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必修二立体几何典型例题(人教版)


必修二立体几何【知识要点】
空间作为推理依据的公理和定理: (1)四个公理与等角定理: 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内. 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补. (2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理: ①判定定理: 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行. 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直. 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. ②性质定理: 如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行.垂直于同一个平面的两条直线平行. 如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. 空间中平行的判定 (1)证明线线平行: a∥c,b∥c, a∥α,a ? β α∩β=b α∥β a⊥α,b⊥α

??∩α=a,??∩β=b

?a∥b
(2)证明线面平行: a∩α= ?

? a∥b
a∥b b ? α,a ? α

? a∥b
α∥β a?β

? a∥b

? a∥α
(3)证明面面平行: α∩β= ? a∥β,b∥β

?a∥α

? a∥α
a⊥α,a⊥β α∥??,β∥??

a,b ? α,a∩b=A

?α∥β
空间中垂直的判定 (1)证明线线垂直: a⊥c,b∥c, a⊥α b?α

?α∥β

?α∥β

? α∥β

?a⊥b
(1)证明线面垂直: a⊥m,a⊥n m,n ? α,m∩n=A

? a⊥b
a∥b,b⊥α α∥β,a⊥β α⊥β,α∩β=l a ? β,a⊥l

?a⊥α
(1)证明面面垂直: a⊥β,a ? α

?a⊥α

? a⊥α

? a⊥α

?α⊥β

1. 如 果 平 面 ? 外 有 两 点 A 、 B , 它 们 到 平 面 ? 的 距 离 都 是 d , 则 直 线 AB 和 平 面 ? 的 位 置 关 系 一 定 是 ( ) A.平行 B.相交 C.平行或相交 D. AB?? 2.已知 a∥?,b∥?,则直线 a,b 的位置关系①平行;②垂直不相交;③垂直相交;④相交;⑤不垂直且不相交.; 其中可能成立的有 A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 3.直线 a∥平面?,点 A∈?,则过点 A 且平行于直线 a 的直线 ( ) A.只有一条,但不一定在平面?内 B.只有一条,且在平面?内 C.有无数条,但都不在平面?内 D.有无数条,且都在平面?内 4.已知直线 a∥平面 ? ,且它们的距离为 d,则到直线 a 与到平面 ? 的距离都等于 d 的 点的集合是 ( )A.空集 B.两条平行直线 C.一条直线 D.一个平面 5. A、B 是直线 l 外的两点,过 A、B 且和 l 平行的平面的个数是 ( ) A.0 个 B.1 个 C.无数个 D.以上都有可能 6.已知直线 a、b,平面?、?,以下条件中能推出?∥?的是 ( ) ①a??,b??,a∥b; ②a??,b??,a∥?,b∥?;③a∥b,a⊥?,b⊥?. A.① B.② C. ③ D.均不能 7.若平面?∥平面?,直线 a??,直线 b??,那么直线 a,b 的位置关系是 ( ) A.垂直 B.平行 C.相交 D.不相交 8.设 l 是直线, ? , ? 是两个不同的平面 A. 若 l ∥ ? , l ∥β ,则 ? ∥β B. 若 l ∥ ? , l ⊥β ,则 ? ⊥β C. 若 ? ⊥β , l ⊥ ? ,则 l ⊥β D. 若 ? ⊥β , l ∥ ? ,则 l ⊥β 9.若有平面 ? 与 ? ,且 ? ? ? ? l ,? ? ? , P ?? , P ? l ,则下列说法不正确的是( A.过点 P 且垂直于 ? 的直线平行于 ? C.过点 P 且垂直于 ? 的直线在 ? 内 ① ? ∥ ? 则 l⊥m A.①② ② ? ⊥ ? 则 l∥m B.③④ C.②④ D.过点 P 且垂直于 l 的直线在 ? 内 ( ③l∥m 则 ? ⊥ ? D.①③ ) ④l⊥m 则 ? ∥ ?

)

B.过点 P 且垂直于 l 的平面垂直于 ?

10.已知 l⊥ ? ,m ? ? ,则下面说法中正确的是

11.如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1= 2,AB=1,AD=2,E 为 BC 的中点,点 M 为棱 AA1 的中点. (1)证明:DE⊥平面 A1AE;(2)证明:BM∥平面 A1ED.

12.如图,四边形 ABCD 为矩形,BC⊥平面 ABE,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. (1)求证:AE⊥BE; (2)设点 M 为线段 AB 的中点,点 N 为线段 CE 的中点.求证:MN∥平面 DAE.

13.在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边三角形,已知 BD=2AD=8,

AB ? 2DC ? 4 5 .
(1)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P-ABCD 的体积.

14.如图,已知空间四边形 ABCD 中,BC=AC,AD=BD,E 是 AB 的中点. 求证:(1)AB⊥平面 CDE; (2)平面 CDE⊥平面 ABC;

简单几何体的面积和体积
1.已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为 1, 3,2,则其外接球的 表面积为________.

2.若等腰直角三角形的直角边长为 2,则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的 几何体体积是_________.

3.如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 为棱 AA1 的中点.若截面△BC1D 是面积为 6 的直角三 角形,则此三棱柱的体积为________.

4.矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成两个互相垂直的平面 则四面体 ABCD 的外接球的体积为________.

5.已知过球面上三点 A、B、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半,且 AC=BC=6,AB= 4,则球的半径等于________,球的表面积等于________.

6.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,过 A1、C1、B 三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的 40 几何体 ABCD-A1C1D1,且这个几何体的体积为 . 3 (1)证明:直线 A1B∥平面 CDD1C1; (2)求棱 A1A 的长; (3)求经过 A1,C1,B,D 四点的球的表面积.

7.用与球心距离为 1 的平面去截球,所得的截面面积为 π,则球的体积为________. 32π 8.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切, 若这个球的体积是 , 则这个三棱柱的体积是________. 3

9.若正方体的棱长为 2,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为________.

10.在一个锥体中,作平行于底面的截面,若这个截面面积与底面面积之比为 1∶3,则锥体被截面所分成的两部分 的体积之比为________

11.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2 3,则四面体 A-B1CD1 的外接球的体积为________.

12.如图,已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,△ACD 为等边三角形,AD=DE=2AB=2,F 为 CD 的中点. (1)求证:AF⊥平面 CDE; (2)求证:AF∥平面 BCE; (3)求四棱锥 C-ABED 的体积.


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