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必修4《三角函数和平面向量》测试题及答案A


必修 4 模块测试 A 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.下列命题中的真命题是( ) . A.三角形的内角必是第一象限或第二象限的角 B.角 α 的终边在 x 轴上时,角 α 的正弦线、正切线分别变成一个点 C.终边在第一象限的角是锐角 D.终边在第二象限的角是钝角 2. cos( ? 2640 ) ? sin 1665 ? ( A.
1? 2 2
? ?

) .
2

2 2 2 3 3.已知角 ? 的终边过点 P ( ? 4 m,m ) , ( m ? 0) ,则 2 sin ? ? cos ? 的值是(
5 5 5 5 ? ? ? ? ? ? ? ? 4.已知向量 a ? (co s 7 5 , sin 7 5 ), b ? (co s 1 5 , sin 1 5 ) ,则 a ? b 的值为(

B. ?

1?

C.

1?

3

D. ?

1?

3

) .

A.1 或-1

B.

2

或?

2

C.1 或 ?

2

D.-1 或

2

) .

A.

1 2

B. 1
?
4 ? 3x) ?

C. 2
3 co s(

D. 3
?
4 ? 3 x ) 的最小正周期为(

5.函数 y ? 3 sin ( A.
2?

) .

C. 8 D. 4 3 3 6.函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 的部分图象如图所示, 则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? … ? f (11) ? ( ) .

B.

?

A. 2 B. 2 ? 2 C. 2 ? 2 2 7.设集合 A ? ?( x , y ) | y ? 2 sin 2 x ? ,集合 B ? ?( x , y ) | y ? x ? ,则( A. A ? B 中有 3 个元素 C. A ? B 中有 2 个元素 B. A ? B 中有 1 个元素 D. A ? B ? R
2

D. ? 2 ? 2 2 ) .

8.判断函数 f ( x ) ? lg (sin x ? 1 ? sin x ) 的奇偶性为( A.非奇非偶函数 B.奇函数 C.偶函数

) . D.既奇又偶函数 ? ? ? 9.同时具有以下性质: “①最小正周期是 ? ;②图象关于直线 x ? 对称;③在 [ ? , ] 上是增函
3 6 3

数”的一个函数是( ) . x ? ? A. y ? sin ( ? ) B. y ? co s( 2 x ? )
2 6 3

C. y ? sin ( 2 x ?

?
6

)

D. y ? co s( 2 x ?

?
6

)

10.如图所示是曾经在北京召开的国际数学家大会的会标,它是由 4 个相同的直角三角形与中间的

小正方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为 ? ,大正方形 的面积是 1 ,小正方形的面积是 A. 1 B. ?
24 1 25 25 25 25 ?? ? ?? ? ??? ? ?? ? ???? ?? ? ? 11. 已知 | p |? 2 2 ,| q |? 3 , p , q 的夹角为 , 如图, A B ? 5 p ? 2 q ,A C ? p ? 3 q ,D 为 B C 若 4 ???? 的中点,则 | A D | 为( ) . , 则 sin ? ? cos
2 2

? 的值等于(

) .

C.

7

D. ?

7

A.

15 2

B.

15 2
a sin

C.7
?
5 a co s ? b co s ? b sin

D.18
?
b 5 ? tan 8 ? ,则 的值是( ? 15 a
5

12.已知非零实数 a , b 满足关系式

?
5

) .

A.

3 3

B. ?

3 3
x 2

C. 3

D. ? 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13.已知函数 f ( x ) ? co s ,下面四个等式 ④ f (? x) ? f ( x)

① f (2 ? ? x ) ? f ( x ) ② f (2 ? ? x ) ? f ( x ) ③ f ( ? x ) ? ? f ( x ) 成立的个数是___________. 14.函数 y ?
2 sin (3 x+

)-1 的单调递减区间为 . 4 ??? ? ??? ? ??? ? 15.已知向量 O P ? (2,1), O A ? (1, 7 ), O B ? (5,1) ,设 X 是直线 O P 上的一点( O 为坐标原点) ,那 ??? ??? ? ? 么 X A ?X B 的最小值是___________________.

?

16.给出下列五个命题: ①函数 y ? tan x 的图象关于点 ( k ? ?
?
2 , 0 ) , k ? Z 对称;

②函数 f ( x ) ? sin | x | 是最小正周期为 ? 的周期函数; ③设 ? 为第二象限的角,则 tan
2

?
2

? co s

?
2

,且 sin

?
2

? co s

?
2



④函数 y ? cos x ? sin x 的最小值为 ? 1 ,. 其中正确的命题是_____________________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知 sin ? , co s ? 是方程 8 x ? 6 m x ? 2 m ? 1 ? 0 的两个实数根,求实数 m 的值.
2

18. (本小题满分 12 分)
??? ?

已知向量 O A ? (3, ? 4 ) , O B ? (6, ? 3) , O C ? (5 ? m , ? (3 ? m )) , (1)若点 A 、 B 、 C 能构成三角形,求实数 m 应满足的条件; (2)若 ? A B C 为直角三角形,且 ? A 为直角,求实数 m 的值.

??? ?

????

19. (本小题满分 12 分) 已知 sin 2 ? ?
3 5 , ? ?( 5 4

?,

3 2

?).

(1)求 cos ? 的值; (2)求满足 sin (? ? x ) ? sin (? ? x ) ? 2 co s ? ? ?
10 10

的锐角 x .

20. (本小题满分 12 分) 已知 a ? (co s ? , sin ? ) , ? ? (0 , ? ) , b ? (sin ? , co s ? ) , ? ? (0 , 2 ? ) ,又 tan 且 a ?b ?
? ? 5 13
? ?

?
2

?

1 2



. (1)求 sin ? , cos ? ; (2)求 sin ? .

21. (本小题满分 12 分)
?

已知: a ? ( 3 sin x , cos x ), b ? (cos x , cos x ) , f ( x ) ? 2 a ?b ? 2 m ? 1 ( x , m ? R ) . (1)求 f ( x ) 关于 x 的表达式,并求 f ( x ) 的最小正周期; (2)若 x ? [ 0 ,
?
2 ] 时 f ( x ) 的最小值为 5,求 m 的值.

?

? ?

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 y ? cos
2

x ? a sin x ? a

2

? 2 a ? 5 有最大值 2 ,试求实数 a 的值.

答案与解析: 1.B 2.B 三角形的内角可以等于 90 ,而 90 的角既不属于第一象限也不属于第二象限, A 错;由正弦线、正切线的定义可知 B 正确.
co s( ? 2 6 4 0 ) ? sin 1 6 6 5
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?

? co s[2 4 0 ? ( ? 8) ? 3 6 0 ] ? sin (2 2 5 ? 4 ? 3 6 0 ) ? cos 240 ? sin 225 ? cos(180 ? 60 ) ? sin(180 ? 45 )
? ? co s 6 0 ? sin 4 5 ? ?
? ?

?

?

1? 2

2


3 5 ? (? 4 5 )? 2 5

3.B

当 m ? 0 时, 2 sin ? ? co s ? ? 2 ?


2

当 m ? 0 时, 2 sin ? ? co s ? ? 2 ? ( ? ) ?
5

3

4

? ?



5 5 ? ? ? ??? ? 4.B 如图,将向量 a 、 b 的起点都移到原点,即 a ? O A , ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? b ? O B ,则 a ? b ? | B A | 且 ? xOA ? 75 , ? xOB ? 15 ,于是 ? ? ? ? AOB ? 60 ,又因 a ? b ? 1 ,则 ? AOB 为正三角形,从而 ??? ? ? ? | B A |? a ? b ? 1 .

y A B O x

5.A

T ?

2? 3


?

6.C 由图象可知, f ( x ) ? 2 sin

x 的周期为 8 , 4 ∴ f (1) ? f (2) ? f (3) ? … ? f (11) ? f (1) ? f (2) ? f (3)

? 2 sin

?
4

? 2 sin

?
2

? 2 sin

3? 4

? 2?2 2.

7.A 8.B 9.C

观察函数 y ? 2 sin 2 x 与函数 y ? x 的图象可得.
f ( ? x ) ? lg( ? sin x ?
y ? sin ( 2 ?

1 ? sin x ) ? lg(sin x ?
2

1 ? sin x )
2

?1

? ? f ( x) .
?

?
3

?

?
6

) ? 1 ;?

?
6

? x?

?
3

,得 ?

?
2

? 2x ?
2

?
6

?
2

,符合③.
4 5 , sin ? ? 3 5

10.D 小正方形的边长为 cos ? ? sin ? ,即 (co s ? ? sin ? ) ? 11.A

1 25

,得 co s ? ?



???? 1 ???? ??? ? 1 ?? ? A D ? ( A C ? A B ) ? (6 p ? q ) , 2 2 ???? ???? ?? ? ?? 2 ?? ? ? 2 1 1 2 2 (6 p ? q ) ? 3 6 p ? 1 2 p ?q ? q ∴ | A D |? | A D | ? 2 2

?
a tan

1 2

3 6 ? ( 2 2 ) ? 1 2 ? 2 2 ? 3 ? co s
2

?
4

?3 ?
2

15 2



?
5

?b

12.C

a ? b tan

?
5

? tan (

?
5

?

?
3

tan )?

?
5

? tan

?
3 ?

tan 1?

?
5

?

3

1 ? tan

?
3

tan

?

3 tan

?
5

,令 a ? t , b ?

3t .

5

2? ? x x x cos ? c?o ? ( ? ? ) s ? o s f x. ( ) c ? ①错 2 2 2 x x f ( 2 ? ? x ) ? co s( ? ? ) ? ? co s ? ? f ( x ) ②错 2 2 x x f ( ? x ) ? co s( ? ) ? co s ? f ( x ) ③错,故只有④一个等式正确. 2 2 ? 2 k ? 7? 2k? , ? ], k ? Z 14. [ ? 12 3 36 3 ? ? ? 5? ? 2k? , (k ? Z ) , 由 2 sin (3 x ? ) ? 1 ? 0 ,得 ? 2 k ? ? 3 x ? ? 4 6 4 6 ? ? 3? ? 2k? , (k ? Z ) , 由单调递减得 ? 2 k ? ? 3 x ? ? 2 4 2 ? ? 5? ? 2 k ? 7? 2k? ? 2 k ? , ( k ? Z ) ,得 [ ? , ? ], k ? Z . 即 ? 2k? ? 3 x ? ? 2 4 6 12 3 36 3 ??? ? ??? ? 15. ? 8 设 X ( 2 t , t ) ,则 X A ? (1 ? 2 t , 7 ? t ), X B ? (5 ? 2 t ,1 ? t ) , ??? ??? ? ? 2 2 X A ?X B ? (1 ? 2 t )(5 ? 2 t ) ? (7 ? t )(1 ? t ) ? 5 t ? 2 0 t ? 1 2 ? 5( t ? 2 ) ? 8 .

13. 1

f ( 2 ? x )? ?

16.①④ ①点 ( k ? , 0 ), ( k ? ?
?
2 , 0 ) , k ? Z 是正切函数的对称中心,∴①对;

② f ( x ) ? sin | x | 不是周期函数,②错; ③
?
2 ?(

?
4

? k? ,
2

?
2

? k ? ) ,当 k ? 2 n ? 1, n ? Z 时, sin 1 2 ) ?
2

?
2

? co s

?
2

.∴③错;

④ y ? 1 ? sin x ? sin x ? ? (sin x ? 17.解:显然有 sin ? ? co s ? ? ? 得1 ? 2 ?
2m ? 1 8
m ? 2, 或 m ? ? 10 9

5 4

,∴当 sin x ? ? 1 时, y m in ? ? 1 ∴④对.
2m ? 1 8

3m 4

, sin ? co s ? ?
2



?

9m 16

2

,即 9 m ? 8 m ? 2 0 ? 0 ,
2

,然而 m 的值需要满足 ? ? 9 m ? 16 m ? 8 ? 0 ,
10 9

得 m ? 2 不符合题意,所以 m ? ?
??? ? ??? ?


????

18.解: (1)若点 A、B、C 能构成三角形,则这三点不共线, ∵ O A ? (3, ? 4 ) , O B ? (6, ? 3) , O C ? (5 ? m , ? (3 ? m )) , ∴ A B ? (3,1) , B C ? ( ? m ? 1, ? m ) , 而 A B 与 B C 不平行, 即 ? 3 m ? ? m ? 1 ,得 m ? ∴实数 m ?
1 2
1 2
??? ?

??? ?

??? ?

????



时满足条件.

??? ? ???? AB ? AC , (2)若 ? A B C 为直角三角形,且 ? A 为直角,则

而 A B ? (3,1) , A C ? ( 2 ? m ,1 ? m ) , ∴ 3(2 ? m ) ? (1 ? m ) ? 0 ,解得 m ?
5 7 4

??? ?

????


2

19.解: (1)显然 2 ? ? ( ? , 3? ) ,则 co s 2 ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ?
2

4 5



而? ? ( ? ,
4

5

3 2

? ) ,则 co s ? ? ?
10

1 ? co s 2 ? 2

? ?

10 10



即 co s ? ? ? (2)由 co s ? ? ?

; ,化简 sin (? ? x ) ? sin (? ? x ) ? 2 co s ? ? ?
1 2
10 10

10 10 10



得 ? 2 cos ? sin x ? 2 cos ? ? cos ? ,即 sin x ? 即x ?
?
6

,而 x 是锐角,


?
2 1 ? ta n
2

20.解: (1)由 tan

?
2

?

1 2

2 ta n

,得 ta n ? ?

?
2

?

4 3



由 tan

?
2

? ?

1 ? co s ? 1 ? co s ?

,得

1 ? co s ? 1 ? co s ?
4 5

?

1 4

,即 co s ? ? ?

3 5



因为 tan ? ?

4 3

? 0 从而 sin ? ? ? 4 , co s ? ? ? 3 5



所以 sin ? ? ? (2)由 a ?b ?
? ?


5 13

5 5

,得 sin ? co s ? ? co s ? sin ? ?
5 13



13

即 sin (? ? ? ) ?

, co s(? ? ? ) ? ?

12



13 sin ? ? sin(? ? ? ? ? ) ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? ) sin ? ,

即 sin ? ? ? 所以 sin ? ?

63 65 33
65

或 sin ? ? .

33 65

,而 sin ? ? 0 ,

21.解:(1) f ( x ) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos x ? 2 m ? 1
2

?

3 sin 2 x ? co s 2 x ? 2 m

? 2 sin ( 2 x ?

?
6

) ? 2m .

∴ f ( x ) 的最小正周期是 ? . (2) ∵ x ? [ 0 ,
?
2 ],

∴2x ?

?
6

?[

?
6

,

7? 6

],

∴当 2 x ?

?

?

7?

,即 x ?

?
2

时,函数 f ( x ) 取得最小值是 2 m ? 1 .

6 6 ∵ 2m ? 1 ? 5 , ∴m ? 3
2 2

22.解: y ? ? sin x ? a sin x ? a ? 2 a ? 6, 令 sin x ? t , t ? [ ? 1,1]
y ? ? t ? at ? a ? 2 a ? 6 ,对称轴为 t ?
2 2

a 2


2



a 2
2

? ? 1 ,即 a ? ? 2 时, [ ? 1,1] 是函数 y 的递减区间, y m ax ? y |t ? ? 1 ? ? a ? a ? 5 ? 2
1? 2 13 , 与 a ? ? 2 矛盾;
2

得 a ? a ? 3 ? 0, a ? 当
a 2
2

? 1 ,即 a ? 2 时, [ ? 1,1] 是函数 y 的递增区间, y m ax ? y |t ?1 ? ? a ? 3 a ? 5 ? 2
3? 2 21 , 而 a ? 2, 即 a ? 3? 2 3 4 21

得 a ? 3 a ? 3 ? 0, a ? 当 ?1 ?
2



a 2

? 1 ,即 ? 2 ? a ? 2 时, y m ax ? y | 4 3

t?

a 2

? ?

a ? 2a ? 6 ? 2
2

得 3 a ? 8 a ? 1 6 ? 0, a ? 4, 或 ? ∴a ? ?
4 3 ,或 3? 2 21

, 而 - 2 ? a ? 2, 即 a ? ?

4 3





备用题: 1.下列命题中正确的是( ) . A.第一象限角必是锐角 B.终边相同的角相等 C.相等的角终边必相同 D.不相等的角其终边必不相同 1.C 终边相同的角不一定相等;不相等的角其终边可以相同. 2.将分针拨慢 5 分钟,则分钟转过的弧度数是( ) . ? ? ? ? A. B.- C. D.-
3 3 6 6

2.C

拨慢 5 分钟,即逆时针旋转 2 ? ?

1 12

?

?
6



3.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? B 的一部分图象如右 图所示,如果 A ? 0 , ? ? 0 , | ? |? A. A ? 4 ? C. ? ? B.? ? 1 D. B ? 4
5? 12

?
2

,则(

) .

6 ?

3.C

T ? 4?(

?
6

)?? ?

2?

?

, ? ? 2 ; 2 A ? 4, A ? 2 ; B ? 2 ; ? ?

?
6



4.已知 a ? (3, 0), b ? ( k , 5) ,若 a 与 b 的夹角为 4.如图 3,设 OA ? a , ? AOC ? 直线 l 的方程为 y ? 5 , 设 l 与 OC 的交点为 B ,则 OB 即为 b , 显然 b ? ? ? 5 , 5 ? ,? k ? ? 5 5.给出下列 6 种图象变换方法:
3? 4

?

?

3? 4

,则 k 的值为_______

, C B
b

y

O a A 图3

x

①图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 伸长到原来的 2 倍; ③图象向右平移 个单位;⑥图象向左平移
y ? sin ( x 2 ?

1 2

;②图象上所有点的纵坐标不变,横坐标
?
3

?
3

个单位; ④图象向左平移

个单位; ⑤图象向右平移

2? 3

2? 3

个单位,请写出用上述变换将函数 y ? s in x 的图像变换到函数

?
3

) 的图像的一个变换______________.(按变换顺序写上序号即可)

5.④,②

先相位,再伸缩.
?
2
2

6.已知点 A 、 B 、 C 的坐标分别为 A (3, 0 ) 、 B (0, 3) 、 C (cos ? , sin ? ) , ? ? ( (1)若 | A C |? | B C | ,求角 ? 的值; (2)若 A C ?B C ? ? 1 ,求
???? ???? ??? ?

,

3? 2

).

???? ??? ?

2 sin

? ? sin 2 ?
??? ?
2

1 ? tan ?

的值.

6.解: (1)∵ A C ? (co s ? ? 3, sin ? ) , B C ? (co s ? , sin ? ? 3) , ∴ | A C |?
1 0 ? 6 co s ? , ??? ? 2 2 | B C |? co s ? ? (sin ? ? 3) ? 1 0 ? 6 sin ? , ???? ??? ? 由 | A C |? | B C | 得 sin ? ? cos ? ,
2

????

(co s ? ? 3) ? sin ? ?

又∵ ? ? ( ∴? ?
5?

?
2

,

3? 2

),



4 ???? ??? ? (2)由 A C ?B C ? ? 1 ,得 (cos ? ? 3) cos ? ? sin ? (sin ? ? 3) ? ? 1 ,

∴ sin ? ? co s ? ?
2

2 3


? 2 sin ? (sin ? ? co s ? ) 1? sin ? co s ? ? 2 sin ? co s ? ,



2 sin ? ? sin 2 ? 1 ? tan ?

B 是
i=i+3 2 sum=sum+i

由 sin ? ? co s ? ? ∴ 2 sin ? co s ? ? ? ∴
2 sin
2

2 3 5 9

,两边平方得 1 ? 2 sin ? co s ? ? ,
5 9

4 9



? ? sin 2 ?

1 ? tan ?

? ?




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