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www.k70000.com:北京2013届高三数学 最新试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题精选)专题10概率 文

【精品推荐】北京 2013 届高三最新文科试题分类汇编(含 9 区一模及上学期
期末试题精选)专题 10:概率
一、选择题
1 .(2013 届北京大兴区一模文科)若实数 a,b 满足 a2 + b2 ≤1 ,则关于 x 的方程 x2 - 2x + a + b = 0 无.实

数根的概率为 A. 1
4

B. 3 4

C. 3π + 2 4π

D. π - 2 4π

()

2 .(北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习(二)数学(文)试题)已知不等式组

? y ? x ? 1,

? ?

y

?

0,

?y ? ? x ? 1,

表示的平面区域为 ? ,不等式组 ?

表示的平面区域为 M .若在区 域 ? 内随机取

??x ? 1

?y ? 0

一点 P ,则点 P 在区域 M 内的概率为

A. 1

B. 1

C. 1

D. 2

2

3

4

3

?x ? 2 y ? 2 ? 0,

3

.(北京市昌平区

2013

届高三上学期期末考试数学文试题)设不等式组

? ?

x ≤ 4,

表示的平面区域为

? ?

y ? ?2

D .在区域 D 内随机取一个点,则此点到直线 y+2=0 的距离大于 2 的概率是

()

A. 4 13

B. 5 13

C. 8 25

D. 9 25

4 .(北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个

球,则恰有一个红球的概率是

()

A. 1 3

B. 1 2

C. 2 3

D. 5 6

5 .(北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)在等边 ?ABC 的边 BC 上任取一点 P ,则

S?ABP

?

2 3

S? ABC的概率是

()

A. 1 3

B. 1 2

C. 2 3

D. 5 6

二、填空题

6 .(2013 届北京东城区一模数学文科)从 1,3,5,7 这四个数中随机地取两个数组成一个两位数,则组成的两

位数是 5 的倍数的概率为___.

7

.(2013

届北京门头沟区一模文科数学)用计算机产生随机二元数组成区域

? -1 ? ??-2 ?

x y

? ?

1 2

,对每个二元数组

1

(x, y) ,用计算机计算 x 2 ? y 2 的值,记“ (x, y) 满足 x 2 ? y 2 <1”为事件 A ,则事件 A 发生的概率为
________.
8 .(北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学文科试题)平行四边形 ABCD 中,E 为 CD 的中点.若 在平行四边形 ABCD 内部随机取一点 M , 则点 M 取自△ ABE 内部的概率为______.
三、解答题 9 .(2013 届北京市延庆县一模数学文)某市电视台为了宣传举办问答活动,随机对该市 15~65 岁的人群抽样
了 n 人,回答问题统计结果如图表所示.
(Ⅰ)分别求出 a, b, x, y 的值;
(Ⅱ)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人,则第 2,3,4 组每组应各抽取多少人? (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,电视台决定在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖,求:所抽取的人中第 2 组 至少有 1 人获得幸运奖的概率.

10.(2013 届北京东城区一模数学文科)为了解高三学生综合素质测评情况,对 2000 名高三学生的测评结果

进行了统计,其中优秀、良好、合格三个等级的男、女学生人数如下表:

优秀

良好

合格

男生

x

380

373

人数

女生

y

370

377

人数

(Ⅰ)若按优秀、良好、合格三个等级分层,在这 2000 份综合素质测评结果中随机抽取 80 份进行比较分 析,应抽取综合素质测评结果是优秀等级的多少份?
(Ⅱ)若 x ? 245 , y ? 245 ,求优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率.

2

11.(2013 届北京丰台区一模文科)在一次抽奖活动中,有 a、b、c、d、e、f 共 6 人获得抽奖的机会.抽奖 规则如下:主办方先从 6 人中随机抽取两人均获一等奖,再从余下的 4 人中随机抽取 1 人获二等奖,最后 还从这 4 人中随机抽取 1 人获三等奖. (Ⅰ)求 a 能获一等奖的概率; (Ⅱ)若 a、b 已获一等奖,求 c 能获奖的概率.

12.(2013 届北京海滨一模文)在某大学自主招生考试中,所有选报 II 类志向的考生全部参加了“数学与逻 辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生的两科考试成绩的 数据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人. (I)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (II)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分; (Ⅲ)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为 A. 在至少一科成绩为 A 的考生中,随机抽 取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为 A 的概率.

频率 0.375

科目:数学与逻辑

频率 0.375

科目:阅读与表达

0.250 0.200

0.150

0.075

0.025 等级

等级

13.(2013 届北京门头沟区一模文科数学)某学校有两个参加国际中学生交流活动的代表名额,为此该校高中 部推荐了 2 男 1 女三名候选人,初中部也推荐了 1 男 2 女三名候选人. (I)若从初高中各选 1 名同学做代表,求选出的 2 名同学性别相同的概率; (II)若从 6 名同学中任选 2 人做代表,求选出的 2 名同学都来自高中部或都来自初中部的概率.
14.(2013 届北京大兴区一模文科)一次考试结束后,随机抽查了某校高三(1)班 5 名同学的数学与物理成绩

如下表:

学生

A1

A2

A3

A4

A5

数学

89

91

93

95

97

3

物理

87

89

89

92

93

(Ⅰ)分别求这 5 名同学数学与物理成绩的平均分与方差,并估计该班数学与物理成绩那科更稳定;

(Ⅱ)从以上 5 名同学中选 2 人参加一项活动,求选中的学生中至少有一个物理成绩高于 90 分的概率.

15.(2013 届北京西城区一模文科)某商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为:每辆汽车一次停车不超

过1小时收费 6 元,

超过1小时的部分每小时收费 8 元(不足1小时的部分按1小时计算).现有甲、乙二人在该商区临时停车,

两人停车都不超过 4 小时.

(Ⅰ)若甲停车1小时以上且不超过 2 小时的概率为 1 ,停车付费多于14 元的概率为 5 ,求甲

3

12

停车付费恰为 6 元的概率;

(Ⅱ)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付费之和为 36 元的概率.

16.(2013 届房山区一模文科数学)PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒 物.我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值,即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为 一级;在 35 微克/立方米 75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米以上空气质量为超 标. 某城市环保局从该市市区 2012 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机的抽取 6 天的数据作为样本,监测 值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).

(Ⅰ) 若从这 6 天的数据中随机抽出 2 天,求至多有一天空气质量超标的概率; (Ⅱ)根据这 6 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按 365 天计算)中平均有多少天的 空气质量达到一级或二级?

PM2.5 日均值(微克/立方米)

3

3

4

8

1

4

7

9

3

9

7

17.(北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习(二)数学(文)试题)为调查乘客的候

车情况,公交公司在某站台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人,将他们的候车时间(单位:分钟)作为样本

分成 5 组,如下表所示:

组别

候车时 间

人数



[0, 5)

2



[5,10)

6



[10,15)

4



[15, 20)

2



[20, 25]

1

(Ⅰ)求这 15 名乘客的平均候车时间;
(Ⅱ)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数; (Ⅲ)若从上表第三、四组的 6 人中随机抽取 2 人作进一步的问卷调查,求抽到的两人恰好来自不同组的 概率.

18.(北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)一个盒子中装有 4 张卡片,每张卡片上写有1 个数字,数字分别是1 ? 2 ? 3 ? 4 .现从盒子中随机抽取卡片. (Ⅰ)若一次抽取 3 张卡片,求 3 张卡片上数字之和大于 7 的概率; (Ⅱ)若第一次抽1 张卡片,放回后再抽取1 张卡片,求两次抽取中至少一次抽到 数字 3 的概率.
19.(北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)某中学举行了一次“环保知识竞赛”, 全校学 生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图 所示)解决下列问题:
5

频率分布表
组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组

分组

频 数

频率

[50, 60)

8

0.16

[60, 70)

a



[70, 80)

20

0.40

[80, 90)



0.08

[90, 100]

2

b

合计





频率 组距

频率分布直方图

0.040

x

▓ ▓

0.008 y

50 60 70 80 90 100 成绩(分)

(Ⅰ)写出 a,b, x, y 的值;
(Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学到广场参加环 保知识的志愿宣传活动. (ⅰ)求所抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率; (ⅱ)求所抽取的 2 名同学来自同一组的概率.

20.(北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)某汽车租赁公司为了调查 A,B 两种车型的出

租情况,现随机抽取这两种车型各 50 辆,分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数,统计数据如下

表:

A 型车

出租

34567

天数

车辆

3 35 7 5



0

B 型车

6

出租

3

4

5

6

7

天数

车辆

10

10

15

10

5



(I) 试根据上面的统计数据,判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系(只

需写出结果);

(Ⅱ)现从出租天数为 3 天的汽车(仅限 A,B 两种车型)中随机抽取一辆,试估计这辆汽

车是 A 型车的概率;

(Ⅲ)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同,该公司需要购买一辆汽车,请你根据

所学的统计知识,给出建议应该购买哪一种车型,并说明你的理由.

21.(北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学文科试题)为了解学生的身体状况,某校随机抽取了一
批学生测量体重.经统计,这批学生的体重数据(单位:千克)全部介于 45 至 70 之间.将数据分成以
下 5 组:第 1 组 [45,50) ,第 2 组 [50,55) ,第 3 组 [55,60) ,第 4 组 [60,65) ,第 5 组[65,70] ,得 到如图所示的频率分布直方图.现采用分层抽样的方法,从第 3,4,5 组中随机抽取 6 名学生做初检. (Ⅰ)求每组抽取的学生人数; (Ⅱ)若从 6 名学生中再次随机抽取 2 名学生进行复检,求这 2 名学生不在同一组的概率.

22.(北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试数学文科试题(解析版))(本小题满分 13 分)某校从参加 高三年级期中考试的学生中随机选取 40 名学生,并统计了他们的政治成绩,这 40 名学生的政治成绩全 部 在 40 分 至 100 分 之 间 , 现 将 成 绩 分 成 以 下 6 段 :
[40, 50), [50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90,10,0]据此绘制了如图所示的频率分布直方图.

(Ⅰ)求成绩在[80,90) 的学生人数;

频率/组距

(Ⅱ)从成绩大于等于 80 分的学生中随机 0.045

生,求至少有 1 名学生成绩在[90,100] 的
0.020 0.015
0.005 0

分数 40 50 60 70 80 90 100

选 2 名学 概率.
7

【精品推荐】北京 2013 届高三最新文科试题分类汇编(含 9 区一模及上学期期末试题精选)专题 10: 概率参考答案
一、选择题 1. D 2. A
3. 【答案】D

解:不等式对应的区域为三角形 DEF,当点 D 在线段 BC 上时,点 D 到直线 y+2=0 的距离等于 2,所以要

使 点 D 到 直 线 的 距 离 大 于 2 , 则 点 D 应 在 三 角 形 BCF 中 。 各 点 的 坐 标 为

B(?2,0),C(4,0),D(?6,? 2),E(4,? 2),F(4,3) ,所以 DE ?10,EF ? 5,BC ? 6,

CF ? 3

,根据几何概型可知所求概率为

P ? S?BCF

?

1 ?6?3 2

?

9

S?DEF 1 ?10? 5 25

,选

D.

2

4. 【答案】C

解:从袋中任取

2

个球,恰有一个红球的概率 P

?

C21C21 C42

?

4 6

?

2 3

,选 C.

5. 【答案】C

解 :当 S?ABP

?

2 3

S?ABC

时,有

1 AB 2

PD?

2? 3

1 2

AB

CO,即 PD ?

2 3

CO,则有 BP ?

2 3

BC,要使

S?A B P ?

2 3 S?

A B C,则点

P

在线段 BP 上,所以根据几何概型可知 S?ABP

?

2 3 S?ABC

的概率是

BP

?

2

,选

C.

BC 3

二、填空题
6. 1 4
8

7.

π 8

8. 【答案】 1 2

解:

, 根 据 几 何 概 型 可 知 点 M 取 自 △ ABE 内 部 的 概 率 为

P?

S?ABE

?

1 2

AB

h

?

1

,其中 h

为平行四边形底面的高。

S ABCD AB h 2

三、解答题
9. 解:(Ⅰ)第 1 组人数 5 ? 0.5 ? 10 , 所以 n ? 10 ? 0.1 ? 100 , 第 2 组人数100? 0.2 ? 20 ,所以 a ? 20? 0.9 ? 18 , 第 3 组人数100? 0.3 ? 30 ,所以 x ? 27 ? 30 ? 0.9 , 第 4 组人数100? 0.25 ? 25 ,所以 b ? 25? 0.36 ? 9

第 5 组人数100? 0.15 ? 15 ,所以 y ? 3 ?15 ? 0.2

(Ⅱ)第 2,3,4 组回答正确的人的比为18 : 27 : 9 ? 2 : 3 :1,所以第 2,3,4 组每组应各依次抽取 2 人, 3 人,


(Ⅲ)记抽取的 6 人中,第 2 组的记为 a1, a2 ,第 3 组的记为 b1,b2 ,b3 ,第 4 组的记为 c , 则从 6 名学生中任
取 2 名的所有可能的情况有 15 种,它们是:

(a1, a2 ) , (a1, b1) , (a1, b2 ) , (a1, b3 ) , (a1, c) ,

(a2 , b1) , (a2 ,b2 ) , (a2 , b3 ) , (a2 ,c) ,

(b1,b2 ) , (b1,b3 ) , (b1, c) ,

(b2 , b3 ) , (b2 , c) ,

(b3, c)
其中第 2 组至少有 1 人的情况有 9 种,它们是:
(a1, a2 ) , (a1, b1) , (a1, b2 ) , (a1, b3 ) , (a1, c) ,

(a2 , b1) , (a2 ,b2 ) , (a2 , b3 ) , (a2 ,c) 故所求概率为 9 ? 3
15 5

9

10. (共 13 分) 解:(Ⅰ)由表可知,优秀等级的学生人数为:
x ? y ? 2000 ? (380 ? 373 ? 370 ? 377) ? 500.
因为 500? 80 ? 20 , 2000
故在优秀等级的学生中应抽取 20 份. (Ⅱ)设“优秀等级的学生中男生人数比女生人数多”为事件 A .
因为 x ? y ? 500 , x ? 245 , y ? 245 ,且 x , y 为正整数,
所以数组 (x, y) 的可能取值为:
(245, 255) , (246, 254) , (247, 253) ,, (255, 245) ,共11个.
其中满足 x ? y 的数组 (x, y) 的所有可能取值为:
(255, 245) , (254, 246) , (253, 247) , (252, 248) , (251, 249) 共 5 个,即事件 A 包含的基本事件数为 5 .
所以 P( A) ? 5 . 11
故优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率为 5 . 11
11.在一次抽奖活动中,有 a、b、c、d、e、f 共 6 人获得抽奖的机会.抽奖规则如下:主办方先从 6 人中随机 抽取两人均获一等奖,再从余下的 4 人中随机抽取 1 人获二等奖,最后还从这 4 人中随机抽取 1 人获三等 奖. (Ⅰ)求 a 能获一等奖的概率; (Ⅱ)若 a、b 已获一等奖,求 c 能获奖的概率. 解:(Ⅰ)设“a 能获一等奖”为事件 A, 事件 A 等价于事件“从 6 人中随机取抽两人,能抽到 a”.从 6 人中随机抽取两人的基本事件有(a、b)、 (a、c)、(a、d)、(a、e)、(a、f)、(b、c)、(b、d)、(b、e)、(b、f)、(c、d)、(c、e)、(c、f)、(d、 e)、(d、f)、(e、f)15 个,
包含 a 的有 5 个,所以,P(A)= 5 ? 1 , 15 3
答: a 能获一等奖的概率为 1 3
(Ⅱ)设“若 a、b 已获一等奖,c 能获奖”为事件 B, a、b 已获一等奖,余下的四个人中,获奖的基本事件有(c,c)、(c、d)、(c、e)、(c、f)、(d,c)、(d、d)、 (d、e)、(d、f)、(e,c)、(e、d)、(e、e)、(e、f)、(f,c)、(f、d)、(f、e)、(f、f)16 个,
其中含有 c 的有 7 种,所以,P(B)= 7 , 16
答: 若 a、b 已获一等奖,c 能获奖的概率为 7 16
12.解: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人,
所以该考场有10 ? 0.25 ? 40 人
10

所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为

4 0? (?1 0 .?3 7 5 ? 0 . 3?7 5 0 ?. 1 5? 0 . 0? 2 5 ) 4 0 0 . 0 7 5 3

(II)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为
1? (40 ? 0.2) ? 2 ? (40 ? 0.1) ? 3? (40 ? 0.375) ? 4 ? (40 ? 0.25) ? 5 ? (40 ? 0.075) ? 2.9 40
(Ⅲ)因为两科考试中,共有 6 人得分等级为 A,又恰有两人的两科成绩等级均为 A, 所以还有 2 人只有一个科目得分为 A 设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是 A 的同学,则在至少一科成绩等级为 A 的考生中,随 机抽取两人进行访谈,基本事件空间为

? ? {{甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁}} ,一共有 6 个基本事件

设“随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为 A”为事件 B,所以事件 B 中包含的基本事件有 1

P(B) ? 1

个,则

6

13.解:设高中部三名候选人为 A1,A2,B.初中部三名候选人为 a,b1,b2

(I)由题意,从初高中各选 1 名同学的基本事件有

(A1,a),(A1,b1),(A1,b2),

(A2,a),(A2,b1),(A2,b2),

(B,a),(B,b1),(B,b2),

共9种

设“2 名同学性别相同”为事件 E,则事件 E 包含 4 个基本事件,

概率 P(E)= 4 9

所以,选出的 2 名同学性别相同的概率是 4 9
(II)由题意,从 6 名同学中任选 2 人的基本事件有

(A1 ,A2),(A1,B),(A1,a),(A1,b1),(A1,b2),

(A2,B), (A2,a),(A2,b1),(A2,b2),(B,a),

(B,b1),(B,b2),(a,b1),(a,b2),(b1,b2) 共 15 种

设“2 名同学来自同一学部”为事件 F,则事件 F 包含 6 个基本事件,

概率 P(F)= 6 ? 2 15 5

所以,选出的 2 名同学都来自高中部或都来自初中部的概率是 2 5

14.解:5 名学生数学成绩的平均分为: 1 (89 ? 91? 93? 95 ? 97) ? 93 5
5 名学生数学成绩的方差为:

1[(89 ? 93)2 ? (91? 93)2 ? (93? 93)2 ? (95 ? 93)2 ? (97 ? 93)2 ] ? 8 5

5 名学生物理成绩的平均分为: 1 (87 ? 89 ? 89 ? 92 ? 93) ? 90 5
5 名学生物理成绩的方差为:

1[(87 ? 90)2 ? (89 ? 90)2 ? (89 ? 90)2 ? (92 ? 90)2 ? (93 ? 90)2 ] ? 24

5

5

11

因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定. (Ⅱ)设选中的学生中至少有一个物理成绩高于 90 分为事件 A 5 名学生中选 2 人包含基本事件有:
A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 , A1 A5 , A2 A3 , A2 A4 , A2 A5 , A3 A4 , A3 A5 , A4 A5 , 共 10 个.
事件 A 包含基本事件有: A1 A4 , A1 A5 , A2 A4 , A2 A5 , A3 A4 , A3 A5 , A4 A5 , 共 7 个.
则 P( A) ? 7 10
所以,5 名学生中选 2 人, 选中的学生中至少有一个物理成绩高于 90 分的概率为 7 . 10
15. (Ⅰ)解:设“甲临时停车付费恰为 6 元”为事件 A , 则 P( A) ? 1? (1 ? 5 ) ? 1 . 3 12 4 所以甲临时停车付费恰为 6 元的概率是 1 4 (Ⅱ)解:设甲停车付费 a 元,乙停车付费 b 元,其中 a,b ? 6,14, 22,30
则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为:
(6,6),(6,14),(6, 22),(6,30),(14,6),(14,14),(14, 22),(14,30),(22,6),(22,14),(22, 22),

(22,30),(30,6),(30,14),(30, 22),(30,30) ,共16 种情形

其中, (6,30), (14, 22), (22,14), (30, 6) 这 4 种情形符合题意 故“甲、乙二人停车付费之和为 36 元”的概率为 P ? 4 ? 1
16 4

16.解:由茎叶图可知:6 天有 4 天空气质量未超标,有 2 天空气质量超标
记未超标的 4 天为 w1, w2 , w3, w4 ,超标的两天为 c1, c2 ,则从 6 天抽取 2 天的所有情况为:

w1w2 , w1w3, w1w4 , w1c1, w1c2 , w2w3, w2w4 , w2c1, w2c2 , w3w4 , w3c1, w3c2 , w4c1, w4c2 , c1c2 ,
基本事件总数为 15

(Ⅰ)记“至多有一天空气质量超标”为事件 A ,则“两天都超标”为事件 A ,

易得 P( A) ? 1 , 15

所以 P(A) ? 1? P(A) ? 1? 1 ? 14 15 15

(Ⅱ) 6 天中空气质量达到一级或二级的频率为 4 ? 2 63

365? 2 ? 243 1 ,

3

3

所以估计一年中平均有 243 1 天的空气质量达到一级或二级 3

12

(说明:答 243 天,244 天不扣分)

17. (共 13 分)

解:(Ⅰ)由图表得: 2.5? 2 ? 7.5? 6 ?12.5? 4 ?17.5? 2 ? 22.5? 1

15

15

15

15

15

? 10.5 ,所以这 15 名乘客的平均候车时间为 10 钟

(Ⅱ)由图表得:这 15 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数为 8,所以,这 60 名乘客中候车时间少于 10 分

钟的人数大约等于 60 ? 8 ? 32 15

(Ⅲ)设第三组的乘客为 a,b, c, d ,第四组的乘客为 e, f ,“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件

A .----------------------所得基本事件共有 15 种,即 (a, c),(a,b),(a, d),(a, e),(a, f ),(b, c),(b, d),

(b, e),(b, f ),(c, d),(c,e),(c, f ),(d,e),(d, f ),(e, f ) ,

其中事件 A 包含基本事件 8 种,由古典概型可得 P( A) ? 8 ,即所求概率等于 8

15

15

18. (Ⅰ)设 A 表示事件“抽取 3 张卡片上的数字之和大于 7 ”,任取三张卡片,三张卡片上的数字全部可 能的结果是 (1, 2, 3) , (1, 2, 4) , (1, 3, 4) , (2, 3, 4) .

其中数字之和大于 7 的是 (1, 3, 4) , (2, 3, 4) ,

所以 P(A) ? 1 .

6分

2

(Ⅱ)设 B 表示事件“至少一次抽到 3 ”,

第一次抽 1 张,放回后再抽取一张卡片的基本结果有:

(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4)

(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) ,共16 个基本结果.

事件 B 包含的基本结果有 (1, 3) (2, 3) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (4, 3) ,

共 7 个基本结果.

所以所求事件的概率为 P(B) ? 7 . 16

…………………13 分

19.解:(Ⅰ)由题意可知, a ? 16,b ? 0.04, x ? 0.032, y ? 0.004 .……………………4 分

(Ⅱ)(ⅰ)由题意可知,第 4 组共有 4 人,记为 A, B,C, D ,第 5 组共有 2 人,记为 X ,Y .

从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学有 AB, AC, AD, BC, BD,CD, AX , AY ,

BX , BY,CX ,CY, DX , DY, XY
共 15 种情况.…………………………………………………………………………6 分
设“随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组”为事件 E , …………7 分

13

有 AX , AY , BX , BY,CX ,CY, DX , DY, XY 共 9 种情况.

……………8 分

所以随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率是 P(E) ? 9 ? 3 . 15 5
答:随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率 3 . ……………10 分 5
(ⅱ)设“随机抽取的 2 名同学来自同一组”为事件 F ,有 AB, AC, AD, BC, BD,CD, XY 共 7 种情

况. …………………………………………………………………………11 分

所以 P(F ) ? 7 15
答:随机抽取的 2 名同学来自同一组的概率是 7 . 15

………………………………13 分

20.解:(I)由数据的离散程度可以看出,B 型车在本星期内出租天数的方差较大……3 分

(Ⅱ)这辆汽车是 A 类型车的概率约为

出租天数为3天的A型车辆数 出租天数为3天的A,B型车辆数总和

?

3 10 ?

3

?

3 13

这辆汽车是 A 类型车的概率为 3 13
(Ⅲ)50 辆 A 类型车出租的天数的平均数为

………………7 分

xA

?

3?

3

?

4

?

30

?

5 ?15 50

?

6

?

7

?

7

?

5

?

4.62

50 辆 B 类型车出租的天数的平均数为

………………9 分

xB

?

3 ? 10

?

4 ?10

?

5?15 ? 50

6

?10

?

7

?5

?

4.8

………………11 分

答案一:一辆 A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为 4.62,B 类车型一个星期出租天数的平均值

为 4.8,选择 B 类型的出租车的利润较大,应该购买 B 型车……………13 分

答案二:一辆 A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为 4.62,B 类车型一个星期出租天数的平均值

为 4.8 , 而 B 型 车 出 租 天 数 的 方 差 较 大 , 所 以 选 择 A 型



………………13 分

21. (Ⅰ)解:由频率分布直方图知,第 3 , 4 , 5 组的学生人数之比为 3: 2 :1 . …………2 分

所以,每组抽取的人数分别为:

第 3 组: 3 ? 6 ? 3 ;第 4 组: 2 ? 6 ? 2 ;第 5 组: 1 ? 6 ? 1.

6

6

6

所以从 3 , 4 , 5 组应依次抽取 3 名学生, 2 名学生,1名学生.

………………5 分

(Ⅱ)解:记第 3 组的 3 位同学为 A1 , A2 , A3 ;第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 ;第 5 组的1位同学为

C.

………………6 分

则从 6 位同学中随机抽取 2 位同学所有可能的情形为:

14

( A1, A2 ), ( A1, A3 ), ( A1, B1), ( A1, B2 ), ( A1, C), ( A2, A3), ( A2, B1), ( A2, B2 ), ( A2, C), ( A3, B1),

( A3, B2 ), ( A3, C), (B1, B2 ), (B1, C), (B2, C) ,共15 种可能.

………………10 分

其中, ( A1, B1), ( A1, B2 ), ( A1, C), ( A2, B1), ( A2, B2 ), ( A2, C), ( A3, B1), ( A3, B2), ( A3, C),

(B1,C), (B2 ,C) 这 11 种情形符合 2 名学生不在同一组的要求.

………………12 分

故所求概率为 P ? 11 . 15

………………13 分

22. (Ⅰ)因为各组的频率之和为 1,所以成绩在区间[80, 90) 的频率为

1? (0.005? 2 ? 0.015 ? 0.020 ? 0.045)?10 ? 0.1,

…………………3 分

所以,40 名学生中成绩在区间[80,90) 的学生人数为 40? 0.1 ? 4 (人).

…………………5 分

(Ⅱ)设 A 表示事件“在成绩大于等于 80 分的学生中随机选两名学生,至少有一名学生成绩在区间

[90,100] 内”,

由已知和(Ⅰ)的结果可知成绩在区间[80, 90) 内的学生有 4 人,

记这四个人分别为 a,b, c, d ,

成绩在区间[90,100] 内的学生有 2 人,

…………………7 分

记这两个人分别为 e, f ,

则选取学生的所有可能结果为:

(a,b), (a, c), (a, d ), (a, e), (a, f ), (b, c), (b, d ), (b, e), (b, f ), (c, d ), (c, e), (c, f ) ,

(d, e), (d, f ), (e, f )

基本事件数为 15,

…………………9 分

事件“至少一人成绩在区间[90,100] 之间”的可能结果为:

(a, e), (a, f ), (b, e), (b, f ), (c, e), (c, f ), (d, e), (d, f ), (e, f ) ,

基本事件数为 9,

…………………11 分

所以 P( A) ? 9 ? 3 . 15 5

…………………13 分

15


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