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57822..com:江苏省南京外国语学校仙林分校中学部2017--2018第一学期高二上学期期中测试数学试卷(含精品解析)

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南外仙林分校中学部 2017-2018 学年第一学期高二年级期中测试 数学试题
第Ⅰ卷(100 分) 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 6 分,共 48 分)
1.抛物线 的准线方程为________.

【答案】 【解析】

抛物线 的准线方程为

;故填

.

2.函数

在区间[ -2,3 ]上的最小值为 ________.

【答案】0

【解析】

因为

,所以

,所以函数

在区间 单调递减,在区

间 单调递增,即当 时,函数

取得最小值为 0;故填 0.

3.已知 , ,则以 为直径的圆的方程为___________.

【答案】 【解析】

因为 , ,所以以 为直径的圆的圆心为 ,半径为



.

4.函数 【答案】

的单调增区间为____________.

【解析】

,即该圆的方程为

;故

函数 调减区间为

的定义域为 ;故填 .

5.若双曲线 的渐近线方程为

,且 ,且经过点

,令

,得

,即函数

,则 的标准方程为____________.

的单

【答案】 【解析】

以直线

为渐近线的双曲线方程可设为

,又因为该双曲线过点

,所以



即 的标准方程为

;故填

.

【技巧点睛】本题考查双曲线的几何性质;已知双曲线的渐近线方程求双曲线的标准方程时,可利用“以

直线

为渐近线的双曲线方程可设为

”进行求解,避免对双曲线的标准方程的讨论.

6.若椭圆短轴一端点到椭圆一个焦点的距离是该焦点到同侧长轴端点距离的 倍,则该椭圆的离心率为

___________.

【答案】 【解析】

不妨设椭圆的标准方程为

,则椭圆短轴一端点 到椭圆一个焦点 的距离是该焦

点 到同侧长轴端点

7.函数

的图象在点

【答案】

【解析】

的距离的 倍,则

,即

处的切线方程为__________________.

,即该椭圆的离心率为 .

因为

,所以

,则

,即函数

的图象在点 处的切线方程为





.

8.圆心在 x 轴上且与直线

切于点 的圆 的标准方程为_______________.

【答案】 【解析】

由题意设圆的标准方程为

,则

,解得

,即该圆的标准方程为

;故填

.

二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 13 分,共 52 分)

9.(1) 已知双曲线 :

的离心率

,求实数 的取值范围.

(2)过抛物线

的焦点 作倾斜角为 的直线交抛物线于 , 两点,若线段 的长为 8,求 的

值.

【答案】(1)

(2)

【解析】

试题分析:(1)利用双曲线的几何要素间的等量关系和离心率公式进行求解;(2)联立直线和抛物线的标准方 程,得到关于 的一元二次方程,利用根与系数的关系和两点间的距离公式进行求解.

试题解析:(1)

 ,

 ∴

  

(2) 过焦点 的直线方程为



 

   ∴

  

 ∴

   

   

 ∴  ∴                        【方法点睛】本题第二问考查过抛物线的焦点的弦问题;在求过抛物线的焦点的弦的长度或焦半径时,利 用抛物线的定义(将抛物线的点到焦点的距离转化为到准线的距离)可起到事半功倍的效果,如:过抛物

线

的焦点 的直线交抛物线于

两点,则

.

10.已知椭圆

的右顶点 , 到右焦点的距离与其到右准线的距离之比为 ,

(1)求椭圆的方程;

(2)直线

与椭圆交于 , 两点,问 , 两点横坐标的平方和是否为定值?

【答案】(1) +y2=1 (2) 【解析】 试题分析:(1)利用椭圆的第二定义(椭圆上的点到右焦点的距离与其到右准线的距离之比等于离心率)进 行求解;(2)联立直线和椭圆的标准方程,整理得到关于 的一元二次方程,利用根与系数的关系进行求解.
试题解析:(1)由题意得: ,    ∴          

 ∴椭圆的方程为



(2)设





 

   









11.在边长为 48 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖

的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱底的容积最大?最大容积是多少?

【答案】当箱底边长为 32 时,箱底的容积最大为 8192. 【解析】 试题分析:设箱底的边长为 ,建立箱子的体积关于 的函数表达式,再利用导数求其最值.

试题解析:设箱底的边长为 ,则箱高为

箱子的容积为

  

求导:



时,

,当

时,



∴当 时,



答:当箱底边长为 32 时,箱底的容积最大为 8192.

12.已知圆 M:

与 轴相切.

(1)求 的值;

(2)求圆 M 在 轴上截得的弦长;

(3)若点 是直线

上的动点,过点 作直线

与圆 M 相切, 为切点,求四边形

面积

的最小值.

【答案】(1) (2) (3)

【解析】

试题分析:(1)先将圆的一般方程化成标准方程,利用直线和圆相切进行求解;(2) 令 ,得到关于 的一

元二次方程进行求解;(3)将四边形的面积的最小值问题转化为点到直线的的距离进行求解.

试题解析:(1)



   ∴

  ∵圆 M:

与 轴相切  

(2) 令 ,则  ∴

  ∴

(3)  ∵ 的最小值等于点 到直线

的距离, 



 ∴

∴四边形

面积的最小值为 .

第Ⅱ卷(60 分)

三、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

13.在平面直角坐标系 中,已知抛物线 【答案】2 【解析】

上一点 到焦点的距离为 3,则点 的横坐标是____.

若抛物线

上一点 到焦点 的距离为 3,则

,解得 ,即点 的横坐标是 2.

【方法点睛】本题考查过抛物线的焦点的弦问题;在求过抛物线的焦点的弦的长度或焦半径时,利用抛物

线的定义(将抛物线的点到焦点的距离转化为到准线的距离)可起到事半功倍的效果,如:过抛物线

的焦点 的直线交抛物线于

两点,则

.

14.已知函数

,则 的极大值为____________.

【答案】

【解析】

因为函数

的定义域为

,且

,令 ,则

,即

,即

, ;故填
15.已知双曲线 【答案】10 【解析】

,则函数在 .

上单调递增,在区间

上单调递减,即 的极大值为

上一点 到一个焦点的距离等于 2,则点 到另一个焦点距离为______.

设双曲线

的焦点分别为 ,由题意,得

,所以

;故填 10.

【技巧点睛】本题考查双曲线的定义;处理涉及椭圆或双曲线的点与两焦点间的距离问题时,往往利用椭

圆或双曲线的定义进行求解;但要有时需要判定该点在双曲线上的哪一支上,以免出现增解.

16.设

,其中 为正实数,若 为 上的单调递增函数,则 的取值范围是________.

【答案】(0,1]

【解析】

因为

,所以

,因为 为 上的单调递增函数,所以

恒成立,

又 为正实数,所以

,解得

,即则 的取值范围是 ;故填 .

【方法点睛】本题考查导数和函数的单调性的关系;已知函数在某区间上单调时,往往转化为导函数恒为

正或恒为负,如: 为 上的单调递增函数,所以

恒成立,而不要错误认为“

恒成立”.

17.已知椭圆

的左、右焦点分别为 ,P 是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点,则

______________. 【答案】2 【解析】

由题意,得

的左、右焦点分别为

,设以椭圆短轴为直径的圆上任意一点

,则



;故填 2.

【技巧点睛】本题考查椭圆的几何性质和平面向量的数量积运算;本题的难点在于如何设出点 的坐标,

而本解法借助点 在以椭圆短轴为直径的圆上,常用三角函数代换设法

,降低了困难.

18.已知半径为 的动圆 经过圆 则直线 被圆 截得的弦长最大值是__________. 【答案】

的圆心,且与直线

相交,

【解析】 设半径为 的且经过圆

的圆心 的动圆 的标准方程为

,即

,即

,则

解得 长最大值是

,则

,圆心 ;故填 .

到直线 的距离

四、解答题(本大题共 2 小题,每小题 15 分,共 30 分)

19.已知函数

( 为实常数).

(1)若 a=-2,求证:函数 在(1,+∞)上是增函数;

(2)求函数 在 上的最小值及相应的 值.

【答案】(1)见解析(2)当 时, 的最小值为 1,相应的 x 值为 1;

,即



,则直线 被圆 截得的弦



时, 的最小值为

,相应的 x 值为 ;



时, 的最小值为

【解析】



,相应的 x 值为 .

20.已知椭圆

的离心率为 ,短轴长为 .

(1)求椭圆 的方程;

(2)设 , 是椭圆 上关于 轴对称的任意两个不同的点,连接 交椭圆 于另一点 ,证明直线 与

轴相交于定点 ;

(3)在(2)的条件下,过点 的直线与椭圆 交于 , 两点,求

的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【解析】

试题分析:⑴利用椭圆的定义和性质求出 , ,即可求出椭圆的方程;⑵由题意知直线 的斜率存

在,设直线 的方程为

,由



,再由根与系数的关系

证明直线 与 轴相交于定点

;⑶分 的斜率存在与不存在两种情况讨论,与椭圆方程联立得出点

的坐标之间的关系,再表示出

,进而可求出其取值范围;

解析:(1)由题意知



又∵

,∴ ,∴ ,



,得 ,故椭圆 的方程为

(2)由题意知直线 的斜率存在,设直线 的方程为

. ,





.①

设点



,则



直线 的方程为



令 ,得

,将



代入,

整理,得

.②

由①得



代入②整理,得 .

∴直线 与 轴相交于定点 .

(3)当过点 直线 的斜率存在时,设直线 的方程为







在椭圆 上,











,易知 ,







∵ ,∴







当过点 直线 的斜率不存在时,其方程为 ,

解得







.

此时

,∴

的取值范围是

.

点睛:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的简单性质及椭圆的应用和椭圆的标准方程,还

考查了数量积的坐标表达式。该题目的主要目的是检查学生对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关

知识的理解。


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