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人教版高中数学选修4-6《初等数论:最大公因数》_图文

2.1最大公因数 最大公因数:给定两个整数a,b,必有 公共的因数,叫做它们的公因数,当a,b不 全为零时,在有限个公因数中最大的一个叫做 a,b的最大公因数,记作(a,b). 如果a,b的最大公因数为1,那么称a,b 是互素的。 将整数a,b,c的最大公因数记作(a,b, c),依次类推。 用短除法计算下列两组数的最大公因数。 (1)375,105 (2)1840,667 从中你能感受到什么? 辗转相除法 用辗转相除法求a,b的最大公约数的步骤 a ? bq1 ? r1 b ? r1q2 ? r2 r1 ? r2 q3 ? r3 ?? rn ? 2 ? rn ?1qn ? rn rn ?1 ? rn qn ?1 (a, b) ? (b, r1 ) ? (r1 , r2 ) ? ? ? (rn ?1 , rn) ? (0, rn) ? rn 探究? 1,自己列举几组整数a,b,c,计算并比较(a,b,c),((a,b),c), 从中你能发现什么规律? (1)108,36,52 (2)35,135,95 2,求三个整数的最大公约数与求两个 整数的最大公约数之间有什么联系? (a,b,c)=((a,b),c) 练习:存在整数m,n使(375,105)=375m+105n 吗? 解:375=105*3+60 105=60*1+45 60=45*1+15 45=15*3 (375,105)=(45,15)=15=60-45 =60-(105-60)=60*2-105 =(375-105*3)*2-105=375*2-7*105 所以m=2,n=-7 性质1:设整数a,b不同时为零时,则存在一对整数 m,n,使得(a,b)=am+bn. 性质2:若a/bc,且(a,b)=1,则a/c. 性质3:设p为素数,若p/ab,则p/a,或p/b。 最大公约数:短除法和辗转相除法 性质1:设整数a,b不同时为零时, 则存在一对整数m,n,使得(a,b) =am+bn. 性质2:若a/bc,且(a,b)=1,则a/c. 性质3:设p为素数,若p/ab,则p/a, 作业:思考证明性质3