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高二数学三角函数中的最值问题


三角函数的最值问题
新沂市第一中学 高三数学组 授课人: 安勇

重点:让学生能运用三角函数概念、 图象、性质、同角三角函数的基本 关系式、和差角公式等求有关最值 问题;掌握求最值常见思想方法。 难点:利用三角函数的性质求有关 最值。

下页

1、求函数最值常见方法:
利用基本函数法,配方法,分离常数法,换元 法,数形结合法,基本不等式法,函数单调 性法等等
2.y=sinx,y=cosx的值域是———— 。
2 2 2 2 a ? b [, ] a ? b 3.y=asinx+bcosx的值域是———— 。

[-1,1]

4.a+b=m,求a b 的最大值? (a>0,b>0,m>0) m2 4 5.函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(x)的最小值为— f(a) ,最大值为———— f(b) ——— 。

1 ?x 1、求下列函数的 y ? 4


(-1≤x≤ 1)最大


5 2

、最小值

0

5 2 15 2、 y ? ( x ? ) ? (-1≤x≤ 1)的最小值是 4 16 3、(2003· 北京春招)设M和m分别表示
等于(

1。

1 y ? cos x ? 1 的最大值和最小值,则M+m 3

D

)

2 A. 3

2 B. ? 3

4 C. ? 3

D. ? 2

【例1】已知函数y=3cosx-2,求该函数的最 值?
最大值为 1 最小值为-5 最大值为 1 , 最小值为 3 2 ? 2
2

? ?? 变式1:若x ? ?0, ? ? ? 4?
变式2:y=
无最大值,

1 3 cos x ? 2
无最小值

求y的最值?

1 ? 2 cos x 变式3:若 f ( x ) ? cos x 最值?
无最大值, 无最小值

求该函数

变式4:若 最值?

1 ? 2 sin 2 x 求该函数 f ( x) ? sin x

无最大值,

无最小值

与例1有何关系?

变式5: 已知函数f(x)=cos4x–2sinxcosx–sin4x, (Ⅰ)求f(x)的最小正周期; ? (Ⅱ)若x∈[0, ],求f(x)的最大值、最小值. 2 4 4 f ( x ) ? cos x ? 2 sin x cos x ? sin x 解析:(Ⅰ)因为

? (cos 2 x ? sin 2 x )(cos 2 x ? sin 2 x ) ? sin 2 x ? 2 ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 cos(2 x ? ) ? T ? ?? 4 2

? (2) ? f ( x ) ? 2 cos(2 x ? ) 4 ? ? ? 5? ?0 ? x ? , ? ? 2x ? ? 2 4 4 4 ? ? 当2 x ? ? ,即x ? 0时,(f ( x ))max ? 1; 4 4
? 3? 当2 x ? ? ? ,即x ? 时,(f ( x ))min ? ? 2. 4 8

【例2】已知 函数y=2sinx+3cosx 该函数的最值?
最大值为
13 最小值为- 13

,求

变式1:一般地y=a sinx+b cosx,其中 a、b 为已知实数,a、b为任意实数, 求其最值?
最大值为 a 2 ? b 2 最小值为- a 2 ? b 2

【例3】 已知

f ( x) ? 2 sin x ? cos x ? 3
2



求该函数的最值?

变式1:已知f

( x) ? sin x ? cos x ? 2 sin x cos x ? 2
3 2 最小值为 4

求该函数的最值?
最大值为 3 ? 变式练习:已知

f ( x) ? sin x ? 2 cos x ? 3
2

求该函数的最值?
最大值为 5 最小值为1

【例4】 已知函数

求该函数最值?

sin x y ? f ( x) ? cos x ? 2

法一)解析:(法一):函数

的几何意义为两点 P ( ? 2, 0), Q (cos x , sin x ) 连线 的斜率k,而Q点的轨迹为单位圆,则有:

sin x y? cos x ? 2
3 ?? 3

3 3 ? ?k? 3 3

? ymax

3 ? , 3

ymin

(法二): 去分母得:y cos x ? 2 y ? sin x
则 sin x ? y cos x ? 2 y
则 1 ? y sin( x ? ? ) ? 2 y ? sin( x ? ? ) ?
2 2

2y 12 ? y 2

3 3 1 ? y ? (2 y ) ? ? ? y? . 3 3
2 2 2

故ymax

3 ? , 3

ymin

3 ?? 3

变式1:已知函数
求函数的最值?

3 cos x y ? f ( x) ? 2 sin x ? 4

最大值为

3 2

3 , 最小值为 ? 2

小试身手 1、已知 y ? ? 2 sin 2 x tan x ,则( A、函数最小值为–2,最大值为0 B、函数的最小值为–4 C、函数无最小值,最大值为0 D、函数最小值为–4,最大值为4

C

)

y ? sin x ? cos x ? 2 求函数的最 2、已知, 小值是 2 ? 2 。

3.已知 的最值?

? ?? ? ? ?0, ? ? 2?

sin ? 求 y ? f (? ) ? 1 ? cos ?

最大值为 1, 最小值0 ? 4.求 y ? sin( x ? ) ? cos x 的最值? 6 1 3 ? 最大值为 最小值为 4 4
5.设x、y满足x2 + y2 =1,求 3x+4y 的最大值?

最大值为5

课外作业:
1、函数y=(sinx+1)(cosx+1)的最大值和最小值

分别是



.

2、设函数y=acosx+b(a,b为常数且a>0)的最 大值为1,最小值为–7,那么acosx+bsinx的最 大值为 ( ) A、 3 B、4 C、 5 D、 6

3、设函数y=4sinx

cosx+sin2x+1,求y的

最值?

五、课堂小结

1、化为一个角的三角函数,再利用有界性求最值 2 、配方法求最值:转化为二次函数在闭区间上
二、如 sin x ? cos x, sin x cos x

的最值问题,一、 如求函数 y ? sin x ? sin x ?1
2

同时出现的题型。

用换元法解决 a sin x ? c 3、分离常数法,解决形如 y ? 型的函数。 b sin x ? d a sin x ? c 4、数形结合,解决形如 y ? 型的函数。 b cos x ? d 5、换元法求最值尤其是三角换元 6、利用不等式单调性求最值

六)作业:

P69 T8-T11-T12

数学试题是透过抽象化和逻辑推理的使用,由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生的。数学试题大致可分为填空题、判断题、选 择题、计算题、应用题、证明题、作图题、思考题、阅读题、规律题、解答题。熟练地解题要靠平时的学习知识来灵活运用。 ; http://www.lecano.com 试题下载 jah20kbf 数学试题是透过抽象化和逻辑推理的使用,由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生的。数学试题大致可分为填空题、判断题、选 择题、计算题、应用题、证明题、作图题、思考题、阅读题、规律题、解答题。熟练地解题要靠平时的学习知识来灵活运用。

她雇人、买木石,帮他修的。“这会儿怎么办?”老太太问苏小横,“换福珞进宫?我现在就叫福家把孩子送过来,我找人,先教导起 来?”“不用找了。福家以为你真肯送福珞进宫,现在已经在教导她了。”“他们教得也不冤,你想把她送给‘那位世子’嘛,学些皇家礼仪, 也是有用的??”老太太心虚的把声音低下去,“如今要用福珞进宫,世子那里,你换谁去填?明蕙?”“明蕙不合适。”苏小横道,“你别担 心了,该怎么着,还怎么着。”老太太不懂!该怎么着,怎么还能怎么着呢?原来想宝音入宫,这会儿宝音不是入不了了吗!苏小横要送给世子 一个人,宫里云诗需要一个人,福珞唯一个身子,这不还缺着一个人?!“明年,还是宝音福珞两个进京。”苏小横指示得更明确。“?”老太 太终于注意到苏小横使用的是“进京”,而不是进宫。这里头有机窍吧?“我另有打算。”苏小横果然道。老太太就等着听他说什么打算。她才 不接受什么“机密”“法不传六耳”的说法。她是他的夫人,是谢家的老太太。这一条打算,她必须知情。“到时候一定会有神仙指示。”苏小 横摆出一副虔诚的嘴脸。咦?“那你呢?”阁下你就没什么主动的计划?“我会沙乩,还会笔乩。”苏小横自负道。他几乎没被老太太打出屋去! 嘉颜此时以黑心檀木盘,端了个雨滴新苔粉定大盖碗来,碗里头装的应该是食物。“不要吃饭。”老太太嘟嘴。身体不好,她吃什么都是苦的, 只有香辣、油炸、蜜渍这一类,嚼在嘴里还有些味道,大夫偏说这些都对她不好,不许她吃,老太太道:“香辣油炸你说对身体不好,我也就认 了。蜜渍又温和又软糯,有什么不好?”大夫答道:“对牙不好。再则说,老夫人这病,本就因富贵而起,贵体过于丰满了,心、肺、肾、血脉 的负担都过重,以至气闷不适,甜的下去,更添肉了。”“好罢,”老太太委屈道,“那我吃些盐渍的??”“过咸也对心肾更不利了。”老大 夫迅捷道,气得老太太要绝食。“不是饭,”嘉颜笑着哄老太太,“是粥。”粥粘乎乎、淡唧唧的,老太太更不爱。嘉颜打开碗盖,亮出里头的 粥来,可叫一个热气腾腾、水米相溶!那米都烧得酥融了,岂止不粘乎,简直看着比汤羹都清爽,热气里带着诱人的柚子味。嘉颜取个小碗盛了 半碗,奉于老太太道:“老太太,这是柚子果肉的精油点的。咱们问过大夫了,柚子这点甜味,并不妨,您可以多用些。” 苏小横闻着香,也要 了一碗,划拉下去,其实不是什么美食,普通人或许会嫌弃它味道还是太轻淡一点,但对于病弱闭塞了胃口的老太太、还有长期饮露茹丹的苏小 横来说,吃起来感觉相当不错,最重要的是,够烫!任何食物,一烫,就平添那热火朝天的诱人劲儿。苏小横问嘉颜:“你的心思?”第八十教


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