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高中数学新课标人教A版选修2-2《2.2.2反证法》课件_图文

2.2.2 反证法 【课标要求】 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法. 2.理解反证法的思考过程,会用反证法证明数学问题. 【核心扫描】 体会反证法的思考过程、特点,培养逆向思维的能力. (重难点) 自学导引 1.反证法 假设原命题 不成立 (即在原命题的条件下,结论不成立),经 过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明 了 原命题成立 ,这种证明方法叫做反证法. 2.反证法常见矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与 已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实 矛盾等. 想一想: 有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题,这 种说法对吗?为什么? 提示 这种说法是错误的,反证法是先否定命题,然后再证明 命题的否定是错误的,从而肯定原命题正确,不是通过逆否命 题证题.命题的否定与原命题是对立的,原命题正确,其命题 的否定一定不对. 名师点睛 1.反证法不直接证明命题“若 p 则 q”,而是先肯定命题的条件 p,并否定命题的结论 q,即从原命题的否定入手,由 p 与綈 q 合乎逻辑地推出一个矛盾结果;根据矛盾律,两个互相矛盾的 判断不能同真,必有一假,断定命题的否定为假;又两个互相 矛盾的判断不能同假,必有一真.由此肯定命题“若 p 则 q” 为真. 用反证法证明命题“若 p 则 q”,它的全部过程和逻辑根据可 以表示如下: 肯定条件p, 推理 导致逻 矛盾律 ― ― → ― ― → “若p则綈q”为假 否定结论q 辑矛盾 → “若p则q”为真 2.反证法证明数学命题的一般步骤 第一步:分清命题“p→q”的条件和结论; 第二步:作出与命题结论q相矛盾的假定綈q(反设); 第三步:由p和綈q出发,应用正确的推理方法,推出矛盾结果 (归谬); 第四步:断定产生矛盾结果的原因,在于开始所作的假定 綈 q 不真,于是原结论q成立,从而间接地证明了命题p→q为真. 第三步中所说的矛盾结果,通常是指推出的结果与已知公理、 已知定义、已知定理或已知条件矛盾,与临时假定矛盾以及自 相矛盾等各种情况. 3.反证法常用的否定形式 至 多 一 个 至 少 两 个 至 少 一 个 一 个 也 没 有 结论词 = > < 都 是 是 任 意 某 个 至少 至多 n个 n个 至多 n-1 至少 个 n+1 个 反设词 ≠ ≤ ≥ 不 不 都 是 是 题型一 用反证法证明“至多”“至少”型命题 【例 1】 已知 x,y>0,且 x+y>2. 1+x 1+y 求证: , 中至少有一个小于 2. y x [思路探索] 先假设两式都不小于 2,再经过一系列的推理, 得出矛盾结果即可. 1+x 1+y 证明 假设 y , x 都不小于 2, 1+x 1+y 即 ≥2, ≥2. y x ∵x,y>0,∴1+x≥2y,1+y≥2x. ∴2+x+y≥2(x+y), 即 x+y≤2 与已知 x+y>2 矛盾. 1+x 1+y ∴ y , x 中至少有一个小于 2. 对于含有“至多”、“至少”的命题适合用反证法,对 于此类问题,需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字 眼的含义,弄清结论的否定是什么,避免出现证明遗漏的错误. 【变式1】 已知a,b,c,d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd>1, 求证:a,b,c,d中至少有一个是负数. 证明 假设a,b,c,d都是非负数, ∵a+b=c+d=1, ∴(a+b)(c+d)=1. 又∵(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc≥ac+bd, ∴ac+bd≤1. 这与已知ac+bd>1矛盾, ∴a,b,c,d中至少有一个是负数. 题型二 用反证法证明不存在、唯一性命题 【例2】 证明:对于直线l:y=kx+1,不存在这样的实数k,使得l 与双曲线 C:3x2-y2=1的交点 A、B关于直线y=ax(a为常数) 对称. [思路探索] 由于直接证明比较困难,但其反面相对来说较为 容易,故采用反证法证明. 证明 假设存在实数 k,使得 A、B 关于直线 y=ax 对称,设 A(x1, y1)、B(x2,y2),则有(1)直线 l:y=kx+1 与直线 y=ax 垂直;(2) 点 A、 B 在直线 l: y=kx+1 上; (3)线段 AB 在直线 y=ax 上,所以 ? ?ka=-1 ?y1+y2=k?x1+x2?+2 ② ? ?y1+y2 x1+x2 =a 2 ③ ? 2 ? ① ?x1+x2 y1+y2? ? 的中点? ? 2 , 2 ? ? ? ? ?y=kx+1, 由? 2 2 ? y = 3 x -1, ? 得(3-k2)x2-2kx-2=0. ④ 当 k2=3 时,l 与双曲线仅有一个交点,不合题意. 由②、③得 a(x1+x2)=k(x1+x2)+2 2k 由④知 x1+x2= 2,代入⑤整理得: 3-k ak=3,这与①矛盾. 所以假设不成立,故不存在实数 k,使得 A、B 关于直线 y=ax 对 称. ⑤ 规律方法 证明“唯一性”问题的方法:“唯一性”包含“有一 个”和“除了这个没有另外一个”两层意思.证明后一层意思时, 采用直接证法往往会相当困难,因此一般情况下都采用间接证法, 即用反证法(假设“有另外一个”,推出矛盾)或同一法(假设“有 另外一个”,推出它就是“已知那一个”)证明,而用反证法有时 比用同一法更方便. 【变式2】 求证方程2x=3有且只有一个根. 证明 ∵2x=3,∴x=log23,这说明方程2x=3有根.下面用 反证法证明方程2x=3的根是唯一的: 假设方程2x=3至少有两个根b1,b2(b1≠b2), 则2b1=3,2b2=3, 两式相除得2b1-b2=1. 若b1-b2>0,则2b1-b2>1,这与2b1-b2=1相矛盾. 若b1-b2<0,则2b1-b2<1,这也与2b1-b2=

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