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高三文科数学之三角函数习题


三角函数
1.【2012 高考安徽文 7】要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象,只要将函数 y ? cos 2 x 的图象 (A) 向左平移 1 个单位 (C) 向左平移 【答案】C 【解析】 y ? cos 2 x ? y ? cos(2 x ? 1) 左+1,平移 (B) 向右平移 1 个单位 (D) 向右平移

1 个单位 2

1 个单位 2

1 。 2

??x ? ? 3.【2012 高考山东文 8】函数 y ? 2sin ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与最小值之和为 ? 6 3?

(A) 2 ? 3 【答案】A

(B)0

(C)-1

(D) ?1 ? 3

【 解 析 】 因 为 0? x?9 , 所 以 0?

?
6

x?

9? ? ? ? 9? ? , ? ? x? ? ? ,即 6 3 6 3 6 3

?

?
3

?

?
6

x?

?
3

?

7? ? ? ? ? ,所以当 x ? ? ? 时,最小值为 2 s in ( ) ? ? 3 ,当 ? 6 6 3 3 3

?
6

x?

?
3

?

?
2

时,最大值为 2 sin

?
2

? 2 ,所以最大值与最小值之和为 2 ? 3 ,选 A.

5.【2012 高考全国文 4】已知 ? 为第二象限角, sin ? ? (A) ?

24 25

(B) ?

12 25

3 ,则 sin 2? ? 5 12 24 (C) (D) 25 25
4 ,所以 5

【答案】B 【解析】因为 ? 为第二象限,所以 cos? ? 0 ,即 cos? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ?

4 3 12 sin 2? ? 2 sin ? cos? ? ? ? ? ? ,选 B. 5 5 25
6.【2012 高考重庆文 5】

sin 47? ? sin17? cos 30? cos17?

(A) ?

3 3 1 1 (B) ? (C) (D) 2 2 2 2

【答案】C

【解析】

sin 47? ? sin17? cos 30? sin(30? ? 17? ) ? sin17? cos 30? ? cos17? cos17?

?

sin 30? cos17? ? cos 30? sin17? ? sin17? cos 30? sin 30? cos17? 1 ? ? sin 30? ? ,选 C. ? ? cos17 cos17 2

7.【2012 高考浙江文 6】把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵 坐标不变) ,然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

【答案】A 【解析】由题意,y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) , 即解析式为 y=cosx+1,向左平移一个单位为 y=cos(x-1)+1,向下平移一个单位为 y=cos (x-1),利用特殊点 ?

?? ? ?? ? , 0 ? 变为 ? ? 1, 0 ? ,选 A. ?2 ? ?2 ?

11.【2012 高考江西文 4】若 A. -

3 4

B.

3 4

C. -

4 3

sin ? ? cos ? 1 ? ,则 tan2α= sin ? ? cos ? 2 4 D. 3

【答案】B

【解析】由

sin ? ? cos? 1 ? ,得 2(s in? ? cos? ) ? s in? ? cos? ,即 tan? ? ?3 。又 sin ? ? cos? 2 2 tan? ?6 6 3 tan2? ? ? ? ? ,选 B. 2 1 ? tan ? 1 ? 9 8 4

13.【2012 高考湖南文 8】 在△ABC 中,AC= 7 ,BC=2,B =60°,则 BC 边上的高等 于 A.

3 2

B.

3 3 2

C.

3? 6 2

D.

3 ? 39 4

【答案】B 【解析】设 AB ? c ,在△ABC 中,由余弦定理知 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos B ,
2 2 2

即 7 ? c ? 4 ? 2 ? 2 ? c ? cos 60 , c ? 2c ? 3 ? 0,即(c - 3)(c ? 1)=0.又 c ? 0,? c ? 3.
2 ?
2

设 BC 边上的高等于 h ,由三角形面积公式 S? ABC ?

1 1 AB?BC ? B ? BC ?h ,知 sin 2 2

3 3 1 1 . ? 3 ? 2 ? sin 60? ? ? 2 ? h ,解得 h ? 2 2 2
15.【2012 高考广东文 6】在△ ABC 中,若 ?A ? 60? , ?B ? 45? , BC ? 3 2 ,则 AC ? A. 4 3 【答案】B B. 2 3 C.

3

D.

3 2

BC AC BC ? sin B 【解析】根据正弦定理, ,则 AC ? ? ? sin A sin B sin A

3 2? 3 2

2 2 ?2 3.

19. 【2102 高考北京文 11】 在△ABC 中, a=3, 若 b= 3 , ∠A= 【答案】 90? 【解析】在△ABC 中,利用正弦定理

? , 则∠C 的大小为_________。 3

a b 3 3 1 ,可得 ? ? sin B ? ,所 ? ? sin B 2 sin A sin B sin 3

以 B ? 30? 。再利用三角形内角和 180 ? ,可得 ?C ? 90? . 21. 【 2012 高 考 全 国 文 15 】 当 函 数 y ? sin x ? 3 cos x(0 ? x ? 2? ) 取 得 最 大 值 时 ,

x ? ___________. 5? 【答案】 6
【 解 析 】 函 数 为 y ? sin x ? 3 cos x ? 2 sin(x ?

?
3

) , 当 0 ? x ? 2? 时 ,

?

?
3

? x?

?
3

?

5? 以x ? . 6

5? ? ? 5? ,由三角函数图象可知,当 x ? ? ,即 x ? 时取得最大值,所 6 3 3 2

28.【2012 高考山东文 17】(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 sin B(tan A ? tan C) ? tan A tan C . (Ⅰ)求证: a, b, c 成等比数列; (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ ABC 的面积 S. 【答案】 (I)由已知得:
sin B(sin A cos C ? cos A sin C) ? sin A sin C , sin B sin( A ? C) ? sin A sin C , sin 2 B ? sin A sin C ,

再由正弦定理可得: b2 ? ac , 所以 a, b, c 成等比数列. (II)若 a ? 1, c ? 2 ,则 b2 ? ac ? 2 , ∴ cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 3 ? , 2ac 4
7 , 4

sin C ? 1 ? cos2 C ?

1 1 7 7 ∴△ ABC 的面积 S ? ac sin B ? ? 1 ? 2 ? . ? 2 2 4 4

31.【2012 高考广东文 16】 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A cos ? (1)求 A 的值; (2)设 ? ? ? ? ?0, 值. 【答案】 (1) f ?

?x ?? ? ? , x ?R ,且 ?4 6?

?? ? f ? ?? 2 ?3?

4 ? 30 ? ?? ? ? , f ? 4? ? 3 ? ? ? ? 17 , ? 2? ? ?

2 ? 8 ? f ? 4? ? ? ? ? ,求 cos(? ? ? ) 的 3 ? 5 ?

? 2 ?? ? ?? ?? A ? 2 ,解得 A ? 2 。 ? ? A cos ? ? ? ? A cos ? 4 2 ?3? ? 12 6 ?

( 2 )

4 ? ? ?? ?? 30 ? ? ? , 即 f ? 4? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? ?2sin ? ? ? 3 ? 3 6? 2? 17 ? ? ?

sin ? ?

15 , 17

4 2 ? ? ?? 8 ? ? f ? 4? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ,即 cos ? ? 。 3 ? 6 6? 5 5 ? ?
因为 ? ? ? ? ?0,

8 3 ? ?? 2 2 ? ,所以 cos ? ? 1 ? sin ? ? 17 , sin ? ? 1 ? cos ? ? 5 , ? 2? 8 4 15 3 13 ? ? ? ?? 。 17 5 17 5 85

所以 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 32.【2012 高考辽宁文 17】(本小题满分 12 分)

在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c。角 A,B,C 成等差数列。 (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值。 【答案】

40.【2012 高考全国文 17】(本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上作答无效) .........

?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 成等差数列,其对边 a 、 b 、 c 满足 2b2 ? 3ac ,求 A 。
【答案】


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