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2012高中数学2.3.2双曲线的简单几何性质课件_新人教A版选修2-1_图文

2.3.2 双曲线的简单几何性质

学习目标 1.了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、 渐近线等几何性质. 2.能解决一些简单的双曲线问题.

2.3.2

课前自主学案

双曲
线的 简单 几何 性质

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基
x y |x|≤5,|y|≤3 , 1.椭圆 + =1 上点的坐标范围是____________ 25 9 B2(0,3) , A1(-5,0),A B 顶点是________ ______ _________ 2(5,0) , 1(0,-3) , _______ 4 离心率是 e= . 5 x2 y 2 (-5,0),(5,0) 2.双曲线 - =1 的焦点坐标为____________. 16 9
2 2

知新益能

双曲线的几何性质

标准方程

x2 y2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0)

y 2 x2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0)

图形

范围

|x|≥a _______

|y|≥a _______

焦点 顶点 几何 性质 实、虚轴长
离心率 渐近线方程 对称性

F1(-c,0)、F2(c,0) ________________
A1(-a,0)、A2(a,0) ________________

F1(0,-c)、F2(0,c) ________________
A1(0,-a)、A2(0,a) ________________

x、y轴 对称,关于_____ 原点 对称 关于_________ 2a ,虚轴长为___ 2b 实轴长为___

c 双曲线的焦距与实轴长的比,即e=___ a
b ±x y=____ a a ±x y=____ b

问题探究 在双曲线的标准方程中,a、b能相等吗?

提示:a、b能相等,相等时双曲线叫做等轴双曲
线.

课堂互动讲练

考点突破

双曲线的简单几何性质 求双曲线的性质时,应把双曲线方程化为标准方
程,注意分清楚焦点的位置,这样便于直观地写 出a,b的数值,进而求出c,求出双曲线的长轴 和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标、渐近 线方程等几何性质.

例1 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点

坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 【思路点拨】 将双曲线方程变为标准形式,确

定a,b,c后求解.

【解】

2 2 x y 将 9y2-4x2=-36 变形为 - =1, 9 4

x2 y2 即 2- 2=1,所以 a=3,b=2,c= 13, 3 2 因此顶点坐标为(-3,0),(3,0), 焦点坐标为(- 13,0),( 13,0), 实轴长是 2a=6,虚轴长是 2b=4, c 13 离心率 e=a= , 3 b 2 渐近线方程 y=± x=± x. a 3

互动探究 把本例中的双曲线方程改为9y2-4x2= 36,再求顶点坐标、焦点坐标、离心率、渐近线方 程. 2 2 y x 解: 把方程 9y2-4x2=36 化为标准形式为 - =1, 4 9 ∴a=2,b=3,c= 13, ∴顶点为(0,-2),(0,2), 焦点坐标为(0,- 13),(0, 13), c 13 离心率 e=a= . 2 2 渐近线方程为 y=± x. 3

由双曲线的几何性质求标准方程
由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程,一般 用待定系数法.首先,利用性质判断焦点的位置,

设出双曲线的标准方程;再由已知构造关于参数
的方程求得.当双曲线的焦点不明确时,方程可

能有两种形式,此时应注意分类讨论.为了避免
讨论,也可设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn>0), 从而直接求得.

分别求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)顶点在 x 轴上,两顶点间的距离为 8,离心率 5 是 ; 4 1 (2)焦距为 20,渐近线方程为 y=± x; 2 (3)与双曲线 x2- 2y2= 2 有公共渐近线,且过点 M(2,-2).

例2

【思路点拨】

分析双曲线的几何性质 → 求a,b,c

→ 确定?讨论?焦点位置 → 求双曲线的标准方程

x2 y2 【解】 (1)由已知设双曲线的标准方程为 2- 2 a b =1(a>0,b>0).则 2a=8,∴a=4. c 5 由 e=a= 得 c=5. 4 ∴b2=c2-a2=52-42=9. x2 y2 ∴所求双曲线方程为 - =1. 16 9 (2)当焦点在 x 轴上时, x2 y2 设所求双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b

b 1 ∴a= ,且 2c=20.∴c=10,又 c2=a2+b2. 2 ∴a2=80,b2=20. x2 y2 ∴所求双曲线方程为 - =1. 80 20 当焦点在 y 轴上时, y 2 x2 设所求双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b a 1 ∴ = ,即 b=2a. b 2 又 2c=20,∴c=10.

又 c2=a2+b2,∴a2=20,b2=80. y 2 x2 ∴所求双曲线方程为 - =1. 20 80 x2 2 (3)设与双曲线 -y =1 有公共渐近线的双曲线 2 2 x 方程为 -y2=k(k≠0), 2 22 2 将点(2,-2)代入得 k= -(-2) =-2, 2 y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 2 4

求双曲线的离心率

求双曲线的离心率的常见方法:一是依据条件求 c 出 a,c,再计算 e=a;二是依据条件提供的信息 建立关于参数 a,b,c 的等式,进而转化为关于 离心率 e 的方程,解出 e 的值.

例3

(2010 年高考辽宁卷)设双曲线的一个焦点

为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该 双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心 率为( A. 2 3+1 C. 2
【思路点拨】

) B. 3 5+1 D. 2
利用直线FB与渐近线垂直可推

导a、b、c等式关系,从而转化为关于e的方程.

【解析】

x2 y 2 设双曲线方程为 2- 2=1(a,b>0), a b

不妨设一个焦点为 F(c,0),虚轴端点为 B(0,b), b b 则 kFB=- .又渐近线的斜率为± ,所以由直线垂 c a bb b 2 直关系得- ·=-1· (- 显然不符合), 即 b =ac, ca a 又 c2-a2=b2,故 c2-a2=ac,两边同除以 a2,得 5+1 方程 e -e-1=0,解得 e= (负值舍去). 2 【答案】 D
2

直线与双曲线的位置关系 解直线与双曲线的位置关系的题目,一般先联立 方程组,消去一个变量,转化成关于x或y的一元 二次方程.再根据一元二次方程去讨论直线与双 曲线的位置关系.

例4

已知双曲线3x2-y2=3,直线l过其右焦点

F2,与双曲线交于A、B两点,且倾斜角为45°,
试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上?并 求出线段AB的长. 【思路点拨】 先写出直线方程,代入双曲线方

程,利用根与系数的关系判断.

【解】 ∵a=1,b= 3,c=2, 又直线 l 过点 F2(2,0),且斜率 k=tan 45° =1, ∴l 的方程为 y=x-2.
?y=x-2 由? 2 2 消去 y 并整理得 2x2+4x-7=0. ?3x -y =3

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 7 ∵x1· x2=- <0, 2

∴A、B 两点分别位于双曲线的左、右两支上. 7 ∵x1+x2=-2,x1· x2=- , 2 ∴|AB|= 1+12|x1-x2|= 2· ?x1+x2?2-4x1x2 7 = 2· ?-2? -4?- ?=6. 2
2

【名师点评】

讨论直线与双曲线的位置关系,

一般化为关于x(或y)的一元二次方程,这时首先 要看二次项的系数是否等于0.当二次项系数等于 0时,就转化成x(或y)的一元一次方程,只有一 个解.这时直线与双曲线相交只有一个交点.当 二次项的系数不为-时,利用根的判别式,判断 直线与双曲线的位置关系.

方法感悟

1.求双曲线的方程,若焦点位置不确定,需分 焦点在 x 轴和 y 轴上两种情况讨论. 2.渐近线是双曲线特有的性质.两方程联系密 x2 y 2 切,把双曲线的标准方程 2- 2=1(a>0,b>0)右 a b 边的常数 1 换为 0,就是渐近线方程.反之由渐 近线方程 ax± by=0 变为 a x -b y =λ, 再结合其 他条件求得 λ 就可得双曲线方程.
2 2 2 2


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