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2018-2019学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示 1.2.1 第2课时 函数概念的综合应用讲义 新_图文

章 集合与函数概念
1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念 第2课时 函数概念的综合应用

学习目标
1.了解构成函数的要素,理解函数相等的概念.(重点、难 点)
2.会求简单函数的值(域).(难点) 3.会求形如f(g(x))的函数的定义域.(重点、难点)

函数相等 1.条件:①_定__义__域___相同;②__对__应__关__系__完全一致. 2.结论:两个函数相等.

下列各组函数中是相等函数的是( )

A.f(x)=?

xx?2与 g(x)=?

x x?2

B.y=( x)2 与 y=x

C.y=x0 与 y=1

D.f(x)=1x+1 与 g(x)=x+1 1

解析:B、C中两个函数的定义域不同,D中两个函数的定 义域和对应关系都不同.
答案:A

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打 “√”,错误的打“×”.
1.对应关系相同的两个函数一定是相等函数.( ) 2.函数的定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确 定了.( ) 3.两个函数的定义域和值域相同,则两个函数的对应关 系也相同.( ) 答案:1.× 2.√ 3.×

函数相等的判断

下列各组函数:

①f(x)=x2-x x,g(x)=x-1;

②f(x)=

xx,g(x)=

x; x

③f(x)= x+1· 1-x,g(x)= 1-x2;

④f(x)= ?x+3?2,g(x)=x+3;

⑤ 汽 车 匀 速 运 动 时 , 路 程 与 时 间 的 函 数 关 系 f(t) = 80t(0≤t≤5)与一次函数 g(x)=80x(0≤x≤5).
其中表示相等函数的是________.(填上所有正确的序号) 定义域是 对应关系 是否同
思路点拨: 否相同 ―→ 是否相同 ―→ 一函数

解析:

序号 是否相等

原因

定义域不同,f(x)定义域为{x|x≠0},g(x) ① 不等
定义域为 R



不等 对应关系不同,f(x)= 1x,g(x)= x

③ 相等 定义域、对应关系都相同

④ 不等 对应关系不同,f(x)=|x+3|,g(x)=x+3

⑤ 相等 定义域、对应关系都相同

答案:③⑤

判断函数相等的三个步骤和两个注意点 (1)判断函数是否相等的三个步骤.
(2)两个注意点. ①在化简解析式时,必须是等价变形; ②与用哪个字母表示变量无关.

1.判断下列各组函数是否是相等函数: (1)f(x)=x+2,g(x)=xx2--24; (2)f(x)=(x-1)2,g(x)=x-1; (3)f(x)=|x|,g(x)= x2; (4)f(x)=|xx|,g(x)=?????1-?1x≥?x0<?,0?.

解:(1)f(x)的定义域为 R,g(x)的定义域为{x|x≠2}.由于 定义域不同,故 f(x)与 g(x)不是相等函数.
(2)f(x)的定义域为 R,g(x)的定义域为 R,即定义域相同. 由于 f(x)与 g(x)的解析式不相同,则 f(x)与 g(x)不是相等函 数. (3)g(x)= x2=|x|=f(x),是相等函数. (4)由于函数 f(x)=|xx|的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),而 g(x)=?????1-?1x≥?x<0?,0? 的定义域为 R,所以它们不是相等函数.

求函数值和函数的值域
已知 f(x)=1+1 x(x∈R,且 x≠-1),g(x)=x2+2(x∈ R).
(1)求 f(2),g(2)的值;(2)求 f(g(2))的值;(3)求 f(x),g(x)的 值域.
思 路 点 拨 : f?x?,g?x? 代――入→法 f?2?,g?2? 由―内―到→外 f?g?2?? 图――象→法 f?x?,g?x?的值域

解:(1)∵f(x)=1+1 x,∴f(2)=1+1 2=13. 又∵g(x)=x2+2,∴g(2)=22+2=6. (2)f(g(2))=f(6)=1+1 6=17. (3)f(x)=1+1 x的定义域为{x|x≠-1}, ∴值域是(-∞,-1)∪(-1,+∞). g(x)=x2+2 的定义域为 R,最小值为 2, ∴值域是[2,+∞).

求函数值域的原则及常用方法 (1)原则:①先确定相应的定义域;②再根据函数的具体形 式及运算确定其值域. (2)常用方法: a.逐个求法:当定义域为有限集时,常用此法; b.观察法:如y=x2,可观察出y≥0; c.配方法:对于求二次函数值域的问题常用此法;

d.换元法:对于形如 y=ax+b+ cx+d的函数,求值域 时常用换元法,令 t= cx+d,将原函数转化为关于 t 的二次函 数;
e.分离常数法:对于形如 y=acxx++db的函数,常用分离常 数法求值域;
f.图象法:对于易作图象的函数,可用此法,如 y=x-1 1.

2.求下列函数的值域: (1)y=3x-1,x∈{1,3,5,7}; (2)y=-x2+2x+1,x∈R; (3)y=x+ 1-2x. 解:(1)(逐个求法)将 x=1,3,5,7 依次代入解析式,得 y= 2,8,14,20,∴函数的值域是{2,8,14,20}. (2)(配方法)∵y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2≤2,∴函数的 值域是(-∞,2].

(3)(换元法或配方法)令 1-2x=t,

则 x=1-2 t2,且 t≥0,

∴原函数化为

y=

1-2 t2+

t=



12t2



t+12





1 2

(t



1)2



1≤1.

∴所求函数的值域是(-∞,1].

1.函数的本质:两个非空数集间的一种确定的对应关 系.由于函数的定义域和对应关系一经确定,值域随之确定, 所以判断两个函数是否相等只需两个函数的定义域和对应关系 一样即可.

2.f(x)是函数符号,f表示对应关系,f(x)表示x对应的函数 值,绝对不能理解为f与x的乘积.在不同的函数中f的具体含义 不同,对应关系f可以是解析式、图象、表格等.当m是常数 时,f(m)表示自变量x=m时对应的函数值.
3.求函数的值域常用的方法有:观察法、配方法、换元 法、分离常数法、图象法等.


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