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高二新课程数学2.1《数列的概念与简单表示法》第2课时评估训练(新人教A版)必修五

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第 2 课时

数列的性质与递推公式

双基达标
A.R C.(-∞,0) 解析 ∵{an}是递减数列, ∴an+1-an=k(n+1)-kn=k<0. 答案 C

?限时 20 分钟? ( ).

1.在递减数列{an}中,an=kn(k 为常数),则实数 k 的取值范围是 B.(0,+∞) D.(-∞,0]

2.一个数列{an}中,a1=3,a2=6,an+2=an+1-an,那么这个数列的第 5 项为 A.6 解析 B.-3 C.-12 D.-6

(

).

由递推关系式可求得 a3=a2-a1=6-3=3,a4=a3-a2=3-6=-3,∴a5=a4-a3

=-3-3=-6. 答案 D an+1 1 3.已知{an}中,a1=1, = ,则数列{an}的通项公式是 an 2 A.an=2n C.an= 1 - 2n 1 1 B.an= 2n 1 D.an= 2 n ( ).

1 1 1 1 解析 a1=1,a2= ,a3= ,a4= ,观察得 an= n 1. 2 4 8 2- 答案 C 4.数列{an}的通项公式为 an=n2-6n,则它最小项的值是________. 解析 an=n2-6n=(n-3)2-9,∴当 n=3 时,an 取得最小值-9. 答案 -9 1 1+ ?,则 an=________. 5.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln? ? n? 解析 由 an+1-an=ln n+1 知 n

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2 a2-a1=ln , 1 3 a3-a2=ln , 2 … an-an-1=ln n , n-1

累加得:an=2+ln n. 答案 2+ln n 6.设{an}是首项为 1 的正项数列,且(n+1)an+12-nan2+an+1· an=0(n∈N*),求 an. 解 法一(累乘法)由(n+1)an+12-nan2+an+1an=0.

得(an+1+an)(nan+1-nan+an+1)=0. 由于 an+1+an>0,∴(n+1)an+1-nan=0. ∴ an+1 n = . an n+1

a2 a3 an ∴an=a1· · · …· a1 a2 an-1 n-1 1 1 2 3 =1× × × ×…× = . 2 3 4 n n 法二 (换元法)由已知得(n+1)an+1-nan=0,

设 bn=nan,则 bn+1-bn=0.∴{bn}是常数列. ∴bn=b1=1×a1=1,即 nan=1. 1 ∴an= . n

综合提高
7.数列 1,3,6,10,15,…的递推公式是 A.an+1=an+n,n∈N* B.an=an-1+n,n∈N*,n≥2 C.an+1=an+(n+1),n∈N*,n≥2 D.an=an-1+(n-1),n∈N*,n≥2 解析 经验证 B 选项合适. 答案 B

?限时 25 分钟? ( ).

8.已知数列{an}满足 an+1

? ?2a ? ?0≤a <2?, =? 1 ? ?2a -1 ? ?2≤a <1?.
n n n n

1

6 若 a1= ,则 a2 011 的值为 7

(

).

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6 A. 7

5 B. 7

3 C. 7

1 D. 7

5 3 6 解析 计算得 a2= ,a3= ,a4= .故数列{an}是以 3 为周期的周期数列,又因为 2 011= 7 7 7 6 670×3+1,所以 a2 011=a1= . 7 答案 A 9.已知数列{an},an=an+m(a<0,n∈N*),满足 a1=2,a2=4,则 a3=________. 解析 ∵?

? ?2=a+m, ?4=a2+m, ?

∴?

? ?a=-1, ?m=3. ?

∴an=(-1)n+3,∴a3=(-1)3+3=2. 答案 2 10.设 an=-n2+10n+11,则数列{an}从首项到第 m 项的和最大,则 m 的值是________. 解析 令 an=-n2+10n+11≥0,则 n≤11. ∴a1>0,a2>0,…,a10>0,a11=0, ∴S10=S11 且为 Sn 的最大值. 答案 10 或 11 11.已知函数 f(x)= 解 1 ,构造数列 an=f(n)(n∈N*),试判断{an}是递增数列还是递减数列. x?x+1? 1 1 1 = - , n?n+1? n n+1

由已知得 an=

∴an+1-an= =

1 1 1 1 - -?n-n+1? ? n+1 n+2 ?

-2 <0, n?n+1??n+2?

∴数列{an}是递减数列. 1 1 1 1 12.(创新拓展)已知数列{an}满足 an= + + +…+ . 2n n+1 n+2 n+3 (1)数列{an}是递增数列还是递减数列?为什么? 1 (2)证明:an≥ 对一切正整数恒成立. 2 (1)解 1 1 1 1 ∵an= + + +…+ , 2n n+1 n+2 n+3

1 1 1 1 ∴an+1= + + +…+ ?n+1?+1 ?n+1?+2 ?n+1?+3 2?n+1?

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1 1 1 1 1 1 + + +…+ + + , 2n 2n+1 2n+2 n+2 n+3 n+4 1 1 1 1 1 + - = - , 2n+1 2n+2 n+1 2n+1 2n+2

∴an+1-an=

又 n∈N*,∴2n+1<2n+2, ∴an+1-an>0. ∴数列{an}是递增数列. (2)证明 由(1)知数列{an}为递增数列. 1 1 所以数列{an}的最小项为 a1= ,∴an≥a1= , 2 2 1 即 an≥2对一切正整数恒成立.

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