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新课标高中数学必修4知识点总结经典


学习数学要多做习题,边做边思考,先知其然而后知其所以然,实事求是,循序渐进,不怕艰难,持之以恒。 —— 苏步青 新课标高中数学必修 4 知识点总结经典

?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象限角. 第一象限角的集合为 ? k ? 360? ? ? ? k ? 360? ? 90? , k ? ?

?

?
?

第二象限角的集合为 ? k ? 360? ? 90? ? k ? 360? ? 180? , k ? ?

?

?
?

第三象限角的集合为 ? k ? 360? ? 180? ? ? ? k ? 360? ? 270? , k ? ? 区域角怎么表示: 终边在 x 轴上的角的集合为

?

第四象限角的集合为 ? k ? 360? ? 270? ? ? ? k ? 360? ? 360? , k ? ?

?

?? ? ? k ?180 , k ? ??
?

终边在

y 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180? ? 90? , k ? ?

?

?

终边在坐标轴上的角的集合为 ? ? ? k ? 90? , k ? ?

?

?
?
? n

3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ? ? ? k ? 360? ? ? , k ? ? 4、已知 ? 是第几象限角,确定

?

?
n

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的正半轴的上方起,依次将各
*

区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象限对应的标号即为 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.

终边所落在的区域.

6、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 7、弧度制与角度制的换算公式: 2? 8、 若扇形的圆心角为 ?

? ?

l r



? 360? , 1? ? ?

, 1 ? ? 180 ? ? 57.3? . ? ? 180 ? ? ?
2

?

1 ??为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则 l ? r ? ,C ? 2r ? l , S ? 1 lr ? ? r . 2 2

9、三角函数概念: (一)设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P ( x, y ) ,那么:(1)

y 叫做 ? 的正弦,记做 sin ? ,即

sin ? ? y ; (2) x 叫做 ? 的余弦,记做 cos? ,即 cos? ? x ; ( 3)
(二)设 ? 是一个任意大小的角, ? 的终边上任意一点 ? 的坐标是

? x, y ? ,它与原点的距离是 r ? r ?

y y 叫做 ? 的正切,记做 tan ? ,即 tan ? ? ( x ? 0) 。 x x

x2 ? y 2 ? 0

?

,则

sin ? ?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x
? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? .
y P T v O M A x

10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 11、三角函数线: sin ? 三角函数线作用: 12、同角三角函数的基本关系式:

?1? sin ? ? cos ? ? 1 ? sin
2 2

2

? ? 1 ? cos ? , cos ? ? 1 ? sin ? ? ;
2 2 2

? 2?

sin ? ? tan ? cos ?

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?

-1-

学习数学要多做习题,边做边思考,先知其然而后知其所以然,实事求是,循序渐进,不怕艰难,持之以恒。 —— 苏步青 13、三角函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限. (3)和(4)能得到什么结论?

? 5? sin ? ?

? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ? 6 ? sin ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?

?

口诀:函数名改变,符号看象限.(5)能得到什么结论? 14、图像变换的两种方式: (一)函数

y ? sin x 的图象上所有点向左(右)平移 ?

个单位长度,得到函数

y ? sin ? x ? ? ? 的图象( ?
1

>0 是左移; ? <0

是右移) ;再将函数

y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数

, y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) 得到函数

y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象 ? ? ? 0, ? ? 0? .
y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1

(二)函数

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数

y ? sin ? x 的图象;再将

函数

y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移

? ?

个单位长度( ? >0 是左移;? <0 是右移) ;得到函数 y ? sin

??x ? ? ? 的

图象;再将函数

,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变)

y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象 ? ? ? 0, ? ? 0? .
函数

y ? ? sin ??x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质:
2?

①振幅 ? ; ②周期: ? ? 函数

?

; ③频率:

f ?

1 ? ? ? 2?

; ④相位: ? x ? ? ; ⑤初相: ? . ;当 x ?

y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin

x2 时,取得最大值为 ymax ,则

??

1 1 ? ? ymax ? ymin ? , ? ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2 2 2

-2-

学习数学要多做习题,边做边思考,先知其然而后知其所以然,实事求是,循序渐进,不怕艰难,持之以恒。 —— 苏步青 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:



函 质



y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
R

值域

??1,1?
当x

??1,1?
?
2

? 2 k? ?

? k ??? 时,
?
2

当 x ? 2k?

? k ??? 时,
既无最大值也无最小值

最值

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ?

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

? k ??? 时, ymin ? ?1.
周期 奇偶性

? k ??? 时, ymin ? ?1.
2?
偶函数

2?
奇函数 在

?
奇函数

? ?? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? 2 2? ?


? k ??? 上是增函数;在
单调性

?2k? ? ? , 2k? ?? k ??? 上是增 ?2k? ,2k? ? ? ?

在 ? k?

函数;在

? ?

?

?
2

, k? ?

??
? 2?

? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? 2 2? ?

? k ??? 上是减函数.

? k ??? 上是增函数.

? k ??? 上是减函数.
对称中心 对称性 对称轴 x

? k? ,0?? k ???
? k? ?

?
2

对称中心 ? k?

?k ? ??
? 0)

? ?

?

?

? , 0 ? ? k ? ?? 2 ?

对称中心 ? 无对称轴

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? 2 ?

对称轴 x ? k?

? k ???

16.三角函数奇偶性规律总结( A ? 0, ?

函数 y ? A sin(? x ? ? ) 为奇函数的条件为 ?

? k? , k ? Z
2

函数 y ? A sin(? x ? ? ) 为偶函数的条件为 ? ? k? ? ? , k ? Z

2

函数 y ? A cos(? x ? ? ) 为奇函数的条件为 ? ? k? ? ? , k ? Z .

函数 y ? A cos(? x ? ? ) 为偶函数的条件为 ? ? k? , k ? Z

函数 y ? A tan(? x ? ? ) 为奇函数的条件为 ? ? k? ? , k ? Z 它不可能是偶函数. 2 -3-

学习数学要多做习题,边做边思考,先知其然而后知其所以然,实事求是,循序渐进,不怕艰难,持之以恒。 —— 苏步青 17.向量:既有大小,又有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 规定:零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 相反向量:长度相等且方向相反的向量. 18、向量加法:⑴三角形法则的特点:首尾相连.⑵平行四边形法则的特点:共起点. 数量:只有大小,没有方向的量. 零向量:长度为 0 的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.

⑶三角形不等式:

? ? ? ? ? ? a ? b ? a ?b ? a ? b
? ? ? ? ?b ?a ;
?



⑷运算性质:①交换律: a ? b

C
③a ?0 ? 0?a

②结合律:

? ? ? ? ? b ? ? c ? a ? ?b ? c ? ; ?a

?

? ?

?

?

? ?a.

⑸坐标运算:设 a ? 19、向量减法运算:

?

? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .
?

?

? ?

? a

? b

?

⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向减向量的终点指向被减向量终点. (见上图)

? ? ? ? ⑵坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .
设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 20、向量数乘运算:

? ??? ? ? ? ???? ??? a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 ?? ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .
?

??? ?

⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ①

?

?a ? ? a
? ?

?

?

;②当 ?

? ? ? ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当 ? ? 0 时,
①?

? a ? 0 .0 a = 0

? ?

⑵运算律:

? ?a ? ? ? ?? ? a ;
?

?

?



? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;

?

?

?



? a ? b ? ? a ? ?b .
(4)

?? ?

?

?

?

⑶坐标运算:设 a

? ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? .
? a ? ? 表示与a反方向的单位向量。 a
? ? ? ?a .
?

? ? ?? a ? a ? 0,则 ? 表示与a同方向的单位向量,a
? ? ? a?0

21 向量共线条件:(1)向量 a (2)共线的坐标表示,设 a ? 线.

?

?

与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b

?

?

? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、 b ? b ? 0 ? 共
如图,OA、 OB 不共线, 且 AP ? t AB (t ? R), 用 OA, OB 表示 OP ; OP ? OA=t(OB ? OA),则OP=(1-t)OA ? tOB 结论:已知O、A、B三点不共线, 若点 P 在直线 AB 上,则 OP ? mOA ? nOB, 且 m ? n ? 1.
-4-

?

?

?

? ?

?

???? ????

????

?????

???? ????

????

????

????

???? ???? ????

????

????

????

????

????

学习数学要多做习题,边做边思考,先知其然而后知其所以然,实事求是,循序渐进,不怕艰难,持之以恒。 —— 苏步青 22、平面向量基本定理: 如果 e1 、e2 是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任意向量 a , 有且只有一对实数 ?1 、

?? ?? ?

?

? ? ? ? ? ?? ?? ? ? (不共线的向量 e1 、 e2 叫做这一平面内所有向量的一组基底) ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 .
小结论: (1)若 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量, xe1 ? (2)若 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量, xe1 ?

??

?? ?

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ye2 ? me1 ? ne2 , 则x=m,y=n

??

?? ?

? ?

? ? ? ?? ye2 ? 0,则x=y=0

23、分点坐标公式:设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点,?1 、?2 的坐标分别是 的坐标是 ? x1 ? ? x2 , y1 ? ? y2 ? . (会写出向量坐标,会运算。 ) ? ? 1? ? ? ? 1? ? 24、平面向量的数量积:

? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? ,当 ?1? ? ???2 时,可推出点 ?

??? ?

????

? ? ? ? ? ? ? ? ⑴定义: a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0? ? ? ? 180? .零向量与任一向量的数量积为 0 .

?

?

? ? ? a cos? : a 在 b 方向上的投影=

? b cos ?

: b 在 a 方向上的投影= 称 ?AOB

?

?

注意:务必要算对两个非零向量的夹角:设两个非零向量 a

?

??? ? ? ??? ? ? OA 与 b ? OB ,

??

为向量 a 与 b 的夹角

?

?

(0? ? ? ? 180? ) ,注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的。

⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ②当 a 与 b 同向时, a ? b

?

?

?

? ? ? ? b ? a ?b ? 0 . ?
? ? ? ? ?? a b


?

?

? ?

? ? ?a b

;当 a 与 b 反向时, a ? b ③

?

? ? ? ?2 ? ? ? a ? a ? a2 ? a 或 a ? a ? a
⑶运算律:① a ? b



? ? ? ? a ?b ? a b .

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. ? b ? a ;② ? ? a ? b ??c ? a ?c ? b ?c ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ;③ ? a

?

?

? ?

⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? (5)若 a ?

?

? ?b ? x x ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a
? x2 ? y 2 .

?

?

1 2

? y1 y2 .

?

? ? x, y ? ,则 a

2

? x 2 ? y 2 ,或 a ?

(6)设 a ? ? x1, y1 ? , b

?

?

? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 .
?

?

?

? (7)设 a 、 b 都是非零向量, a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的夹角,则 cos ? ? a ? b ? ? ?
a b
25、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;⑵ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? ⑹ tan ?? ? ? ? ? 变形: ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; 变形: ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) . -5-

?

?

?

?

? ?

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x ? y12 x2 ? y2 2 1



tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

学习数学要多做习题,边做边思考,先知其然而后知其所以然,实事求是,循序渐进,不怕艰难,持之以恒。 —— 苏步青 26、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ⑵ cos 2? 变形:

sin ? cos ? ?

1 sin 2? 2

? cos2 ? ? sin2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? )
1 ? cos 2? 1 ? cos 2?

变形得到降幂公式:

cos 2 ? ?

1 ? cos 2? , 2

sin 2 ? ?

1 ? cos 2? . 2

tan 2 ? ?

⑶ tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?
?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ? ? . tan ? ? sin 2? ? 1 ? cos 2?
?
1 ? cos 2? sin 2?

27、 ? sin ? ? ? cos ? ?

[2014 高考题解析,规范解题步骤] 已知函数 f ? x ? ? 1 sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? ? 1 sin ? ? ? ? ? ? 0<?<? ? ,其图象过点( π , 1 ) . ? ? 6 2 2 2 ?2 ? (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)将函数 求函数 g

y ? f ? x ? 的图象上各点的横坐标缩短到原来的

1 2

,纵坐标不变,得到函数

y ? f ? x ? 的图象,

? x ? 在[0,

π ]上的最大值和最小值. 4
1 1 ? sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? ? sin( ? ? ) 2 2 2

解: (Ⅰ)因为 f ( x) ?

(0 ? ? ? ? )

所以 f ( x) ? 1 sin 2 x sin ? ? 1 ? cos 2 x cos ? ? 1 cos ? 2 2 2
1 1 ? sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? 2 2 1 ? (sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? ) 2 1 ? cos(2 x ? ? ) 2

又 又

函数图像过点 (

? 1

, ) 6 2
所以

所以

0 ?? ??

??

?
3

1 1 ? ? cos(2 ? ? ? ) 2 2 6



c o s ( ?? ? ) 3

?

1

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 f ( x) ? 1 cos(2 x ? ? ) ,将函数
2 3

y ? f ( x) 的图像上各点的横坐标缩短到原来的
c ox s? (4 3

1 2

,纵坐标不变,得到函数

y ? g ( x) 的图像,可知
因为 所以

g ( x )? f ( x 2 ? )

1 2

?

)

x ?[ 0 , ] 4

?

4 x ? [ 0? , ]
3 3 3

因此 4 x ? ? ? [? ? , 2? ] 故 ? 1 ? cos(4 x ? ? ) ? 1
2 3

所以 y ? g ( x) 在 [0, ? ] 上的最大值和最小值分别为
4

1 2

和?

1 4

-6-


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