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海南省洋浦中学2009年高中数学联赛模拟试题7新人教版

海南省洋浦中学 2009 年高中数学联赛模拟试题 7

一、填空题(本题满分 60 分,前 4 小题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分)

1. 设 a1, a2 ,

,

a10

?

(1,

??)

,则

log

2009 a1

?

log

2009 a2

?

log2009 a1a2 a10

?

log

2009 a10

的最小值是



2. 已知 x, y ? N * ,且1? 2 ?

? y ?1? 9 ? 92 ?

?

x?1
9

,则将

y

表示成

x

的函数,其解析

式是 y ?



3. 已知函数 f (x) ?| x2 ? 2 | ,若 f (a) ? f (b) ,且 0 ? a ? b ,则 ab 的取值范围是



4.

满足方程 log2[2 cos2 (xy) ?

1 ] ? ?y2 2 cos2 (xy)

?

y?

3 的所有实数对 (x, y) ? 4



5. 若 [a] 表示不超过实数 a 的最大整数,则方程 [tan x] ? 2sin2 x 的解是



6. 不等式 22x ? 3? 2x? x ? 4 ? 22 x 的解集是



7. 设 A 是由不超过 2009 的所有正整数构成的集合,即 A ? {1, 2, , 2009} ,集合 L ? A ,且

L 中任意两个不同元素之差都不等于 4 ,则集合 L 元素个数的最大可能值是



8. 给出一个凸10 边形及其所有对角线,在以该凸10 边形的顶点及所有对角线的交点为顶点的

三角形中,至少有两个顶点是该凸10 边形顶点的三角形有

个。

二、解答题
9.(本题满分 14 分)设函数 f (x) 定义于闭区间[0,1] ,满足 f (0) ? 0, f (1)? 1,且对任意
x, y ?[0,1], x ? y ,都有 f ( x ? y ) ? (1? a2 ) f (x) ? a2 f ( y) ,其中常数 a 满足 0 ? a ?1,求 a 2
的值。

10. (本题满分 14 分)如图, A 是双曲线 x2 ? y2 ? 1的右顶点,过点 A 的两条互相垂直的直 4
线分别与双曲线的右支交于点 M , N ,问直线 MN 是否一定过 x 轴上一定点?如果不存在这 样的定点,请说明理由;如果存在这样的定点 P 试求出这个定点 P 的坐标。
y

M

OA

x N

11. (本题满分 16 分)设 A, B 是集合{a1, a2, a3, a4, a5} 的两个不同子集,使得 A 不是 B 的子 集, B 也不是 A 的子集,求不同的有序集合对 ( A, B) 的组数。
12. (本题满分 16 分)设正整数构成的数列{an} 使得 a10k?9 ? a10k? 8 ? ? a10k ? 19 对一切
j
? k ? N *恒成立。记该数列若干连续项的和 ap 为 S(i, j) ,其中 i, j ? N * ,且 i ? j 。求证: p ?i ?1
所有 S(i, j) 构成的集合等于 N *。

海南省洋浦中学 2009 年高中数学联赛模拟试题 7 答案

一、

1、100; 2、 3x ?1 ; 3、 (0, 2) ; 4、(k? + ? ,1)(k ? Z )

2

22

5、 x ? k? 或 x ? l? ? ? (k,l ? Z ) ; 6、[0, 4] ; 7、1005 ; 8、 960 。 4

二、9、解:因为

f

(1)

?

f

(0 ?1)

?

a2 ,

f

(1)

?

f

0? (

1 2)

? a2

f

(1)

?

a2

2

2

4

2

2

f

(3)

?

f

1 (2

?1 ) ? (1? a2 ) f

(1) ? a2

f

(1)

?

2a2

? a4

4

2

2

所以

f

(1)

?

f

1 (4

?

3 4)

? (1? a2 ) f

(1) ? a2 f

( 3) ? ?2a6

? 3a4

8分

2

2

4

4

由此得 a2 ? ?2a6 ? 3a4 ,而 0 ? a ?1,所以 a ? 2 2

14 分

10、解法一: A(2, 0) ,将 y 轴向右平移 2 个单位,使点 A 成为新直角坐标系的原点,在

新坐标系下,双曲线的方程为 (x '? 2)2 ? y2 ? 1,即 4 y2 ? x '2 ? 4x ' ? 0 (*) 4

若 MN ? x 轴,则 kAM

? 1,即 lAM

:y

? x ' ,代入(*)式可得 M ( 4 , 4) ,进而 N ( 4 , ? 4) 。

33

33

所以 P( 4 , 0) ,则点 P 在原坐标系中的坐标为 (10 , 0) 。

5分

3

3



MN

不垂直

x

轴,设 lMN

:

y

?

kx '? t(t

?

0) ,则

y

? kx ' t

?1,

于是(*)可以改写成 4 y2 ? x '2 ? 4x '? y ? kx ' ? 0 ,即 4t( y )2 ? 4( y ) ? 4k ? t ? 0

t

x'

x'

该方程的两个根 k1, k2 既是 AM , AN 的斜率。

因为

AM

?

AN

,所以 k1k2

?

4k ? t 4t

?

?1 ,

10 分

所以 t

?

?

4 3

k

,故 lMN

:

y

?

kx

'?

4 3

k

?

k(x

'?

4) 3

所以过定点 P( 4 , 0) ,则点 P 在原坐标系中的坐标为 (10 , 0) 。

3

3

综上所述,直线 MN 过 x 轴上的定点 P(10 , 0) 3

14 分

解法二:设直线 AM 的斜率为 k(k ? 0, k ? ? 1 , k ? ?2) 2



? ? ?

x2 ? 4y2 ? 4 y ? k(x ? 2)

?

M

(

8k 2 4k 2

?2 ?1

,

4k

4k

2

) ?1

,同理得

N

(

2k 2 4?

?8 k2

,

?4k 4? k

2

)

当k

? ?1时, xM

?

xN

? 10 ,所以过 (10 , 0)

3

3

8分

当 k ? ?1, k ? 2, k ? ? 1 时,由直线 MN 的方程得, y ? k '(x ? 10)

2

3

10 分

所以,直线 MN 过 x 轴上的定点 P(10 , 0) 3

14 分

11、解:集合{a1, a2, a3, a4, a5} 有 25 个子集,不同的有序集合对 ( A, B) 有 25 (25 ?1) 组。

2分

若 A ? B ,并设 B 中含有 k(1 ? k ? 5) 个元素,则满足 A ? B 的有序集合对 ( A, B) 有

5

5

5

? ? ? C5k (2k ?1) ? C5k 2k ? C5k ? 35 ? 25 组

k ?1

k ?0

k ?0

同理,满足 B ? A 的有序集合对 ( A, B) 也有 35 ? 25 组。

8分 10 分

所以,满足条件的有序集合对 ( A, B) 的组数为 25 (25 ?1) ? 2(35 ? 25 ) ? 570 组。 16 分

12、证明:显然 S(i, j) ? N *

2分

下证对任意 n0 ? N * ,存在 S (i, j) ? n0 用 Sn 表示数列{an}的前 n 项和,考虑10n0 ?10 个前 n 项和:

S1 ? S2 ? ? S10n0 ?10

(1)

由题设 S10n0 ?10 ? (a1 ? a2 ? ? a10 ) ? (a11 ? ? a20 ) ? ? (a10n0 ?1 ? ? a10n0 ?10 ) 6 分

另外,再考虑如下10n0 ?10 个正整数:

S1 ? n0 ? S2 ? n0 ? ? S10n0 ?10 ? n0

(2)

显然 S1 0n0 ? 1 ?0 n ?0 2 0 n ?0 1 9

10 分

这样(1),(2)中出现 20n0 ? 20 个正整数,都不超过 20n0 ?19 ,

由抽屉原理,必有两个相等。由于(1)式中各数两两不相等,(2)式中各数也两两不等,故

存在 i, j ? N * ,使得 S j ? Si ? n0 ,即 j ? i ,且 n0 ? S j ? Si ? S (i, j)

所以,所有 S(i, j) 构成的集合等于 N *。

16 分


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