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高中数学必修4平面向量知识点总结


高中数学必修 4 知识点总结 平面向量
知识点归纳
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一.向量的基本概念与基本运算
1 向量的概念:
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①向量:既有大小又有方向的量 向量一般用 a, b , c ??来表示,或用有向线段的起点与终
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点的大写字母表示,如: AB 几何表示法 AB , a ;坐标表示法 a ? xi ? yj ? ( x, y)
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量的大小即向量的模(长度) ,记作| AB | 即向量的大小,记作| a |
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向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量: 长度为 0 的向量, 记为 0 , 其方向是任意的, 0 与任意向量平行 零向量 a = 0 ? |
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? ? ? a |=0 由于 0 的方向是任意的,且规定 0 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)
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的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件. (注意与 0 的区别) ③单位向量:模为 1 个单位长度的向量
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向量 a0 为单位向量 ? | a0 |=1 ?
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④平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量 任意一组平行向量都可以移到同一直
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线上 方向相同或相反的向量,称为平行向量 记作 a ∥ b 由于向量可以进行任意的平移(即
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自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 ? 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必 须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线” 、的含义,要理解好平行向量中的“平 行”与几何中的“平行”是不一样的.
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⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合,记为 a ? b 大
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小相等,方向相同? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y 2 ) ? ? 2 向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法
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? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2

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? ??? ? ???? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ??? 设 AB ? a, BC ? b ,则 a + b = AB ? BC = AC
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(1) 0 ? a ? a ? 0 ? a ; (2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则” : (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的 始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接” ,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终
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点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法 则.向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:
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??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? . AB ? BC ? CD ? ?? PQ ? QR ? AR ,但这时必须“首尾相连”
3 向量的减法 ? ? ① 相反向量:与 a 长度相等、方向相反的向量,叫做 a 的相反向量 ? 记作 ? a ,零向量的相反向量仍是零向量
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关于相反向量有: (i) ? (?a ) = a ; (ii) a +( ? a )=( ? a )+ a = 0 ; (iii)若 a 、 b 是互为相反向量,则 a = ? b , b = ? a , a + b = 0

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②向量减法:向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差, 记作: a ? b ? a ? (?b ) 求两个向量差的运算,叫做向量的减法
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③作图法: a ? b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量( a 、 b 有共同起点) 4 实数与向量的积: ? ? ①实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作λ a ,它的长度与方向规定如下:
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(Ⅰ) ?a ? ? ? a ; (Ⅱ)当 ? ? 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相 反;当 ? ? 0 时, ?a ? 0 ,方向是任意的

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②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5 两个向量共线定理:
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向量 b 与非零向量 a 共线 ? 有且只有一个实数 ? ,使得 b = ?a 6 平面向量的基本定理:
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如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 a ,有且只 有一对实数 ?1 , ? 2 使: a ? ?1e1 ? ?2 e2 ,其中不共线的向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有 向量的一组基底 7 特别注意: (1)向量的加法与减法是互逆运算 (2)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件 (3)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合) ,而向量平行则包括共线 (重合)的情况 (4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置 有关 学习本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几 何问题,特别是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面向量的基本定理,计算
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向量的模、两点的距离、向量的夹角,判断两向量是否垂直等 由于向量是一新的工具,它 往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点
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例1

给出下列命题:

① 若| a |=| b |,则 a = b ; ② 若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 AB ? DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要 条件; ③ 若 a = b , b = c ,则 a = c , ④ a = b 的充要条件是| a |=| b |且 a // b ; ⑤ 若 a // b , b // c ,则 a // c , 其中正确的序号是 解:①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.
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② 正确.∵ AB ? DC ,∴ | AB |?| DC | 且 AB // DC , 又 A, B, C, D 是不共线的四点, ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形; 反之, 若四边形 ABCD 为平行四边形,则, AB // DC 且 | AB |?| DC | , 因此, AB ? DC . ③ 正确.∵ a = b ,∴ a , b 的长度相等且方向相同; 又 b = c ,∴ b , c 的长度相等且方向相同, ∴ a , c 的长度相等且方向相同,故 a = c . ④ 不正确.当 a // b 且方向相反时,即使| a |=| b |,也不能得到 a = b ,故| a |=| b | 且 a // b 不是 a = b 的充要条件,而是必要不充分条件. ⑤ 不正确.考虑 b = 0 这种特殊情况. 综上所述,正确命题的序号是②③. 点评:本例主要复习向量的基本概念.向量的基本概念较多,因而容易遗忘.为此,复 习一方面要构建良好的知识结构, 另一方面要善于与物理中、 生活中的模型进行类比和联想. 例 2 设 A、B、C、D、O 是平面上的任意五点,试化简: ① AB ? BC ? CD ,② DB ? AC ? BD

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③ ?OA ? OC ? OB ? CO

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解:①原式= ( AB ? BC) ? CD ? AC ? CD ? AD ②原式= ( DB ? BD) ? AC ? 0 ? AC ? AC

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③原式= (OB ? OA) ? (?OC ? CO) ? AB ? (OC ? CO) ? AB ? 0 ? AB 例 3 设非零向量 a 、 b 不共线, c =k a + b , d = a +k b (k?R),若 c ∥ d ,试求 k 解:∵ c ∥ d

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∴由向量共线的充要条件得: c =λ d (λ ?R) 即 k a + b =λ ( a +k b ) 又∵ a 、 b 不共线 ∴由平面向量的基本定理 ?

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∴(k?λ ) a + (1?λ k) b = 0

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?k ? ? ? 0 ? k ? ?1 ?1 ? k? ? 0

二.平面向量的坐标表示
1 平面向量的坐标表示: 在直角坐标系中, 分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i , j
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作为基底 由平面向量的基本定理知, 该平面内的任一向量 a 可表示成 a ? xi ? yj , 由于 a 与
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数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量 a 的坐标,记作 a =(x,y),其中 x 叫作 a 在 x 轴 上的坐标,y 叫做在 y 轴上的坐标 (1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位 置有关 2 平面向量的坐标运算:
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(1) 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? (2) 若 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? (3) 若 a =(x,y),则 ? a =( ? x, ? y)

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(4) 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 (5) 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 若 a ? b ,则 x1 ? x2 ? y1 ? y 2 ? 0 3 向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量(内积)及其各运算的坐标表示 和性质 ?
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运 算 类 型

几何方法

坐标方法

运算性质

向 量 的 加 法 向 量 的 减 法 向 量 的 乘 法

1 平行四边形法则 2 三角形法则
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? ? a ? b ? (x1 ? x2 , y1 ? y2 )

? ? ? ? a ?b ? b ?a

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? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )

??? ? ??? ? ??? ? AB ? BC ? AC
三角形法则

? ? a ? b ? (x1 ? x2 , y1 ? y2 )

? ? ? ? a ? b ? a ? (?b )
??? ? ??? ? AB ? ? BA

??? ? ??? ? ??? ? OB ? OA ? AB

? a 是一个向量,
满足: ? ? ? >0 时, ? a 与 a 同向; ? ? ? <0 时, ? a 与 a 异向;

?

?a ? (?x, ?y)

? (?a ) ? (?? )a

?

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? ? ? (? ? ? )a ? ?a ? ?a

? ? ? =0 时, ? a = 0

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? (a ? b ) ? ?a ? ?b
? ? ? ? a ∥ b ? a ? ?b

?

?

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?

向 量 的 数 量 积

? ? a ? b 是一个数

? ? a ? b ? x1x2 ? y1 y2

? ? ? ? a ?b ? b ?a
? ? ? ? ? ? (?a) ? b ? a ? (?b ) ? ?(a ? b ) ? ? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c
? ? ? a 2 ?| a | 2 , | a |? x 2 ? y 2

? ? ? ? a ? 0 或 b ? 0 时, ? ? a ? b =0
? ? ? ? a ? 0 且 b ? 0 时,

? ? ? ? ? ? ? ? ?? a ? b ?| a || b | cos ? a, b ? | a ? b |?| a || b | ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例 1 已知向量 a ? (1, 2), b ? ( x,1), u ? a ? 2b , v ? 2a ? b ,且 u // v ,求实数 x 的值 ? ? ? ? ? ? ? ? 解:因为 a ? (1, 2), b ? ( x,1), u ? a ? 2b , v ? 2a ? b ? ? 所以 u ? (1, 2) ? 2( x,1) ? (2x ? 1, 4) , v ? 2(1, 2) ? ( x,1) ? (2 ? x,3) ? ? 又因为 u // v 所以 3(2 x ? 1) ? 4(2 ? x) ? 0 ,即 10 x ? 5 1 解得 x ? 2 例 2 已知点 A(4,0), B(4,4),C (2,6) ,试用向量方法求直线 AC 和 OB ( O 为坐标原点)交 点 P 的坐标 ??? ? ??? ? 解:设 P( x, y ) ,则 OP ? ( x, y), AP ? ( x ? 4, y) 因为 P 是 AC 与 OB 的交点 所以 P 在直线 AC 上,也在直线 OB 上 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 即得 OP // OB, AP // AC
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由点 A(4,0), B(4,4),C (2,6) 得, AC ? (?2,6), OB ? (4, 4)

??? ?

??? ?

?6( x ? 4) ? 2 y ? 0 ?4 x ? 4 y ? 0 ?x ? 3 解之得 ? ?y ? 3 故直线 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为 (3,3)
得方程组 ?

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三.平面向量的数量积
1 两个向量的数量积:
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已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,则 a ·b =︱ a ︱· ︱ b ︱cos ? 叫做 a 与 b 的数量积(或内积) 规定 0 ? a ? 0
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? ? ? ? ? a ?b 2 向量的投影:︱ b ︱cos ? = ? ∈R,称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射 |a|
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3 数量积的几何意义: a ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积
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? ?

?

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4 向量的模与平方的关系: a ? a ? a ?| a |
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? ?

?2

?

2

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5 乘法公式成立:
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? ? ? ? ? b ? ? ?a ? b ? ? a ? b ? a ?a ? ? ? ? ? ? ? ? b ? ? a ? 2a ? b ? b ? a ?a
2 2 2 2

?

?

?2

2

?2 ?b ; ? ? ?2 ? 2a ? b ? b

2

6 平面向量数量积的运算律:
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①交换律成立: a ? b ? b ? a

? ?

? ?
? ?

? ? ?? ? R? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ③分配律成立: ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c ? c ? ? a ? b ? ? ? ? ? ? ? 特别注意: (1)结合律不成立: a ? ? b ? c ? ? ? a ? b ? ? c ;
②对实数的结合律成立: ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b

?? ?

?

?

?

(2)消去律不成立 a ? b ? a ? c

? ?

? ?

不能得到 b ? c ?

?

?

(3) a ? b =0 不能得到 a = 0 或 b = 0 7 两个向量的数量积的坐标运算:
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? ?

? ?

? ?

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已知两个向量 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ·b = x1 x2 ? y1 y2

?

?

? ?

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8 向 量 的 夹 角 : 已 知 两 个 非 零 向 量 a 与 b , 作 OA = a , OB = b , 则 ∠ AOB= ?
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?

?

??? ?

?

??? ?

?

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( 0 ? ? ? 180 )叫做向量 a 与 b 的夹角
0 0

?

?

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? ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? ? a ?b cos ? = cos ? a , b ?? ? ? = 2 2 2 2 a?b x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
?

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当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时,θ =00,当且仅当 a 与 b 反方向时θ =1800,同时 0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
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?

?

?

?

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? ? ? ? ? ? 0 9 垂直:如果 a 与 b 的夹角为 90 则称 a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b
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10 两个非零向量垂直的充要条件:
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? ? ? ? a ⊥ b ? a · b =O ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 平面向量数量积的性质
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例 1 判断下列各命题正确与否: (1) 0 ? a ? 0 ; (2) 0 ? a ? 0 ; (3)若 a ? 0, a ? b ? a ? c ,则 b ? c ; ⑷若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c 当且仅当 a ? 0 时成立; (5) (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) 对任意 a, b , c 向量都成立;
2 (6)对任意向量 a ,有 a ? a

?

? ?

?

? ?

? ?
?

?

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? ?

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?

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? ? ?

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? ? ?

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解:⑴错; ⑵对; ⑶错; ⑷错; ⑸ 错;⑹对

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例 2 已知两单位向量 a 与 b 的夹角为 120 ,若 c ? 2a ? b , d ? 3b ? a ,试求 c 与 d 的
0

?

?

?

? ? ?

? ?

?

?

夹角

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解:由题意, a ? b ? 1 ,且 a 与 b 的夹角为 120 ,
0

?

?

?

?

所以, a ? b ? a b cos120 ? ?
0

? ?

? ?

?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c ? c ? c ? (2a ? b ) ? (2a ? b ) ? 4a 2 ? 4a ? b ? b 2 ? 7 ,

1 , 2

? ?c ? 7,
同理可得? d ? 13 而 c ? d ? (2a ? b ) ? (3b ? a ) ? 7 a ? b ? 3b ? 2a ? ? 设 ? 为 c 与 d 的夹角,

?

? ?

?

?

?

?

? ?

?2

?2

17 , 2

?

?

则 cos? ?

17 2 7 13

??

17 91 17 91 ?? ? ? ? arccos 182 182
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点评:向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑

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? ? ? ? ? ? ? ? 例 3 已知 a ? ? 4,3? , b ? ? ?1, 2 ? , m ? a ? ?b , n ? 2a ? b ,按下列条件求实数 ? 的

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(1) m ? n ; (2) m // n ; (3) m ? n 解: m ? a ? ?b ? ? 4 ? ? ,3 ? 2? ? , n ? 2a ? b ? ? 7,8?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

? ? 52 ? (1) m ? n ? ?4 ? ? ? ? 7 ? ?3 ? 2? ? ? 8 ? 0 ? ? ? ? ; 9 ? ? 1 (2) m // n ? ?4 ? ? ? ? 8 ? ?3 ? 2? ? ? 7 ? 0 ? ? ? ? ; 2 ? ? 2 2 (3) m ? n ? ?4 ? ? ? ? ?3 ? 2? ? ? 7 2 ? 8 2 ? 5?2 ? 4? ? 88 ? 0

?? ?

2 ? 2 11 5

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点评:此例展示了向量在坐标形式下的基本运算

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