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人教版高一数学必修三第二章统计全部教案和测试题


人教版高一数学必修三 第二章 统计 目录 2.1.1 简单随机抽样(新授课) 2.1.2 系统抽样(新授课) 2.1.3 分层抽样(新授课)

2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布(2 课时)(新授课)
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(2 课时)(新授课) 2.3.1 变量之间的相关关系(新授课) 2.3.2 两个变量的线性相关(第一课时) (新授课) 2.3.2 两个变量的线性相关(第二课时) (新授课)

2.3.2 生活中线性相关实例(第三课时) (新授课) 第二章 第二章 第二章 第二章 第二章 第二章 统计单元检测题(一) 统计单元检测题(一)参考答案 统计单元检测题(二) 统计单元检测题(二)参考答案 统计单元检测题(三) 统计单元检测题(三)参考答案

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第二章
一、课程目标:

统计

本章主要介绍最基本的获取样本数据的方法, 以及集中从样本数据中提取信息的统计方 法,其中包括用样本估计总体分布、数字特征和线性回归等内容。本章通过实际问题,进一 步介绍随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法。 二、学习目标: 1、随机抽样 (1)能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。 (2)结合具体的实际问题情境,理解随机抽样的必要性和重要性。 (3)在参与解决统计问题的过程中,学会用简单随机抽样从总体中抽取样本;通过对实例 的分析,了解分层抽样和系统抽样方法。 (4)通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。 2、用样本估计总体 (1)通过实例体会分布的意义和作用,在表示样本数据的过程中,学会列频率分布彪、花 频率分布直方图、频率折线图、茎叶土,体会它们各自的特点。 (2)通过实例理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据样本差。 (3)能根据实际问题的需求合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征,并做出 合理的解释。 (4)进一步体会用样本估计总体的思想。 (5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想,解决一些简单的实际问题。 (6)形成对数据处理过程进行初步评价的意识。 3、变量的相关性 (1)通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变量 间的相关关系。 (2)经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想。能根据 给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。 三、本章知识结构框图 收集数据(随机抽样) 整理、分析数据, 估计、推断

简单随机抽样

分层抽样

系统抽样

用样本估计总体

变 量 间的 相 关关系

用 样 本的 频 率 分 布估 计 总体分布

用 样 本数 字 特 征 估计 总 体数字特征

线性回归分析

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四、课时分配: 全章共安排了 3 个小节,教学约需 16 课时,具体安排如下: 2.1 随机抽样 2.2 用样本估计总体 2.3 变量间的相关关系 实习作业 小结 约 5 课时 约 5 课时 约 4 课时 约 1 课时 约 1 课时

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2.1.1 简单随机抽样(新授课)
一、教学目标: 知识与技能:正确理解随机抽样的概念,掌握抽签法、随机数表法的一般步骤; 过程与方法: (1)能够从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题; (2)在解决统计问题的过程中,学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本。 情感态度与价值观:通过对现实生活和其他学科中统计问题的提出,体会数学知识与现 实世界及各学科知识之间的联系,认识数学的重要性。 二、教学重点与难点 正确理解简单随机抽样的概念,掌握抽签法及随机数法的步骤,并能灵活应用相关知识 从总体中抽取样本。 三、教学过程 (一)创设情景,揭示课题 假设你作为一名食品卫生工作人员,要对某食品店内的一批小包装饼干进行卫生达标 检验,你准备怎样做? 显然,你只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本。 (为什么?)那么,应当怎 样获取样本呢? (二)探究新知 1、简单随机抽样的概念 一般地,设一个总体含有 N 个个体,从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本(n≤ N) ,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等, 就把这种抽样方法叫做简单随 机抽样。 注意:简单随机抽样必须具备下列特点: (1)简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数 N 是有限的。 (2)简单随机样本数 n 小于等于样本总体的个数 N。 (3)简单随机样本是从总体中逐个抽取的。 (4)简单随机抽样是一种不放回的抽样。 (5)简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为 n/N。 思考:下列抽样的方式是否属于简单随机抽样?为什么? (1)从无限多个个体中抽取 50 个个体作为样本。 (2)箱子里共有 100 个零件,从中选出 10 个零件进行质量检验,在抽样操作中,从 中任意取出一个零件进行质量检验后,再把它放回箱子。 2、抽签法和随机数法 (1) 、抽签法的定义。 一般地,抽签法就是把总体中的 N 个个体编号,把号码写在号签上,将号签放在一个 容器中, 搅拌均匀后, 每次从中抽取一个号签, 连续抽取 n 次, 就得到一个容量为 n 的样本。 抽签法的一般步骤: a、将总体的个体编号。

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b、连续抽签获取样本号码。 思考:你认为抽签法有什么优点和缺点:当总体中的个体数很多时,用抽签法方便吗? (2)随机数表法: 利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样,叫随机数表法,这里仅 介绍随机数表法。 怎样利用随机数表产生样本呢?下面通过例子来说明,假设我们要考察某公司生产的 500 克袋装牛奶的质量是否达标,现从 800 袋牛奶中抽取 60 袋进行检验,利用随机数表抽 取样本时,可以按照下面的步骤进行。 第一步,先将 800 袋牛奶编号,可以编为 000,001,?,799。 第二步,在随机数表中任选一个数,例如选出第 8 行第 7 列的数 7(为了便于说明, 下面摘取了附表 1 的第 6 行至第 10 行)(课本 59 页) 。 第三步,从选定的数 7 开始向右读(读数的方向也可以是向左、向上、向下等) ,得 到一个三位数 785,由于 785<799,说明号码 785 在总体内,将它取出;继续向右读,得到 916,由于 916>799,将它去掉,按照这种方法继续向右读,又取出 567,199,507,?, 依次下去,直到样本的 60 个号码全部取出,这样我们就得到一个容量为 60 的样本。 注:随机数表法的步骤: a、将总体的个体编号。 b、在随机数表中选择开始数字。 c、读数获取样本号码。 (三)典例精析 例 1:人们打桥牌时,将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌,这时按次序搬牌时, 对任何一家来说,都是从 52 张牌中抽取 13 张牌,问这种抽样方法是否是简单随机抽样? 分析: 简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本,而这里只是随机确定 了起始张,其他各张牌虽然是逐张起牌,但是各张在谁手里已被确定,所以不是简单随机抽 样。 例 2:某车间工人加工一种轴 100 件,为了了解这种轴的直径,要从中抽取 10 件轴在 同一条件下测量,如何采用简单随机抽样的方法抽取样本? 分析: 简单随机抽样一般采用两种方法:抽签法和随机数表法。 解法 1: (抽签法)将 100 件轴编号为 1,2,?,100,并做好大小、形状相同的号签, 分别写上这 100 个数,将这些号签放在一起,进行均匀搅拌,接着连续抽取 10 个号签,然 后测量这个 10 个号签对应的轴的直径。 解法 2: (随机数表法)将 100 件轴编号为 00,01,?99,在随机数表中选定一个起 始位置,如取第 21 行第 1 个数开始,选取 10 个为 68,34,30,13,70,55,74,77,40, 44,这 10 件即为所要抽取的样本。 (四)课堂练习:P59 练习 (五)课时小结 1、简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法,简单随机抽样有两种选取个体的 方法:放回和不放回,我们在抽样调查中用的是不放回抽样,常用的简单随机抽样方法有抽

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签法和随机数法。 2、抽签法的优点是简单易行,缺点是当总体的容量非常大时,费时、费力,又不方 便,如果标号的签搅拌得不均匀,会导致抽样不公平,随机数表法的优点与抽签法相同,缺 点上当总体容量较大时,仍然不是很方便,但是比抽签法公平,因此这两种方法只适合总体 容量较少的抽样类型。 3、简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等,均为 n/N,但是这里一定要将每个个 体入样的可能性、 n 次每个个体入样的可能性、 第 特定的个体在第 n 次被抽到的可能性这三 种情况区分开业,避免在解题中出现错误。 (六)课堂检测: 1、为了了解全校 240 名学生的身高情况,从中抽取 40 名学生进行测量,下列说法正确的 是 A.总体是 240 C、样本是 40 名学生 200 个零件的长度是 A、总体 C、总体的一个样本 B、个体是每一个学生 D、样本容量是 40 ( ) B、个体是每一个学生 D、样本容量 。

2、为了正确所加工一批零件的长度,抽测了其中 200 个零件的长度,在这个问题中,

3、一个总体中共有 200 个个体,用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为 20 的样 本,则某一特定个体被抽到的可能性是 性是 四、课后反思: 。 4、从 3 名男生、2 名女生中随机抽取 2 人,检查数学成绩,则抽到的均为女生的可能

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2.1.2 系统抽样(新授课)
一、教学目标: 知识与技能: (1)正确理解系统抽样的概念; (2)掌握系统抽样的一般步骤; (3)正确理解系统抽样与简单随机抽样的关系; 过程与方法:通过对实际问题的探究,归纳应用数学知识解决实际问题的方法,理解分 类讨论的数学方法, 情感态度与价值观:通过数学活动,感受数学对实际生活的需要,体会现实世界和数学 知识的联系。 二、教学重点与难点:正确理解系统抽样的概念,能够灵活应用系统抽样的方法解决统计问 题。 三、教学过程: (一)创设情境,引入课题: 某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见,打算从高一年级 500 名学生中抽取 50 名进行调查,除了用简单随机抽样获取样本外,你能否设计其他抽取样本的方法? (二)研探新知 1、系统抽样的定义: 一般地,要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,可将总体分成均衡的若干部分, 然后按照预先制定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本,这种抽样的方法 叫做系统抽样。 注意:系统抽样的特证: (1)当总体容量 N 较大时,采用系统抽样。 (2)将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段,分段的间隔要求相等,因此, 系统抽样又称等距抽样,这时间隔一般为 k=[
N n

].

(3)预先制定的规则指的是:在第 1 段内采用简单随机抽样确定一个起始编号,在 此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号。 思考: (1)你能举几个系统抽样的例子吗? (2)下列抽样中不是系统抽样的是 ( )

A、从标有 1~15 号的 15 号的 15 个小球中任选 3 个作为样本,按从小号到 大号排序,随机确定起点 i,以后为 i+5, i+10(超过 15 则从 1 再数起)号入样 B 工厂生产的产品,用传关带将产品送入包装车间前,检验人员从传送带上每隔五分 钟抽一件产品检验 C、搞某一市场调查,规定在商场门口随机抽一个人进行询问,直到调查到事先规定
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的调查人数为止 D、电影院调查观众的某一指标,通知每排(每排人数相等)座位号为 14 的观众留 下来座谈 答案: (2)C 不是系统抽样,因为事先不知道总体,抽样方法不能保证每个个体按事 先规定的概率入样。 2、系统抽样的一般步骤。 (1)采用随机抽样的方法将总体中的 N 个个编号。 (2)将整体按编号进行分段,确定分段间隔 k(k∈N,L≤k). (3)在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号 L(L∈N,L≤k) 。 (4)按照一定的规则抽取样本,通常是将起始编号 L 加上间隔 k 得到第 2 个个体编 号 L+K,再加上 K 得到第 3 个个体编号 L+2K,这样继续下去,直到获取整个样本。 注意:从系统抽样的步骤可以看出,系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解 决,从而把复杂问题简单化,体现了数学转化思想。 (三)典例精析: 例 1、某校高中三年级的 295 名学生已经编号为 1,2,??,295,为了了解学生的学 习情况,要按 1:5 的比例抽取一个样本,用系统抽样的方法进行抽取,并写出过程。 分析:按 1:5 分段,每段 5 人,共分 59 段,每段抽取一人,关键是确定第 1 段的编 号。 解:按照 1:5 的比例,应该抽取的样本容量为 295÷5=59,我们把 259 名同学分成 59 组,每组 5 人,第一组是编号为 1~5 的 5 名学生,第 2 组是编号为 6~10 的 5 名学生,依 次下去,59 组是编号为 291~295 的 5 名学生。采用简单随机抽样的方法,从第一组 5 名学 生中抽出一名学生, 不妨设编号为 k(1≤k≤5), 那么抽取的学生编号为 k+5L(L=0,1,2,??, 58),得到 59 个个体作为样本,如当 k=3 时的样本编号为 3,8,13,??,288,293。 例 2、从忆编号为 1~50 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚来进行发 射实验, 若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法, 则所选取 5 枚导弹的编号可能 是 A.5,10,15,20,25 C.1,2,3,4,5 B、3,13,23,33,43 D、2,4,6,16,32

简 析 : 用 系 统 抽 样 的 方 法 抽 取 至 的 导 弹 编 号 应 该 k,k+d,k+2d,k+3d,k+4d, 其 中 d=50/5=10,k 是 1 到 10 中用简单随机抽样方法得到的数, 因此只有选项 B 满足要求, 故选 B。 (四)课堂练习 P61 练习 1. 2. 3 (五)课时小结 1、在抽样过程中,当总体中个体较多时,可采用系统抽样的方法进行抽样,系统抽样 的步骤为: (1)采用随机的方法将总体中个体编号;
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(2)将整体编号进行分段,确定分段间隔 k(k∈N); (3)在第一段内采用简单随机抽样的方法确定起始个体编号 L; (4)按照事先预定的规则抽取样本。 2、在确定分段间隔 k 时应注意:分段间隔 k 为整数,当 n 不是整数时,应采用等可 能剔除的方剔除部分个体,以获得整数间隔 k。 (六)课堂检测: 1、从 2005 个编号中抽取 20 个号码入样,采用系统抽样的方法,则抽样的间隔为 ( ) B、99,5 D、100,5
N

A.99 C.100

2、从学号为 0~50 的高一某班 50 名学生中随机选取 5 名同学参加数学测试,采用系 统抽样的方法,则所选 5 名学生的学号可能是 A.1,2,3,4,5 C.2, 4, 6, 8, 10 ( )

B、5,16,27,38,49 D、4,13,22,31,40

3、采用系统抽样从个体数为 83 的总体中抽取一个样本容量为 10 的样本,那么每个个 体人样的可能性为 A.8 C.8.5 B.8,3 D.9 ( )

4、某小礼堂有 25 排座位,每排 20 个座位,一次心理学讲座,礼堂中坐满了学生,会 后为了了解有关情况,留下座位号是 15 的所有 25 名学生进行测试,这里运用的是 抽样方法。 5、某单位的在岗工作为 624 人,为了调查工作上班时,从家到单位的路上平均所用的 时间, 决定抽取 10%的工作调查这一情况, 如何采用系统抽样的方法完成这一抽样? 四、课后反思:

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2.1.3

分层抽样(新授课)

一、教学目标: 知识与技能: (1)正确理解分层抽样的概念; (2)掌握分层抽样的一般步骤; (3)区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样,并选择适当正确的方法进行抽样。 过程与方法:通过对现实生活中实际问题进行分层抽样,感知应用数学知识解决实际问 题的方法。 情感态度与价值观:通过对统计学知识的研究,感知数学知识中“估计”与“精确”性的 矛盾统一,培养学生的辩证唯物主义的世界观与价值观。 二、教学重点与难点:正确理解分层抽样的定义,灵活应用分层抽样抽取样本,并恰当的选 择三种抽样方法解决现实生活中的抽样问题。 三、教学过程: (一)创设情景,引入新课 假设某地区有高中生 2400 人,初中生 10900 人,小学生 11000 人,此地教育部门为了 了解本地区中小学的近视情况及其形成原因,要从本地区的小学生中抽取 1%的学生进行调 查,你认为应当怎样抽取样本? (二)研探新知 1、分层抽样的定义 一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独 立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样的方法叫 分层抽样。 注意:分层抽样又称类型抽样,应用分层抽样应遵循以下要求: (1)分层:将相似的个体归人一类,即为一层,分层要求每层的各个个体互不交叉, 即遵循不重复、不遗漏的原则。 (2)分层抽样为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层 样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等。 2、分层抽样的步骤: (1)分层:按某种特征将总体分成若干部分。 (2)按比例确定每层抽取个体的个数。 (3)各层分别按简单随机抽样的方法抽取。 (4)综合每层抽样,组成样本。 注意: (1)分层需遵循不重复、不遗漏的原则。 (2)抽取比例由每层个体占总体的比例确定。 (3)各层抽样按简单随机抽样进行。 3、 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较 适 用 范 围 总体个 数较少

类 别 简 单 随 机

共同点 (1)抽样过程中每个 个体被抽到的可

各自特点 从总体中逐个抽取





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抽 样 系 统 抽 样 分 层 抽 样

能性相等 将总体均分成几部 (2)每次抽出个体后 分,按预先制定的规则 不再将它放回, 即 在各部分抽取 不放回抽样 将总体分成几层, 分层进行抽取

在起始部分 样时采用简 随机抽样 分层抽样时采用 简单随机抽样或 系统抽样

总体个 数较多 总体由 差异明 显的几 部分组 成

(三)典例精析 例 1、分层抽样又称类型抽样,即将相似的个体归入一类(层) ,然后每层抽取若干个体成 样本,所以分层抽样为保证每个个体等可能入样,必须进行( ) A、每层等可能抽样 B、每层不等可能抽样 C、所有层按同一抽样比等可能抽样 简析:保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、系统抽样、分层抽样共同的特征,为了保 证这一点,分层时用同一抽样比是必不可少的,故此选 C。 例 2、如果采用分层抽样,从个体数为 N 的总体中抽取一个容量为 n 的样本,那么每个个体 被抽到的可能性为 ( )
1 A. N

1 B. n

n C. N

n D. N

简析:根据每个个体都等可能入样,所以其可能性本容量与总体容量比,故此题选 C。 例 3、某高中共有 900 人,其中高一年级 300 人,高二年级 200 人,高三年级 400 人,现采 用分层抽样抽取容量为 45 的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 A.15,5,25 B.15,15,15 C.10,5,30 D15,10,20 简析:因为 300:200:400=3:2:4,于是将 45 分成 3:2:4 的三部分。设三部分各抽取 的个体数分别为 3x,2x,4x,由 3x+2x+4x=45,得 x=5,故高一、高二、高三各年级抽取的人数 分别为 15,10,20,故选 D。 例 4、一个地区共有 5 个乡镇,人口 3 万人,其中人口比例为 3:2:5:2:3,从 3 万人中 抽取一个 300 人的样本, 分析某种疾病的发病率, 已知这种疾病与不同的地理位置及水土有 关,问应采取什么样的方法?并写出具体过程。 简析:采用分层抽样的方法。 因为疾病与地理位置和水土均有关系,所以不同乡镇的发病情况差异明显,因而采用 分层抽样的方法,具体过程如下: (1)将 3 万人分为 5 层,其中一个乡镇为一层。 (2)按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本。 300×3/15=60(人) ,300×2/15=100(人) ,300×2/15=40(人) ,300×2/15=60(人) , 因此各乡镇抽取人数分别为 60 人、40 人、100 人、40 人、60 人。 (3)将 300 人组到一起,即得到一个样本。 (四)课堂练习 P64 练习 1. 2. 3 (五)课时小结 1、分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法,进行分层抽样时应 注意以下几点:
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(1) 、分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定,总的原则是,层内样本的 差异要小,面层之间的样本差异要大,且互不重叠。 (2)为了保证每个个体等可能入样,所有层应采用同一抽样比等可能抽样。 (3)在每层抽样时,应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样。 2、分层抽样的优点是:使样本具有较强的代表性,并且抽样过程中可综合选用各种抽 样方法,因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法。 (六)课堂检测 1、某单位有老年人 28 人,中年人 54 人,青年人 81 人,为了调查他们的身体情况, 需从他们中抽取一个容量为 36 的样本,则适合的抽取方法是 ( ) A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D.先从老人中剔除 1 人,然后再分层抽样 2、某校有 500 名学生,其中 O 型血的有 200 人,A 型血的人有 125 人,B 型血的有 125 人,AB 型血的有 50 人,为了研究血型与色弱的关系,要从中抽取一个 20 人的样本, 按分层抽样,O 型血应抽取的人数为 人,A 型血应抽取的人数为 人,B 型 血应抽取的人数为 人,AB 型血应抽取的人数为 人。 3、某中学高一年级有学生 600 人,高二年级有学生 450 人,高三年级有学生 750 人, 每个学生被抽到的可能性均为 0.2,若该校取一个容量为 n 的样本,则 n= 。 4、对某单位 1000 名职工进行某项专门调查,调查的项目与职工任职年限有关,人事 部门提供了如下资料: 任职年限 人数 5 年以下 300 5 年至 10 年 500 10 年以上 200

试利用上述资料设计一个抽样比为 1/10 的抽样方法。 四、课后反思

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2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布(2 课时)(新授课)
一、教学目标: 知识与能力: (1) 通过实例体会分布的意义和作用。 (2)在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎 叶图。 (3)通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征,从而恰当地选择上 述方法分析样本的分布,准确地做出总体估计。 过程与方法:通过对现实生活的探究,感知应用数学知识解决问题的方法,理解数形结合的 数学思想和逻辑推理的数学方法。 情感态度与价值观:通过对样本分析和总体估计的过程,感受数学对实际生活的需要,认识 到数学知识源于生活并指导生活的事实,体会数学知识与现实世界的联系。 二、教学重点与难点 重点:会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。 难点:能通过样本的频率分布估计总体的分布。 三、教学过程: (一)创设情境,引入课题 在 NBA 的 2004 赛季中,甲、 乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕ 甲运动员得分﹕12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50 乙运动员得分﹕8,13,14,16,23,26,28,38,39,51,31,29,33 请问从上面的数据中你能否看出甲,乙两名运动员哪一位发挥比较稳定? 如何根据这些数据作出正确的判断呢?这就是我们这堂课要研究、 学习的主要内容 ——用样本的频率分布估计总体分布(板出课题) 。 (二)研探新知 阅读课本 67 页探究(让学生展开讨论) 为了制定一个较为合理的标准 a,必须先了解全市居民日常用水量的分布情况,比 如月均用水量在哪个范围的居民最多,他们占全市居民的百分比情况等。因此采用抽样 调查的方式,通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况。 分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来, 或者用紧凑的表格改变数据的排列 方式,作图可以达到两个目的,一是从数据中提取信息,二是利用图形传递信息。表格 则是通过改变数据的构成形式,为我们提供解释数据的新方式。 下面我们学习的频率分布表和频率分布图, 则是从各个小组数据在样本容量中所占比例 大小的角度,来表示数据分布的规律。可以让我们更清楚的看到整个样本数据的频率分 布情况。 1、频率分布的概念: 频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。 一般用频率分布 直方图反映样本的频率分布。其一般步骤为: (1) 计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差 (2) 决定组距与组数 (3) 将数据分组 (4) 列频率分布表 (5) 画频率分布直方图 以课本 P67 制定居民用水标准问题为例,经过以上几个步骤画出频率分布直方图。 (让学
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生自己动手作图) 频率分布直方图的特征: (1) 、从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势。 (2) 、从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有的具体数据 信息就被抹掉了。 探究:同样一组数据,如果组距不同,横轴、纵轴的单位不同,得到的图和形状也会不同。 不同的形状给人以不同的印象,这种印象有时会影响我们对总体的判断,分别以 0.1 和 1 为组距重新作图,然后谈谈你对图的印象? 思考:如果当地政府希望使 85%以上的居民每月的用水量不超出标准,根据频率分布表 2-2 和频率分布直方图 2.2-1, (见课本 P68)你能对制定月用水量标准提出建议吗?(让学生仔 细观察表和图) 2、频率分布折线图、总体密度曲线 频率分布折线图: 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点, 就得到频率分布折线图。 总体密度曲线:在样本频率分布直方图中,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲 线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线。它能够精确地反映了总体在各个范围内取值 的百分比,它能给我们提供更加精细的信息。 思考: (1) .对于任何一个总体,它的密度曲线是不是一定存在?为什么? (2) .对于任何一个总体,它的密度曲线是否可以被非常准确地画出来?为什么? 实际上,尽管有些总体密度曲线是饿、客观存在的,但一般很难想函数图象那样准确地 画出来,我们只能用样本的频率分布对它进行估计,一般来说,样本容量越大,这种估计就 越精确. 3、茎叶图 (1) .茎叶图的概念: 当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边 的数字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物 茎上长出来的叶子,因此通常把这样的图叫做茎叶图。 (见课本 P61例子) (2) .茎叶图的特征: a、用茎叶图表示数据有两个优点:一是从统计图上没有原始数据信息的损失,所有数 据信息都可以从茎叶图中得到;二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便记 录与表示。 b、茎叶图只便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方便记录两组的数据,两个 以上的数据虽然能够记录,但是没有表示两个记录那么直观,清晰。 (三)典例精析 例 1: 下表给出了某校 500 名 12 岁男孩中用随机抽样得出的 120 人的身高(单位cm)

区间界限 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) 人数 5 8 10 22 33 20 区间界限 [146,150) [150,154) [154,158) 人数 11 6 5
(1)列出样本频率分布表﹔ (2)一画出频率分布直方图; (3)估计身高小于 134cm的人数占总人数的百分比.。 分析:根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题。 解: (1)样本频率分布表如下:
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分组 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) [146,150) [150,154) [154,158) 合计
(2)其频率分布直方图如下:
频率/组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 o

频数 5 8 10 22 33 20 11 6 5 120

频率 0.04 0.07 0.08 0.18 0.28 0.17 0.09 0.05 0.04 1

122

126

130

134

138

142

146

150

154

158

身高(cm)

(3)由样本频率分布表可知身高小于 134cm 的男孩出现的频率为 0.04+0.07+0.08=0.19,所 以我们估计身高小于 134cm 的人数占总人数的 19%. 例 2:为了了解高一学生的体能情 频率/组距 况,某校抽取部分学生进行一分钟跳 绳次数次测试,将所得数据整理后, 0.036 画出频率分布直方图(如图), 图中从 0.032 左到右各小长方形面积之比为 2:4: 0.028 17:15:9:3,第二小组频数为 12. 0.024 (1) 第二小组的频率是多少?样本 容量是多少? 0.020 (2) 若次数在 110 以上(含 110 次) 0.016 为达标,试估计该学校全体高一 0.012 学生的达标率是多少? 0.008 (3) 在这次测试中,学生跳绳次数的 0.004 中位数落在哪个小组内?请说 明理由。 o 90 100 110 120 130 140 150 次数 分析:在频率分布直方图中,各小长
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方形的面积等于相应各组的频率, 小长方形的高与频数成正比, 各组频数之和等于样本容量, 频率之和等于 1。 解: (1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小, 因此第二小组的频率为:

4 ? 0.08 2 ? 4 ? 17 ? 15 ? 9 ? 3

又因为频率=

第二小组频数 样本容量 第二小组频数 12 ? ? 150 第二小组频率 0.08

所以

样本容量 ?

(2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为

17 ? 15 ? 9 ? 3 ?100% ? 88% 2 ? 4 ? 17 ? 15 ? 9 ? 3
(3)由已知可得各小组的频数依次为 6,12,51,45,27,9,所以前三组的频数之和为 69, 前四组的频数之和为 114,所以跳绳次数的中位数落在第四小组内。 (四)课堂练习:P73 练习 1. 2. 3 (五)课堂小结 1、总体分布指的是总体取值的频率分布规律,由于总体分布不易知道,因此我们往往 用样本的频率分布去估计总体的分布。 2、总体的分布分两种情况:当总体中的个体取值很少时,用茎叶图估计总体的分布; 当总体中的个体取值较多时, 将样本数据恰当分组, 用各组的频率分布描述总体的分布, 方法是用频率分布表或频率分布直方图。 (六)布置作业:P84 习题 2.2 A 组 1、 2 四、课后反思

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2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(2 课时)(新授课)
一、教学目标: 知识与技能 (1)正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差。 (2)能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征(如平均 数、标准差) ,并做出合理的解释。 (3)会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。 (4)形成对数据处理过程进行初步评价的意识。 过程与方法 在解决统计问题的过程中, 进一步体会用样本估计总体的思想, 理解数形结合的数学思 想和逻辑推理的数学方法。 情感态度与价值观 会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题,认识统计的作 用,能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。 二、教学重点与难点 重点:用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。 难点:能应用相关知识解决简单的实际问题。 三、教学过程 (一)创设情境,引入新课 在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击 10 次,命中环数如下﹕ 甲运动员﹕7,8,6,8,6,5,8,10,7,4; 乙运动员﹕9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 观察上述样本数据, 你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗?为了从整体上更好地把握 总体的规律, 我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。 ——用样本的数字特征估 计总体的数字特征(板出课题) 。 (二)研探新知 1、众数、中位数、平均数 探究:P74 (1)怎样将各个样本数据汇总为一个数值,并使它成为样本数据的“中心点”? (2)能否用一个数值来描写样本数据的离散程度?(让学生回忆初中所学的一些统计知 识,思考后展开讨论) 初中我们曾经学过众数,中位数,平均数等各种数字特征,应当说,这些数字都能够为 我们提供关于样本数据的特征信息。例如前面一节在调查 100 位居民的月均用水量的问题 中,从这些样本数据的频率分布直方图可以看出,月均用水量的众数是 2.25t(最高的矩形 的中点) (图略见课本第 62 页)它告诉我们,该市的月均用水量为 2. 25t 的居民数比月均 用水量为其他值的居民数多,但它并没有告诉我们到底多多少。 提出问题:原来抽样的数据,有没有 2.25 这个数值呢?根据众数的定义,2.25 怎么会 是众数呢?为什么?(请大家思考作答) 分析:这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因,而 2.25 是由样本数据的频率分布直方图得来的,所以存在一些偏差。 提问:那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢? 分析:在样本数据中,有 50%的个体小于或等于中位数,也有 50%的个体大于或等于 中位数。因此,在频率分布直方图中,矩形的面积大小正好表示频率的大小,即中位数左边
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和右边的直方图的面积应该相等。由此可以估计出中位数的值为 2.02。 思考: 2.02 这个中位数的估计值, 与样本的中位数值 2.0 不一样, 你能解释其中的原因吗? (课本 75 页图 2.2-6)显示,大部分居民的月均用水量在中部(2.02t 左右) ,但是也 有少数居民的月均用水量特别高,显然,对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的。 思考:中位数不受少数几个极端值的影响,这在某些情况下是一个优点,但是它对极端 值的不敏感有时也会成为缺点,你能举例说明吗?(让学生讨论,并举例) 2、标准差、方差 (1)标准差 平均数为我们提供了样本数据的重要信息, 可是, 有时平均数也会使我们作出对总体的 片面判断。某地区的统计显示,该地区的中学生的平均身高为176㎝,给我们的印象是该 地区的中学生生长发育好,身高较高。但是,假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五 十名身高较高的学生计算出来的话, 那么, 这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体 素质。因此,只有平均数难以概括样本数据的实际状态。 例如,在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击 10 次,命中环数如下﹕ 甲运动员﹕7,8,6,8,6,5,8,10,7,4; 乙运动员﹕9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 观察上述样本数据, 你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗?如果你是教练, 选哪位选 手去参加正式比赛? 我们知道, x甲 ? 7,

x乙 ? 7 。

两个人射击的平均成绩是一样的。那么,是否两个人就没有水平差距呢?(观察P78 图2.2-8)直观上看,还是有差异的。很明显,甲的成绩比较分散,乙的成绩相对集中, 因此我们从另外的角度来考察这两组数据。 考察样本数据的分散程度的大小, 最常用的统计量是标准差。 标准差是样本数据到平均 数的一种平均距离,一般用 s 表示。 样本数据 x1, x2, ?, xn 的标准差的算法: (1) 、算出样本数据的平均数 x 。 (2) 、算出每个样本数据与样本数据平均数的差: xi ? x(i ? 1, 2,?n) (3) 、算出(2)中 xi

? x(i ? 1,2,?n) 的平方。

(4) 、算出(3)中 n 个平方数的平均数,即为样本方差。 (5) 、算出(4)中平均数的算术平方根, ,即为样本标准差。 其计算公式为:

s?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 ] n

显然,标准差较大,数据的离散程度较大;标准差较小,数据的离散程度较小。 提出问题:标准差的取值范围是什么?标准差为0的样本数据有什么特点? 从标准差的定义和计算公式都可以得出: s

? 0 。当 s ? 0 时,意味着所有的样本数据都

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等于样本平均数。 (2) .方差 从数学的角度考虑,人们有时用标准差的平方 s (即方差)来代替标准差,作为测量 样本数据分散程度的工具:
2

s2 ?

1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] n

在刻画样本数据的分散程度上,方差和标准差是一样的,但在解决实际问题时,一般多 采用标准差。 (三)典例精析 例 1:画出下列四组样本数据的直方图,说明他们的异同点。 (1)5,5,5,5,5,5,5,5,5 (2)4,4,4,5,5,5,6,6,6 (3)3,3,4,4,5,6,6,7,7 (4)2,2,2,2,5,8,8,8,8 分析:先画出数据的直方图,根据样本数据算出样本数据的平均数,利用标准差的计算公式 即可算出每一组数据的标准差。 解:四组数据的平均数都是5.0,标准差分别为:0.00,0.82,1.49,2.83。 他们有相同的平均数,但他们有不同的标准差,说明数据的分散程度是不一样的。 例 2: (见课本P80) 分析: 比较两个人的生产质量,只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的 平均数与标准差的大小即可, 根据用样本估计总体的思想, 我们可以通过抽样分别获得 相应的样本数据,然后比较这两个样本数据的平均数、标准差,以此作为两个总体之间 的差异的估计值。 (四)课堂练习:P82 练习 1. 2. 3 4 (五)课堂小结 1、用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类: (1)用样本平均数估计总体平均数。 (2)用样本标准差估计总体标准差。样本容量越大,估计就越精确。 2、平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平。 3、标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小,反映了一组数据变化的幅度。 (六) 、布置作业: P84 习题 2.2 A 组 3、 4、10 四、课后反思

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