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4.2.2用列举法求概率_图文

本课内容 4.2

概率及其计算
——4.2.2 用列举法求概率

在一次试验中,如果可能出现的结果只有有 限个,且各种结果出现的可能性都相等,我们可 以通过列举试验结果的方法,分析出随机事件的 概率.

动脑筋

李明和刘英各掷一枚骰子,如果两枚骰子的 点数之和为奇数,则李明赢;如果两枚骰子的点 数之和为偶数,则刘英赢. 这个游戏对双方公平吗?

游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相等. 各掷一枚骰子,可能出现的结果数目较多,为了 不重不漏地列举所有可能的结果,通常采用列表 法.

我们可以把掷两枚骰子的全部可能结果列表如下:
第二枚 点数之和 第一枚

1点

2点

3点

4点

5点

6点

1点 2点 3点 4点 5点

2 3 4 5 6

3 4 5 6 7

4 5 6 7 8

5 6 7 8 9

6 7 8 9 10

7 8 9 10 11

6点

7

8

9

10

11

12

第二枚 点数之和 第一枚

1点

2点

3点

4点

5点

6点

1点 2点 3点 4点 5点 6点

2 3 4 5 6 7

3 4 5 6 7 8

4 5 6 7 8 9

5 6 7 8 9 10

6 7 8 9 10 11

7 8 9 10 11 12

从表中可以看出,所有可能结果共有36个. 由于骰子 是均匀的,这些结果出现的可能性相等.

由上表可知,两枚骰子的点数之和为偶数的可能结果 有18个(即表中的红色数字),而两枚骰子的点数之和为 奇数的可能结果有18个(即表中的紫色数字) .

18 1 因此,P(点数之和为偶数)? 36 ? 2 ; P(点数之和为奇数)? 18 ? 1 . 36 2

由此可见,这个游戏对双方而言是公平的.

做一做
如图,袋中装有大小和质地都相同的4个球:2红2白. 从中依次任意取出2个球(第1次取出的球不放回袋中), 求下列事件的概率: A:取出的2个球同色; B:取出2个白球.

(1)列表列举. 用R1,R2表示两红球;用W1,W2表示两白球; 用(R1,W2)表示第1次取出红球R1,不放回即 取第2次,取得白球W2 ,如此类推. 将所有可能结果填在下面的表中:
第 2次 第 1次 R1 R1 R2
(R1,R2)
2,R1)

W1

W2

(R1,W1) (R1,W2)
(R2,W1) (R2,W2) (W1,W2)

(R R1,W2( ) R
2

W1 W2

(W1,R1) (W1,R2)

(W2,R1)

(W2,R2) (W2,W1)

共有 12 个可能结果.

(2)写出各指定事件发生的可能结果: A:取出的2个球同色 (R1, R2) (R2, R1) B:取出2个白球 (W1,W2) (W2,W1) (3)指定事件的概率为 P(A)=
1 3

(W1,W2)

(W2,W1) (共 4 种);

(共 2 种) .

, P(B)=

1 6

.

练习
1. 如图,有三条绳子穿过一块木板,姐妹两人分别 站在木板的左、右两边,各选该边的一段绳子. 若每边每段绳子被选中的机会相等,则两人选到 同一条绳子的概率为多少?
1 答: . 3

练习
2.小军同时抛掷两枚骰子,求两枚骰子点数之和 小于7的概率.
5 答: . 12

动脑筋
小明和小华做“剪刀、石头、布”的游戏,游戏 规则是:若两人出的不同,则石头胜剪刀、剪刀胜 布、布胜石头;若两人出的相同,则为平局. (1)怎样表示和列举一次游戏的所有可能的结果? (2)用A,B,C 表示指定事件: A:“小明胜”;B:“小华胜”; C:“平局”. 求事件A,B,C的概率.

(1)为了不重不漏地列出所有可能的结果,除了 列表法,我们还可以借助树状图法.

小明

石头

小华 石头 剪刀 布 石头 剪刀 布 石头 剪刀 布

结果 (石头,石头) (石头,剪刀) (石头,布) (剪刀,石头) (剪刀,剪刀) (剪刀,布) (布,石头) (布,剪刀) (布,布)

剪刀



一次游戏共有9个可能结果,而且它们出 现的可能性相等.

(2)事件A发生的所有可能结果:(石头,剪刀), (剪刀,布),(布,石头); 事件B发生的所有可能结果:(石头,布), (剪刀,石头), (布,剪刀); 事件C发生的所有可能结果:(石头,石头), (剪刀,剪刀), (布,布) .
3 1 ? , 9 3 3 1 P(C)? ? . 9 3

因此P(A)?

P(B)?

3 1 ? , 9 3

例2 如图,甲、乙、丙三人做传球的游戏.开始时, 球在甲手中,每次传球,持球的人将球任意传 给其余两人中的一人,如此传球3次. (1)写出3次传球的所有可能结果(即传球的方式); (2)指定事件A:“传球3次后,球又回到甲的手中”, 写出A发生的所有可能结果; (3)求P(A).

解 (1)一种可能传球的方式(结果)是:甲传给乙、 乙传给丙、丙又传给甲,即球依次落入乙、丙、 甲手中,记为(乙,丙,甲).
我们可以用“树状图”表示所有可能结果:

第 1次

第2次


第3次 乙 丙 甲

结果 (乙,甲,乙) (乙,甲,丙)
(乙,丙,甲) (乙,丙,乙) (丙,甲,乙) (丙,甲,丙) (丙,乙,甲) (丙,乙,丙)



开始:甲





乙 丙 甲 丙




共有8个可能结果,而且它们出现的可能性相等.

(2)传球3次后,球又回到甲手中,即事件A发生有 2个可能结果:(乙,丙,甲),(丙,乙,甲).

2 (3) P(A)? ? 0.25. 8

练习
1. 如图,小球从A入口往下落,在每个交叉口都有 向左或向右两种可能,且可能性相等.用树状图 法求小球从E点落出的概率. ?A

解:
C?

?B
?D ? ? ?

H E F G 1 小球从E点落出的概率为 4 .

?

2. 如图,从车站到书城有A1,A2, A3三条路线可走, 从书城到广场有B1,B2两条路线可走,现让你随机 选择一条从车站出发经过书城到达广场的行走路线, 那么恰好选到经过路线B1的概率是多少?
A1 A2

1 答: . 2

B1

A3

B2