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高三一轮复习《二次函数》


高三一轮复习《二次函数》 二次函数是高考的重点内容,主要考查二次函数的图像和性质(最值及单调性)应用, 特别是二次函数、 一元二次方程、 一元二次不等式三者之间的联系及应用。 同时对数形结合、 函数与方程等数学思想方法的考查也蕴含其中。 一、知识点 1、二次函数解析式的三种形式 (1)一般式: 。 (2)顶点式: 。 (3)两点式: 。 2、二次函数的图像和性质 1 对称轴: ○
2 顶点坐标: 。○

。 上是减函数,在 上是增函数, 在 上是增 上

3 单调性及值域: a ? 0 时开口 ○ 函数,y ? 是减函数, y ?

, f ( x) 在 ,f ( x ) 在

a ? 0 时开口 ;


3、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系 二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的零点是相应一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的
2



也是一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 (或 ax ? bx ? c ? 0 )解集的
2 2



4、二次函数在闭区间的最值:二次函数在闭区间上的必有最大值和最小值,它只能在区间 的 或二次函数的 处取得。 5、一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布) 根的分布( m ? n ? p 且为常数) 图像
y

满足的条件

x1 ? x2 ? m

x1

o

x2

m

x

m ? x1 ? x2
1 m x o

y x2

x

x1 ? m ? x2

m ? x1 ? x2 ? n

m ? x1 ? n ? x2 ? p

m ? x1 ? x2 ? n

只有一根在区间 (m, n) 内

题型一、求二次函数的解析式

例 1、二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1,则 f(x)的解析式为( A.f(x)=-x2-x-1 B.f(x)=-x2+x-1 C.f(x)=x2-x-1 D.f(x)=x2-x+1



1 f (3 ? x) ? f ( x) , ○ 2 f (1) ? 0 , ○ 3 对任意实数 x , 2 、 已 知 二 次 函 数 f ( x) 满 足 : ○

f ( x) ?

1 1 ? 恒成立,求 f ( x) 的解析式 4a 2

题型二、二次函数的图像和性质 例 2、 (1)函数 f ( x) ? x 2 ? mx? 1 的图像关于直线 x ? 1 对称的充要条件是 (2) 、若函数 f ( x) ? mx2 ? x ? 5 在 ?? 2,??? 上是增函数,则 m 的取值范围是
2 (3) 、设 abc ? 0 ,二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图像可能是(

。 。 )

A

B

C

D

2 (4) 、已知 t 为常数,函数 y ? x ? 2 x ? t 在区间 ?0,3? 上的最大值为 2,则 t =

。 )

(5) 、 如果函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c 对任意的实数 x , 都有 f ( ? x) ? f ( ? x) , 那么 ( A、 f (?2) ? f (0) ? f (2) C、 f (2) ? f (0) ? f (?2) 题型三、二次函数的值域问题 例 3、已知函数 f ( x) ? 4 x 2 ? 4ax ? a 2 ? 2a ? 2 在区间 ?0,2? 上有最小值 3,求 a 的值。 B、 f (0) ? f (?2) ? f (2) D、 f (0) ? f (2) ? f (?2)

1 2

1 2

练习、已知函数 f ( x) ? 3?2 x

2

?ax ?1

(a ? R)(1)若函数的单调递增区间为 (??,1) ,求 a 的值;

(2)若函数 f ( x) 的值域为 ?0,9? ,求 a 的值。

题型四、根的分布情况

例 4. (1) ? ?

? x1 ? x 2 ? 8 是? 成立的( ? x 2 ? 4 ? x1 x 2 ? 16

x1 ? 4

)条件

A.必要不充分 B.充分不必要 C.充要 D.既不充分也不必要 2 (2)设 A={(x,y)|y=x +ax+2} B={(x,y)|y=x+1,0≤x≤2},A∩B≠φ ,则实数 a 的取值范围是 。 练习 4、实数 a 为何值时,方程(a-2)x2-2(a+3)x+4a=0 有一根大于 3,而另一根 小于 2?

巩固练习 1、下列命题中,真命题是(



A、 ?m ? R ,使函数 f ( x) ? x 2 ? mx( x ? R) 是偶函数 B、 ?m ? R ,使函数 f ( x) ? x 2 ? mx( x ? R) 是奇函数 C、 ?m ? R ,使函数 f ( x) ? x 2 ? mx( x ? R) 是偶函数 D、 ?m ? R ,使函数 f ( x) ? x 2 ? mx( x ? R) 是奇函数

2. 二次函数 f(x)满足 f(3+x)=f(3-x), 且 f(x)=0 有两个实根 x1、 x2, 则 x1+x2= ( A.0 B.3 C.6 D.不能确定
3、在二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 中, a, b, c 成等比数列,且 f (0) ? ?1 ,则( A、 f ( x) 有最大值 ?




3 3 3 3 B、 f ( x) 有最小值 C、 f ( x) 有最小值 ? D、 f ( x) 有最大值 4 4 4 4

4. 已知函数 f(x)=4x2-mx+5 在区间 [ ?2,??) 上是增函数, 则 f(1)的范围是 ( A.f(1)≥25 B.f(1)=25 C.f(1)≤25 2 5.若α 、β 是方程 x -kx+8=0 的两个相异实根,则( A.|α |≥3 且|β |>3 B.|α +β |<4 2
?3 ?2



D.f(1)>25 )

C.|α |>2,且|β |>2 D.|α +β |>4 2
? ?
x ) ? 4m 2 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) 恒 m

2 6 、设函数 f ( x) ? x ?1 ,对任意 x ? ? ,?? ? , f (

成立,则实数 m 的取值范围是
2



7、已知方程 x +(m-2)x+2m-1=0 有且只有一个实根在(0,1)内,则 m 的取值范 围是 。 2 8、 方程 7x -(k+13)x+k2-k-2=0 的两根分别在(0,1)和(1,2)内, 则 k 的范围是 .
2 1 f (?1) ? 0 ;○ 2 对任意 9、已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 同时满足下列条件:○
3 当 x ? (0,2) 时,有 f ( x ) ? ( 的实数 x ,都有 f ( x) ? x ? 0 ;○

x ?1 2 ) 2

(1)求 f (1) 的值; (2)求 a, b, c 的值

10、若关于 x 的方程 lg(ax)=2lg(x+3)有两个不等实根,求实数 a 的范围.


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