主探索,合作交流的学习方式,通过学生经历 直观感知,观察、发现、归纳类比,抽象概括等思维过程,落实培养学生积极探索学 习习惯,提高学生的数学思维能力的新课程理念。

四、教学目标
1、通过对对数函数概念的学习,培养学生实践能力,使学生理解对数函数的概 念,激发学生的学习兴趣。

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2、通过对对数函数有关性质的研究,渗透数形结合、分类讨论的数学思想。培 养观察、分析、归纳的思维能力和交流能力,增强学习的积极性。掌握对数函数的图 象与性质,并会初步应用。 3、培养学生自主学习、数学交流能力和数学应用意识。通过联系观点分析,解 决两数比较大小的问题。

五、教学重点和难点
重点:1、对数函数的定义、图象、性质。 2、对数函数的性质的初步应用。 难点:底数 a 对对数函数图象、性质的影响。

六、教学过程设计
问题与情境 活动一: 1、你能说出指数函数的概念、图象、 性质吗? 2、 (课件演示) 看 2.2.1 的例 6, 在 t=log
5730
1 2

师生活动

设计意图

生:回答问题 1。

通过回顾旧

师:组织学生计算,注 知识,使知识得 意引导学生从函数的实际出 到联系。 P 中, 发,解释两个变量之间的关 创设问题情

境,让学生从生 请同学们用计算器计算,在古遗址 系。 上生物体内碳 14 的含量 P,与之相 教师提出问题,注意引 活中发现问题, 对应生物死亡年代 t 的值,完成下 导 学 生 把 解 析 式 概 括 到 激发学生的学习 表: y=logax 形式。 兴趣。 P t 3、你能归纳出这类函数的一般式吗? 0.5 0.3 0.01 初步建立对 学生思考,归纳概括函 数函数模形。 数特征。

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活动二: 归纳给出对数函数的概念 师:(板书)一般地,我 抽象出对数 们把函数 y ? loga x(a ? 0 且 函 数 的 一 般 形 其中 x 式,让学生感受 a ? 1) 叫做对数函数, 你 知 道 为 什 么 a ? 0 且 a ? 1 和 是 自 变 量 , 定 义 域 为 从特殊到一般的
x ? 0 吗?

x ? (0,??) 。

数学思维方法, 维能力。

教学引导学生用对数的 发展学生抽象思 定义分析、回答。 活动三: 1 、 你 能 用 描 点 法 画 出 y ? log2 x 和 生:独立画图,同学间 交流。 师:课堂巡视,个别辅 导,展示画得较好的个别同 学图象。图 5—1 会用描点法 画出这两个函数 的图象。

y ? log 1 x 的图象吗?
2

2、从画出的图象中,你能发现解析式 的区别在哪里?图象有什么不同和 联系?

为对数函数 的图象和性质作 铺垫。

图 5 —1

生:个别同学尝试回答。 师:引导学生发现、观 察、对比底数不同对函数图 象的影响。

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活动四: 1、你知道下列函数: (1)y ? log2 x, y ? log3 x ,y ? log4 x , (2)y ? log 1 x ,y ? log1 x ,y ? log 1 x
2 3 4

生: 独立思考, 小组讨论。

通过学生讨 论,培养学生交

师:用多媒体课件展示 流合作能力。 各个函数的图象。 获得对数函 生:观察图象讨论、交 数 的 图 象 和 性 流合作,归纳出对数函数的 质。 共同性质。 明确底数 a 师:注意引导学生从函 是确定对数函数 数性质去分析。 的要素,渗透分 类讨论思想。 通过对数函 数图象的观察, 分 析总结出对数函 数的性质, 有利于
1 x

图象吗?观察并回答有什么共同点和 不同点?

2、你能思考并归纳出 y ? loga x
(a ? 0 且 a ? 1) 中,当 a ? 1 和
0 ? a ? 1 时,两种图象的特点吗?

给出对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)的图象和性质。
a ?1
y u y u 1 x O 图 5-2

0 ? a ?1

图 象
O

加深学生对性质 的理解和掌握, 使 学生经历从特殊 到一般的过程, 体 验知识的产生形 成过程, 逐步培养 学生的抽象概括 能力。

定 义 域 值 域 在 x ? (0,??) 上为增函数 当 x ? 1时,y ? 0 当 0 ? x ? 1时,y ? 0 活动五: 练 习 , P81 , 1 、 画 出 函 数 并且说 y ? log3 x 和 y ? log1 x 图象,
3

x ? (0,??)

R 过定点(1,0) 当在 x ? (0,??) 上为减函数 当 x ? 1时,y ? 0 当 0 ? x ? 1时,y ? 0

生:独立完成。 学生存在的问题,集中讲评。

掌握对数函

师:课堂巡视,注意收集 数图象的画法。

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明这两个函数图象有什么不同点和 相同点?

活动六: 例 1、求下列函数的定义域: 。 (1) y ? loga x 2 (2) y ? loga (4 ? x) 师: (分析)函数的定义域 明确真数大 必须使函数的解析式有意义, 于 0 的条件,掌 根据 y ? loga x 中 x ? 0 中, 所以 握解题步骤。 ① 中 x2 ? 0 , 即 x ? 0 ; ②
4 ? x ? 0, ? x ? 4 。

师: (板书)解: (1)? x 2 ? 0,
?x ? 0 , 即函数 y ? loga x 2 的定

义域为?x x ? 0?。 (2)? 4 ? x ? 0,

? x 2 ? 0, ? x ? 4 ,即函数

?x x ? 4?。
练习:P81 ,2, 求下列函数的定义域: (1) y ? log5 (1 ? x) (2) y ? (3) y ? log 7 活动七: 例 2, 比较下列各组数中两个值 的大小。 (1) log2 3.4 (2) log0.3 1.8 (3) log2 0.5 (4) log5 6
1 log2 x

y ? loga (4 ? x) 的 定 义 域 为

生:认真听讲,积极思考, 叙述解例 1 的步骤。 师:请 4 个同学上台板演。 生:独立完成。 对学生完成情况进行点评。 函数图象性 质,得到进一下

1 (4) y ? log3 x 1 ? 3x

师:课堂巡视,个别辅导, 的巩固和提高。

师:( 分析 ) 请同学们观察

利用对数函

(1)(2) 两题,这两个对数底数 数的单调性,进

log2 8.5

相 同 , 因 此 (1) 可 认 为 是 行两个函数对数

log0.3 2.7

y ? log2 x 中,x 取 3.4 和 8.5 值的大小比较,
时 的 函 数 值 。 (2) 可 认 为 是 函数的性质得到

log0.3 0.4 log6 5

y ? log0.3 x 中,x 取 1.8 和 2.7 初步应用。
的函数值。由 y ? loga x 单调性 可以比较,(3)中底数不相同, 真数也不相同,结合函数图象, 如何共同探索出比较方法,(4) 根据函数的单调性,可寻找中

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间量 1 进行比较。 (板书)解: (1)∵ y ? log2 x 在(0,+∞)上是 增函数,且 3.4<8.5, ∴ log2 3.4 ? log2 8.5 ; (2) ∵ y ? log0.3 在(0,+∞) 上是减函数, 且 1.8<2.7; ∴ log0.3 1.8 ? log0.3 2.7 (3)由 y ? log2 x 图象可知:
log2 0.3 ? 0 由 y ? log0.3 x

补充的( 3 ) (4)两小题是为 了更好地共同探 索出各种比较方 法。

图象可知, log0.3 0.4 ? 0 , ∴ log2 0.3 ? log0.3 0.4 ; (4)∵log5 6 ? log5 5 ? 1

log6 5 ? log6 6 ? 1 ,
∴log5 6 ? log6 5 。 练习:P81 3 比较下列各题中的 两个值的大小。 (1) log10 6 (2) log0.5 6 (3) log 2 0.5 (4) log 1.6 活动八: (补充思考题)看谁能解答下题。 师:鼓励学生大胆尝试。 本题是让部 2 分学有余力的同 设 log a ? 1 ,则实数 a 取值范 3 教师注意引导学生用分类 学积极去完成。 围是( ) 讨论思想,应用函数性质去解 培养学生探 2 2 A、 0 ? a ? B、 ? a ? 1 3 3 答。 索精神。渗透分 2 2 类讨论思想。 C、 0 ? a ? 或a ? 1 D、 a ? 3 3
3 1.5

log10 8 log0.5 4

师:请 4 个同学上台板演,

使学生进一

其余同学独立完成。教师在巡 步应用对数函数 视中,个别辅导。结合学生完 的性质。 成情况,有针对性的点评。

log 2 0.6
log 1.4
3 1.5

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小结: 1、 你能归纳出这节课的学习内 容吗? 2、 对数函数及其性质和指数函 数及其性质有什么区别和联系? 3、 你能谈谈这节课的收获和体 会吗? 小组讨论,合作交流,由 学生在教学 识,进一步巩固 和提高对数函数 及其性质。 学生代表总结表达,教师补充。 反思中,整理知

七、教学反思
函数内容是学生学习上的一个难点,本节课的教学设计能通过实例,渗透数学方 法和思想,与指数函数的类比学习,注重学生探究学习的过程。能够根据教学内容、 学生的认知规律和教学设计的情意原则、过程原则进行设计,突出教师的指导和学生 自主探究、合作交流的学习理念,使学生对概念的产生、图象的形成过程有了较深入 的理解。通过对对数函数的图象和性质的研究,对底数 a 的分类讨论,以达到突破难 点的目的。 通过例题的分析和讲解、 学生的练习, 使函数的图象和性质得到初步应用。 活动八补充的思考题是让层度较好的同学去完成,如果课堂时间不允许,可将此部份 内容留给学生课后去完成。

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